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朔城区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

朔城区民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 函数 f ( x) ? 2cos(? x ? ? ) ( ? ? 0 , ?? ? ? ? 0 )的部分图象如图所示,则 f (0)的值为( A. ? )

姓名__________

分数__________

3 2

B. ?1

C. ? 2

D. ? 3

【命题意图】本题考查诱导公式,三角函数的图象和性质,数形结合思想的灵活应用. 2. A.2 B.4
4 3

=( C.π
2 5 1 3



D.2π ) C. b ? c ? a ) D. c ? a ? b

3. a ? 2 , b ? 4 , c ? 25 ,则( A. b ? a ? c

B. a ? b ? c

4. 在二项式(x3﹣ )n(n∈N*)的展开式中,常数项为 28,则 n 的值为( A.12 B.8 C.6 D.4

5. 若复数 z= A.3 B.6

(其中 a∈R,i 是虚数单位)的实部与虚部相等,则 a=( C.9 D.12 在



6. 已知点 A(0,1),B(﹣2,3)C(﹣1,2),D(1,5),则向量 A. 7. 若椭圆 A.1 B.﹣ + C. D.﹣ ,则 m 的值为( C. )

方向上的投影为(



=1 的离心率 e= B. 或 )

D.3 或

8. 下列判断正确的是(

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A.①不是棱柱 B.②是圆台C.③是棱锥D.④是棱台 9. 已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=x3﹣2x2,则 f(2)+g(2) =( A.16 ) B.﹣16 C.8 D.﹣8

10.若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为(

)

A5 B4 C3 D2
11.若实数 x,y 满足 A. B.8 C.20
2 2 ,则(x﹣3) +y 的最小值是(



D.2

12.已知 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 3 ? i ,其中 i 是虚数单位,则 A. ? 1 B.

z1 的虚部为( z2



4 5

C. ? i

D. i

4 5

【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念,复数除法的运算法则,主要突出对知识的基础性考查,属于容 易题.

二、填空题
13.设函数 f(x)=
2

则函数 y=f(x)与 y= 的交点个数是



14.不等式 ax ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 恒成立,则实数的值是__________.
3 2 15.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 , x ? ?3 是函数 f ( x ) 的一个极值点,则实数 a ?



16.在各项为正数的等比数列{an}中,若 a6=a5+2a4,则公比 q=



17.如图:直三棱柱 ABC﹣A′B′C′的体积为 V,点 P、Q 分别在侧棱 AA′和 CC′上,AP=C′Q,则四棱锥 B﹣ APQC 的体积为 .

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18.过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B,若|AF|=3|BF|,则 l 的斜率是



三、解答题
19.已知函数 f(x)=alnx+x2+bx+1 在点(1,f(1))处的切线方程为 4x﹣y﹣12=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调区间和极值.

20.已知 z 是复数,若 z+2i 为实数(i 为虚数单位),且 z﹣4 为纯虚数. (1)求复数 z;
2 (2)若复数(z+mi) 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 m 的取值范围.

21. E 为底 AB 的中点, AD=DC=CB= AB=2, 如图: 等腰梯形 ABCD, 沿 ED 折成四棱锥 A﹣BCDE, 使 AC= (1)证明:平面 AED⊥平面 BCDE; (2)求二面角 E﹣AC﹣B 的余弦值.



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22.在极坐标系下,已知圆 O:ρ =cosθ +sinθ 和直线 l: (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ ∈(0,π )时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标.



23.已知椭圆 E: E 上.

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为

,点(



)在椭圆

(1)求椭圆 E 的方程;

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(2)设过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,若 AB 的中点恰好为点 P,求直线 l 的方程.

24.某滨海旅游公司今年年初用 49 万元购进一艘游艇,并立即投入使用,预计每年的收入为 25 万元,此外每 年都要花费一定的维护费用,计划第一年维护费用 4 万元,从第二年起,每年的维修费用比上一年多 2 万元, 设使用 x 年后游艇的盈利为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)此游艇使用多少年,可使年平均盈利额最大?

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朔城区民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D

2? 11? ?? 5? 5? ? 2 .由 2 ? ? ? ? 2k ? ( k ? ? ),得 ? ? ? ? 2k? ? ) ? ? ,∴ ? ? T 12 12 12 6 5? 5? 5? ) ,则 f (0) ? 2 cos(? ) ? ? 3 ,故选 D. ( k ? Z ),可得 ? ? ? ,所以 f ( x) ? 2 cos(2 x ? 6 6 6
【解析】易知周期 T ? 2( 2. 【答案】A 【解析】解:∵(﹣cosx﹣sinx)′=sinx﹣cosx, ∴ 故选 A. 3. 【答案】A 【解析】 试题分析: a ? 4 , b ? 4 , c ? 5 ,由于 y ? 4 为增函数,所以 a ? b .应为 y ? x 为增函数,所以 c ? a ,故 b ? a ? c.
x
2 3 2 5 2 3 2 3

=

=2.

考点:比较大小. 4. 【答案】B 【解析】解:展开式通项公式为 Tr+1= ?(﹣1)r?x3n﹣4r,

3 n * 则∵二项式(x ﹣ ) (n∈N )的展开式中,常数项为 28,





∴n=8,r=6. 故选:B. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的 系数,属于中档题. 5. 【答案】A 【解析】解:复数 z= 由条件复数 z= = = .

(其中 a∈R,i 是虚数单位)的实部与虚部相等,得,18﹣a=3a+6,

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解得 a=3. 故选:A. 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,考查计算能力. 6. 【答案】D 【解析】解:∵ ∴ 在 方向上的投影为 = ; = .

故选 D. 【点评】考查由点的坐标求向量的坐标,一个向量在另一个向量方向上的投影的定义,向量夹角的余弦的计算 公式,数量积的坐标运算. 7. 【答案】D 【解析】解:当椭圆 由 e= 当椭圆 由 e= 即 m= 故选 D 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.解题时要对椭圆的焦点在 x 轴和 y 轴进行分类讨论. ,得 + = + =1 的焦点在 x 轴上时,a= ,即 m=3 ,b= ,c= ,b= ,c=

=1 的焦点在 y 轴上时,a= = ,

,得 .

8. 【答案】C 【解析】解:①是底面为梯形的棱柱; ②的两个底面不平行,不是圆台; ③是四棱锥; ④不是由棱锥截来的, 故选:C. 9. 【答案】B 【解析】解:∵f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=x ﹣2x ,
3 2

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3 2 ∴f(﹣2)﹣g(﹣2)=(﹣2) ﹣2×(﹣2) =﹣16.

即 f(2)+g(2)=f(﹣2)﹣g(﹣2)=﹣16. 故选:B. 【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法,考查计算能力. 10.【答案】C 【解析】由已知,得{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},所以集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个 数为 3. 11.【答案】A 【解析】解:画出满足条件的平面区域,如图示:



由图象得 P(3,0)到平面区域的最短距离 dmin=
2 2 ∴(x﹣3) +y 的最小值是:





故选:A. 【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道基础题. 12.【答案】B 【解析】由复数的除法运算法则得,

4 z z1 1 ? 3i (1 ? 3i)(3 ? i) 6 ? 8i 3 4 ? ? ? ? ? i ,所以 1 的虚部为 . 5 z2 3 ? i (3 ? i)(3 ? i) 10 5 5 z2

二、填空题
13.【答案】 4 .

【解析】解:在同一坐标系中作出函数 y=f(x)= 示,

的图象与函数 y= 的图象,如下图所

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由图知两函数 y=f(x)与 y= 的交点个数是 4. 故答案为:4.

14.【答案】 a ? 1 【解析】
2 试题分析:因为不等式 ax ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 恒成立,所以当 a ? 0 时,不等式可化为 x ? 1 ? 0 ,不符合题意;

当 a ? 0 时,应满足 ?

?a ? 0 ?? ? (a ? 1) ? 4a ? 0
2

,即 ?

?a ? 0
2 ?(a ? 1) ? 0

,解得 a ? 1 .1

考点:不等式的恒成立问题. 15.【答案】5 【解析】 试题分析: f ( x) ? 3x ? 2ax ? 3,? f (?3) ? 0,? a ? 5 .
' 2 '

考点:导数与极值. 16.【答案】 2 .

2 【解析】解:由 a6=a5+2a4 得,a4q =a4q+2a4,

即 q ﹣q﹣2=0,解得 q=2 或 q=﹣1, 又各项为正数,则 q=2, 故答案为:2. 【点评】本题考查等比数列的通项公式,注意公比的符号,属于基础题. 17.【答案】 V 【解析】 【分析】四棱锥 B﹣APQC 的体积,底面面积是侧面 ACC′A′的一半,B 到侧面的距离是常数,求解即可.

2

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【解答】解:由于四棱锥 B﹣APQC 的底面面积是侧面 ACC′A′的一半,不妨把 P 移到 A′,Q 移到 C, 所求四棱锥 B﹣APQC 的体积,转化为三棱锥 A′﹣ABC 体积,就是: 故答案为: 18.【答案】 .

2 【解析】解:∵抛物线 C 方程为 y =4x,可得它的焦点为 F(1,0),

∴设直线 l 方程为 y=k(x﹣1), 由 ,消去 x 得 .

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 可得 y1+y2= ,y1y2=﹣4①. ∵|AF|=3|BF|,
2 ∴y1+3y2=0,可得 y1=﹣3y2,代入①得﹣2y2= ,且﹣3y2 =﹣4, 2 消去 y2 得 k =3,解之得 k=±



故答案为:



【点评】本题考查了抛物线的简单性质,着重考查了舍而不求的解题思想方法,是中档题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)求导 f′(x)= +2x+b,由题意得: f′(1)=4,f(1)=﹣8, 则
2

,解得



所以 f(x)=12lnx+x ﹣10x+1; (2)f(x)定义域为(0,+∞), f′(x)= ,

令 f′(x)>0,解得:x<2 或 x>3, 所以 f(x)在(0,2)递增,在(2,3)递减,在(3,+∞)递增, 故 f(x)极大值=f(2)=12ln2﹣15, f(x)极小值=f(3)=12ln3﹣20.

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20.【答案】 【解析】解:(1)设 z=x+yi(x,y∈R). 由 z+2i=x+(y+2)i 为实数,得 y+2=0,即 y=﹣2. 由 z﹣4=(x﹣4)+yi 为纯虚数,得 x=4. ∴z=4﹣2i.
2 2 (2)∵(z+mi) =(﹣m +4m+12)+8(m﹣2)i,

根据条件,可知 解得﹣2<m<2, ∴实数 m 的取值范围是(﹣2,2). 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义,属于基础题. 21.【答案】 【解析】(1)证明:取 ED 的中点为 O, 由题意可得△AED 为等边三角形, ,
2 2 2



∴AC =AO +OC ,AO⊥OC, 又 AO⊥ED,ED∩OC=O,AO⊥面 ECD,又 AO?AED, ∴平面 AED⊥平面 BCDE;… (2)如图,以 O 为原点,OC,OD,OA 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 E(0,﹣1,0),A(0,0, , 设面 EAC 的法向量为 面 BAC 的法向量为 由 ∴ 由 ∴ ,得 , ,得 , ,∴ , ,∴ , , ),C( ,0,0),B( , ,﹣2,0), ,

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∴ ∴二面角 E﹣AC﹣B 的余弦值为

, .…

2016 年 5 月 3 日 22.【答案】
2 【解析】解:(1)圆 O:ρ =cosθ +sinθ ,即 ρ =ρ cosθ +ρ sinθ , 2 2 2 2 故圆 O 的直角坐标方程为:x +y =x+y,即 x +y ﹣x﹣y=0.

直线 l: 为:y﹣x=1,即 x﹣y+1=0. (2)由 (0,1), 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 ,可得

,即 ρ sinθ ﹣ρ cosθ =1,则直线的直角坐标方程

,直线 l 与圆 O 公共点的直角坐标为



【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系,属于基础题. 23.【答案】 【解析】解:(1)由题得 =
2 2 解得 a =8,b =4.



=1,又 a2=b2+c2,

∴椭圆方程为:



(2)设直线的斜率为 k,A(x1,y1),B(x2,y2), ∴ , =1,

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两式相减得 ∵P 是 AB 中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2, 代入上式得:4+4k=0,解得 k=﹣1, ∴直线 l:x+y﹣3=0.

=0, =k,

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题. 24.【答案】 【解析】解:(1) (2)盈利额为 当且仅当 即 x=7 时,上式取到等号…11
* (x∈N )…6



答:使用游艇平均 7 年的盈利额最大.…12 【点评】本题考查函数模型的构建,考查利用基本不等式求函数的最值,属于中档题.

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