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函数三要素_图文

求函数的定义域时常有的几种情况: ①若f(x)是整式,则函数的定义域是: 实数集R; ②若f(x)是分式,则函数的定义域是:

使分母不等于0的实数集;
③若f(x)是偶次根式,则函数的定义域是: 使根号内的式子大于等于0的实数集.

注意

定义域的表示方法:集合、区间

(二)复杂函数的定义域 例2 求函数 f (x) ? 3x ? 2 ?
1 的定义域. x?2
若f(x)是由几个数

解:要使函数有意义,
?3x ? 2 ? 0 2 则? ,即 x ? ? 且x ? 2 . 3 ?x ? 2 ? 0

学式子构成的,则
函数的定义域是使 各个式子都有意义

所以函数的定义域为 ? x x ? ? 2 且x ? 2 ? ? ?
? 3 ?

的实数集合。

(三)抽象函数的定义域 例3 已知f ? x ?的定义域 ? 0, 2? , 求f (2x ? 1)的定义域.

解: 由题意知: 0 ? 2x ?1 ? 2 1 3 ? ?x? 2 2 1 3 故 : f (2x ? 1)的定义域是{x ? x ? }. 2 2

对于抽象函数 的定义域,在 同一对应关系f 下,括号内整 体的取值范围 相同.

探究点2 函数的值域
例4 求下列函数的值域. 观察 法

(1)y ? x ? 1
解: ? x ? 0 ? x ?1 ? 1

(2)y ? x 2 ? 4x ? 6, x ?[1,5]
解:配方,得y ? (x ? 2) 2 ? 2 ? x ? ?1,5? ? 2 ? y ? 11 ?函数的值域是{y | 2 ? y ? 11}

配方法

? y ? x ? 1的值域 是[1, ??).

求函数的值域,应先确定定义域,树立定义域优先原 则,再根据具体情况求y的取值范围.

你能求出下列函数的值域吗?

x (1)y ? x ?3
( 解:y ? x ? 3) ? 3 ? 1 ? 3 x ?3 x ?3

(2)y ? x ? 2x ?1
解:设u ? 2x ? 1, 则u ? 0,

1? u2 1? u2 且x ? 于是 y ? ? u, 3 2 2 ? ? 0,? y ? 1. x ?3 1 2 即y ? ? u ? 1? . 2 ∴函数的值域为 y y ? 1 . 故函数 函数的值 y ? x ? 2x ? 1的值域 1 域用集合 为[ , ??). 或区间表 2 分离常数 换元法

?

?





注意

值域的表示方法:集合、区间

探究点4 求函数解析式
一、函数的解析式: 把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等 式就叫函数的解析式,简称解析式. 二、求函数解析式的常用方法有: 1.待定系数法 2.换元法(构造法) 3.消元法

例3

已知f(x)是一次函数,f[f(x)]=4x-1,求f(x)的

解析式. 解:设f(x)=kx+b 则 f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b =k2x+kb+b=4x-1
? k ?4 则有 ? ?kb ? b ? ?1
2

? k?2 ? k ? ?2 ? ?? 或? 1 b?? ? b ?1 ? 3 ?

待定系 数法

1 ? f (x) ? 2x ? 或f (x) ? ?2x ? 1 3 适合:已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例
函数等)求函数解析式.

例4
解:

已知 f (x ? 1) ? x 2 ? 2x ? 2 ,求 f (x).

令t = x +1,则x = t-1
2

∴f ?t? = f ? x +1? = ?t-1? + 2 ?t-1? + 2 = t2 +1

∴ ? x ? = x +1 f
2

适合:已知f[g(x)]的解析式,求f(x).

换元法

1 例5 已知 3 f ( x) ? 2 f ( ) ? x( x ? 0) ,求 f (x). x

1 ? ?3 f ( x) ? 2 f ( x ) ? x ? 解:由 ? ?3 f ( 1 ) ? 2 f ( x) ? 1 ? x x ?
3x 2 ? ( x ? 0) 解得 f ( x) ? 5 5x

消去法

适合: 同时含有 f (x)与f ( 1 ),或f (x)与f (?x)的表达式.
x


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