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高三模拟训练数学考试试题2

高三模拟训练数学考试试题 2

高三模拟训练数学试题 2(理)

本试卷分为第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间 120 分钟,满分 150 分,考试结束后,将第Ⅱ卷答题纸和答题卡一并交回. 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要 求的。

1. 以下四个命题中,真命题的个数为( )

①集合?a1, a2, a3, a4?的真子集的个数为15 ;
②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角;

③设 z1, z2 ?C ,若 z12 ? z22 ? 0 ,则 z1 ? 0 且 z2 ? 0 ;
④设无穷数列?an?的前 n 项和为 Sn ,若?Sn ?是等差数列,则?an ?一定是常数列.

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

2.在平行四边形 ABCD 中, AE ? EB,CF ? 2FB ,连接 CE 、 DF 相交于点 M ,

若 AM ? ? AB ? ? AD ,则实数 ? 与 ? 的乘积为( )

A. 1 4

B. 3 8

C. 3 4

D. 4 3

3.投掷两颗骰子,其向上的点数分别为 m 和 n ,则复数 (m ? ni)2 为纯虚数的概率为( )

A. 1 3

B. 1 4

C. 1 6

D. 1 12

4. 已知 a<b 函 数 f (x) ? sin x, g(x) ? cos x ,若命题 p : f (a) f (b) ? 0 ,命题 q:g(x)在(a,

b) 内有最值,则命题 p 是命题 q 成立的( A.充分不必要条件

) B.必要不充分条件

C.充要条件
5.函数 y ? ln x 的图象大致是( ) x

D.既不充分也不必要条件

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高三模拟训练数学考试试题 2

6.已知 f ? x? 是定义在 R 上的函数,满足 f ? x? ? f ??x? ? 0, f ?x ?1? ? f ?x ?1? ,当

x ??0,1? 时, f (x) ? 3x ?1,则 f (log1 12) 的值为( )
3

A. ? 11

B. ? 1

C. ? 1

D. 1

12

4

3

3

7.若抛物线

y2

? 16x 的准线与双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

0,b ? 0)

的一条渐近线交点的纵坐

标为 8 ,则这个双曲线的离心率为( )

A.2

B.3

C.2

D.5

8.在△ ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,已知 4 sin2 A ? B ? cos 2C ? 7 ,且

2

2

c ? 7 ,则△ ABC 的面积的最大值为( ).

73
A

B3

C73

D3

4

4

8

8

9. 已 知 定 义 在

R

上的函数

f (x) 满足:

?x2 ? 2, x ?[0, 1),

f

(

x)

?

? ?2

?

x2,

x

?[?1,

0),

且 f (x ? 2) ? f (x) ,

g(x) ? 2x ? 5 ,则方程 f (x) ? g(x) 在区间[-5,1]上的所有实根之和为( ) x?2

A. ? 8

B. ? 7

C. ? 6

D. ? 5

10.设函数 y ? f (x) 是定义在 R 上以1为周期的函数,若函数 g(x) ? f (x) ? 2x 在区间

[2 , 3] 上的 值域为[?2 , 6],则 g(x) 在区间[?12 , 12] 上的值域为(

A.[?2 , 6]

B.[?24 , 28]

C.[?22 , 32]

第 II 卷(非选择题,共 100 分)

)
D.[?20 , 34]

二、填空题(本题共 5 小题,共 25 分)

11.在 ΔABC 中, 2sin2 A ? 3 sin A ,sin(B ? C) ? 2cos B sin C ,则 AC __________。

2

AB

12.在数列{an}中, an

?

(n

? 1)( 7 )n 8

,则数列{an} 中的最大项是第

项。

13.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,E 为 A1D1 的中

点,则 BE 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为



1
14.已知 ? ?({ x, y) || x |? 1,| y| ? 1},A是曲线 y ? x2 与 y ? x2 围成的区

域,若向区域 ? 上随机投一 点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率





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高三模拟训练数学考试试题 2

15.已知

F

是双曲线 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

? 0,b

? 0? 的右焦点,O

是双曲线

C

的中心,直线

y ? mx 是双曲线 C 的一条渐近线.以线段 OF 为边作正三角形 MOF,若点 M 在双曲线 C
上,则 m 的值为________. 三、解答题(本题共 6 小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x? ? 2cos2 ?x ?1? 2 3 cos?xsin?x?0 ? ? ?1? ,直线 x ? ? 是f ? x?图角
3
的一条对称轴.
(1)试求? 的值;
(2)已知函数 y ? g ? x? 的图象是 y ? g ? x?由y ? f ? x? 图象上的各点的横坐标伸长到原

来的

2

倍,然后再向左平移

2? 3

个单位长度得到,若

g

? ??

2?

?

? 3

? ??

?

6 ,? 5

?

? ??

0,

? 2

? ??

求 sin?

的值。 17. (本小题满分 12 分) 某大学体育学院在 2012 年新招的大一学生中,随机抽取了 40 名男生, 他们的身高(单位:cm)情 况共分成五组:第 1 组[175,180),第 2 组[180,185),第 3 组 [185,190),第 4 组[190,195),第
5 组[195,200) .得到的频率分布直方图(局部)如图所 示,同时规定身高在 185cm 以上(含 185cm)的学生成为组建该校篮球队的“预备生”.
(1)如果用分层抽样的方法从“预备生”和 “非预备生”中选出5人,再从这5人中

随机选2人,那么至少有1人是“预备 生”的概率是多少?

(2)若该校决定在第4,5组中随机抽取2名学生接受技能测试,第5组中有ζ 名学生接受
测试,试求ζ 的分布列和数学期望.
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18.(本小题满分 12 分)
在四棱锥 P ? ABCD中, PA? 平面 ABCD,三角形
ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,
又 PA ? AB ? 4, ?CDA ? 120 ,点 N 在线段 PB 上,

且 PN ? 2 .
(1)求证: BD ? PC ;
(2)求证:MN//平面 PDC;
(3)求二面角 A? PC ? B 的余弦值.
19.(本小题满分 12 分)
已知数列?an? 的各项排成 如图所示的三角形数阵,数阵中每一行

的第一个数 a1, a2 , a4 , a7 ,??? 构成等差数列?bn? , Sn 是?bn? 的前 n

项和,且 b1 ? a1 ? 1, S5 ? 15
( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均
构成公比为正数的等比数列,且公比相等,已知 a9 ? 16 ,求 a50 的值;

(Ⅱ)设 Tn

?

1 Sn?1

?

1 Sn?2

?????

1 S2n

,求Tn .

20.(本小题满分 12 分)已知点 E(m,0)为抛物线 y 2 ? 4x 内的一个定点,过 E 作斜率分

别为 k1、k2 的两条直线交抛物线于点 A、B、C、D,且 M、N 分别是 AB、CD 的中点

(1)若 m = 1,k1k2 = -1,求三角形 EMN 面积的最小值;

(2)若 k1 + k2 = 1,求证:直线 MN 过定点。

21. (本题满分 14 分) 设函数 f (x) ? a ? x ln x , g(x) ? x3 ? x2 ? 3 . x

( Ⅰ ) 讨 论 函 数 h(x) ? f (x) 的 单 调 性 ; x

( Ⅱ ) 如 果 存 在 x1, x2 ?[0, 2] , 使 得

g(x1) ? g(x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M ;

(Ⅲ)如果对任意的 s,t ?[1 , 2] ,都有 f (s) ? g(t) 成立,求实数 a 的取值范围. 2

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