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辽宁省沈阳市沈阳二中2013届高三数学上学期期中考试 (数学文)


沈阳二中 2012——2013 学年度上学期期中考试 高三(13 届)数学(文)试题
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上. 第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.

1.已知集合 U ? R, A ? x y ? A. ?? ?,0? B. ?0,1?

?

2 x ? x 2 , B ? y y ? 2 x , x ? 0 , 则 ?CU B? ? A ?
C.

?

?

?

?0,1?

D.以上都不对 )条件。

2. “. a ? 3 ”是“直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 和直线 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 平行”的( A.充要 B.必要不充分 C.充分不必要 D.既不充分又不必要 )

3.等差数列 ?an ? 中, d ? 2 ,且 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a 2 ? ( A. ? 4 B. ? 6 C. ? 8 D. ? 10

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,该双曲线渐近线方程是( 4.双曲线的离心率 e=2,与椭圆 24 8
A. y ? ?

).

1 x 3

B. y ? ?

3 x 3

C. y ? ? 3x

D. y ? ?2 3x

5.设 ? 为三角形的一个内角,且 sin ? ? cos ? ?

1? 3 ,则 cos 2? ? ( 2
D.



A.

1 2

B. ?

1 2

C.

1 1 或? 2 2

3 2


6.数列{ an },{ bn }满足 an bn =1, an = 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n 则{ bn }的前 10 项和为( A.

9 10

B.

10 11

C.

9 5

D.

20 11

7.把函数 y ? sin x ( x ? R) 的图象上所有的点向左平移

? 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标 6
)

伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数为( A. y ? sin( x ? C. y ? sin(2 x ?

1 2

?
6

), x ? R

B. y ? sin(2 x ?

?
3

), x ? R ), x ? R

?

3

), x ? R

D. y ? sin( x ?

1 2

?
6

8 .把边长为 1

的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD ? 平面 CBD ,形成三棱锥 C ? ABD 的正视图与 俯视图如右图所示,则侧视图的面积为( )

A.

1 2

B.

2 2

C.

2 4

D.

1 4

2 2 9.已知 F1、F2分别是椭圆 x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, A 是椭圆上位于第一象限内的一点,点 B 也 a b

在椭圆 上,且满足 OA ? OB ? 0 ( O 为坐标原点) , AF2 ? F1 F2 ? 0 ,若椭圆的离心率等于 线 AB 的方程是 ( A. y ? ? 2 x
2

2 , 则直 2

) . B. y ? 2 x
2

C. y ? ? 3 x
2

D. y ? 3 x
2

10. 已知函数 满足 f ? x ? 3? ? f ? x ? 1? , 且 x ∈[-1,1]时,f ? x ? ? x , 则函数 y ? f ? x ? ? log5 x, ? x ? 0? 的零点个数是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 11.如图,点 A、B 都在半径为 2 的球上,圆 Q 是过 A、B 两点 的截面,若 A、B 的球面距离为 的体积等于( A.
1 2

,则三棱锥

) B.
3 2

C.

2 3

D.3

12











线

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2







x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, m ? b ? 0) 的离心率乘积为 2 ,那么以 a, b, m 为边长的三角形一定是( m2 b2
A.锐角三角形 B.钝角三角形 第Ⅱ卷 C.直角三角形 (90 分) D.等腰三角形



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

?x ? y ? 0 ? 13.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 4 x ? y 的最大值是 ?3x ? y ? 4 ? 0 ?
14.对于直线 m , n 和平面 ? , ? , ? ,有如下四个命题: (2)若 m // ? , m ? n ,则 n ? ? (3)若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? 其中正确命题的序号是 。 (2)若 m ? ? , m ? n ,则 n // ?



(4)若 m ? ? , m // n , n ? ? ,则 ? ? ?

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆; 15.已知 p : 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与抛物线 y ? ax(a ? 0) 没有交点; q : 方程 4 ? a a ?1
2

若 p ? q 为真命题,则实数 a 的取值范围



16.如图,直线 l ? 平面? ,垂足为 O,已知 ?ABC 中, ?ABC 为直角,AB=2,BC=1,该直角三角形做 符合以下条件的自由运动: (1) A ? l , (2) B ? ? .则 C、O 两点间的最大距离为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本 小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数 f ( x) ? m ? n. (1)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间; (2)在△ABC 中 a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边,若 .

f ( A) ? 4, b ? 1, △ABC 的面积为
18. (本 小题满分 12 分) 在 直 三 棱 柱

3 ,求 a 的值. 2

A1

E

C1 B1

ABC ? A1 B1C1





AC=4,CB=2,AA1=2,

?ACB ? 60? ,E、F 分别是 A1C1 , BC 的中点。
(1)证明:平面 AEB ? 平面 BB1C1C ; A (2)证明: C1 F // 平面 ABE; (3)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积。

P

C F B

19. (本小题满分 12 分) 如图, 已知椭圆的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 它的一个顶点为 A (0, 2 ) ,

且离心率等于

3 ,过点 M (0,2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于 P , Q 不同两点(与点 B 不重合) , 2 y
M
A P

椭圆与 x 轴的正半轴相交于点 B . (1)求椭圆的标准方程; (2)若 PB ? QB ? 0 ,求直线 l 的方程. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆的中心在坐标原点,

o
Q
l

B

x

焦点在 x 轴上,若椭圆 C 上的点 A(1, (1)写出椭圆 C 的方程和焦点坐标;

3 )到 F1,F2 两点的距离之和等于 4. 2

(2)过点 P(1,

1 )的直线与椭圆交于两点 D、E,若 DP ? PE ,求直线 DE 的方程; 4

(3)过点 Q(1,0)的直线与椭圆交于两点 M、N,求△OMN 面积的最大值。 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 (a, b ? R) (1)若函数 f ( x)在x ? 1 处有极值 10,求 b 的值; (2)若对任意 a ???4, ??? , f ( x)在x ?[0,2] 上单调递增,求 b 的取值范围。 请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | , g ( x) ? ? | x ? 3 | ? m . (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 ( a ? R ) ; (2)若函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,求 m 的取值范围. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐 标系与参数方程 若极坐标系的极点 与直角 坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴 重合.

3 ? x ? ?1 ? t ? ? ? 5 直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin(? ? ) . 4 4 ? y ? ?1 ? t ? 5 ? (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 M , N 两点,求 M,N 两点间的距离.
沈阳二中高三(13 届)期中考试数学试题(文科)答案 一.选择题 1 C 2 A 3 B 4 C 5 A 6 D 7 A 8 D 9 B 10 B 11 C 12 B

二.填空题 13. 6 14.④ 15. (1, )

5 2

5 ( ,3) 2

16. 1 ? 2

三.解答题 17.解: (1)? m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x),

f ( x) ? m ? n ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? 2 ? 2 sin( 2 x ?
?T ? 2? ?? 2

?
6

)?3

????3 分 ????4 分

f ( x) 的单调减区间为 [k? ?

?
6

, k? ?

2? ] 3

(k ? Z )

????6 分

(2)由 f ( A) ? 4 得 f ( A) ? 2sin(2 A ?

?

又? A为?ABC的内角 ? A ?

?
3

6

) ? 3 ? 4 , sin(2 A ?

?
6

)?

1 2
????8 分

S

ABC

?

3 ,b ? 1?c ? 2 3
1 ? 3 ?a ? 3 2

????10 分

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ?

????12 分

18. (1)证明:在 ?ABC 中,∵AC=2BC=4, ?ACB ? 600 ∴ AB ? 2 3 ∴ AB2 ? BC 2 ? AC 2 ∴ AB ? BC ∴ AB ? 面BB1C1C 由已知 AB ? BB1 BB1 ? BC ? B

故 ABE ? 面BB1C1C 又∵ AB ? 面ABE,

??????????4 分

, FM // AB , (2)证明:取 AC 的中点 M,连结 C1M , FM 在 ?ABC 中
∴ 直线 FM//面 ABE 在矩形 ACC1 A1 中,E、M 都是中点 ∴ C1 M // AE ∴直线 C1 M // 面ABE 又∵ C1 M ? FM ? M 故 C1F // 面AEB (3)在棱 AC 上取中点 G,连结 EG、BG,在 BG 上取中点 O, 连结 PO,则 PO// BB1 , ? 点 P 到面 BB1C1C 的距离等于点 O 到平面 BB1C1C 的距离。 过 O 作 OH//AB 交 BC 与 H,则 OH ? 平面 BB1C1C 在等边 ?BCG 中可知 ∴ 面ABE // 面FMC1 ??????8 分

CO ? BG,? BO ? 1 在 Rt ?BOC 中,可得 OH ?

3 3 ???12 分 ?VP ? B1C1F ? 2 3

19.解: (1)设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
2

因为它的一个顶点为 A (0, 2 ) ,所以 b ? 2 ,由离心率等于

3 , 2

x2 y2 3 a 2 ? b2 2 ? ? 1 ??4 分 得 ,解得 a ? 8 ,所以椭圆的标准方程为 ? 8 2 2 a2
(2)由已知设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,

与椭圆方程联立消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 8 ? 0 ,

1 1 或k ? ? , 2 2 16k 8 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , ??6 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
依题意有 ? ? (16k )2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) ? 8 ? 0 ,解得 k ? 由 PB ? QB ? 0 得 (1 ? k 2 ) x1x2 ? (2(k ? 2)( x1 ? x2 ) ?12 ? 0 于是 (1 ? k ) ?
2

??8 分

8 16k ? 2(k ? 2) ? (? ) ? 12 ? 0 , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

整理得 6k ? 8 2k ? 5 ? 0 ,解得 k ? ?
2

2 5 2 或k ? ? ,??10 分 2 6

又?

5 2 2 1 2 2 时, y ? ? ?? ? ? ,但 k ? ? x ? 2 ,点 Q 与点 B 重合,舍去,所以直线 l 的 6 2 2 2 2 5 2 x?2 6
??12 分

方程是 y ? ?

20.解:⑴椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2.; 又点 A(1,

3 1 3 2 2 ) 在椭圆上,因此 2 ? 2 ? 1. 得 b =1,于是 c =3; 2 4b 2
2

所以椭圆 C 的方程为 x ? y 2 ? 1, 焦点F1 (? 3, 0), F2 ( 3, 0). , ????3 分 4 ⑵∵P 在椭圆内,∴直线 DE 与椭圆相交,∴设 D(x1,y1),E(x2,y2),代入椭圆 C 的方程得

x12+4y12-4=0, x22+4y22-4=0,相减得 2(x1-x2)+4×2×
∴DE 方程为 4x+4y=5 (3) 当直线 MN 与 x 轴垂直时,方程为 x=1,S△OMN=

1 (y1-y2)=0,∴斜率为 k=-1 4
????7 分

3 2

????8 分

当直线 MN 不与 x 轴垂直时,设 MN 方程为 y ? k ? x ?1? , M(x1,y1),N(x2,y2)
2 2 2 代入椭圆 C 的方程: 4k ? 1 y ? 2ky ? 3k ? 0

?

?

则 y1+y2= ?

2k ?3k 2 , y ,且△>0 成立. 1y2= 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

k 2 ?1 ? 3k 2 ? 1 ?2 S△OMN= |y1-y2|= 2 2 2 2 1 ? 4 k ? ?

?1 ? 3k

k 2 ?1 ? 3k 2 ?
2

?k

2 2

?

?2

1 ?10 分 k 1 ? 3k 2 ? ?2 1 ? 3k 2 k2
2

1 1 3k 2 ? 1 设t ? , t ? 3 。记 f (t ) ? t ? t ? 2 , f ?(t ) ? 1 ? t 2 , f (t ) 在 (3, ??) 单调递增 2 k
f (t ) ? f (3) ? 16 3 S△OMN< 3 2

综上 S△OMN 最大值为

3 2

????12 分

另解:直线 MN 不与 y 轴垂直,∴设 MN 方程为 my=x-1,代入椭圆 C 的方程得 (m +4)y +2my-3=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=2 2

2m 3 , y1y2=- 2 ,且△>0 成立. 2 m ?4 m ?4

1 1 4m2 ? 12(m2 ? 4) 2 m2 ? 3 又 S△OMN= |y1-y2|= × = , 2 2 m2 ? 4 m2 ? 4
设 t= m2 ? 3 ≥ 3 ,则 S△OMN=

2 1 t? t

, (t+ )′=1-t >0 对 t≥ 3 恒成立,
-2

1 t

∴t= 3 时 t+ 取得最小,S△OMN 最大值为

1 t

3 2

?????12 分

21.解:(1) f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ∵

???1 分

f ( x) 在

x ? 1 处有极值 10



?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ? a?4 解得 ? ? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ?b ? ?11

?a ? ?3 ? ?b?3

???3 分

当 a ? 4, b ? ?11 时, f ' ( x) ? 3x 2 ? 8x ? 11,其中 ? ? 0 ,所以函数有极值点,?4 分 当 a ? ?3, b ? 3 时, f ' ( x) ? 3( x ? 1) 2 ? 0 ,所以函数无极值点, ∴ (2) ??5 分 ??6 分

b 的值为-11

f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ? ?? 4,? ?? , x ? ?0,2? 都成立
则 F (a) ? 2xa ? 3x ? b ? 0 对任意 a ? ?? 4,? ?? , x ? ?0,2? 都成立 ??7 分
2

∵ ∴

x?0

∴ F ( a ) 在 a ? ?? 4,? ?? 上单调递增或为常函数 ??9 分

F (a) min = F (?4) ? ?8x ? 3x 2 ? b ? 0 对任意 x ? ?0,2? 恒成立
4 16 16 b ? (?3x 2 ? 8x) max ,又 ? 3x 2 ? 8 x ? ?3( x ? ) 2 ? ? 3 3 3





x?

4 3

时取得最大值

??(11 分) ∴ b 的取值范围 ?

?16 ? ,? ? ? ?3 ?

??12 分

另解(2) f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ? ?? 4,? ?? , x ? ?0,2? 都成立 即 b ? ?3x 2 ? 2ax 对任意 a ? ?? 4,? ?? , x ? ?0,2? 都成立,即 b ? (?3x 2 ? 2ax) max ?8 分 令 F ( x) ? ?3x ? 2ax ? ?3( x ?
2

a 2 a2 ) ? 当 a ? 0 时 F ( x) max ? F (0) ? 0 ,∴ b ? 0 ?9 分 3 3

当- 4 ? a ? 0 时, F ( x) max ?

a2 a2 a2 16 16 ∴b ? ?(10 分)又 ( ) max ? ∴b ? ?11 分 3 3 3 3 3

?16 ? ??12 分 , ?? ? ?3 ? 22.解: (1)不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 即为 | x ? 2 | ?a ? 1 ? 0 ,
综上可知 b 的取值范围是 ? 当 a ? 1 时,解集为 x ? 2 , 即 (??, 2)

(2, ??) ;

当 a ? 1 时,解集为全体实数 R ; 当 a ? 1 时,解集为 (??, a ? 1)

(3 ? a, ??) ??5 分

(2) f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方, 即为 | x ? 2 |? ? | x ? 3 | ?m 对任意实数 x 恒成立, 即 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? m 恒成立, 又对任意实数 x 恒有 | x ? 2 | ? | x ? 3 |≥| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 ,于是得 m ? 5 , 即 m 的取值范围是 (??,5) ??10 分 23.解: (1) 由 ? ?

2 sin(? ?

?
4

) 得,[来源: ]

? ? sin ? ? cos? ,两边同乘 ? 得, ? 2 ? ? cos? ? ? sin ? ? 0 ,
再由

? 2 ? x 2 ? y 2 , ? cos? ? x, ? sin ? ? y ,
2 2

得曲线 C 的直角坐标方程是 x ? y ? x ? y ? 0 ????5 分[来源:学|科|网][来源:Z*xx*k.Com]

t ? 20 ? 0 (2)将直线参数方程代入圆 C 方程得, 5t ? 21
2

t1 ? t2 ?

21 , t1t2 ? 4 , 5

MN ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ?

41 . -------10 分 5


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