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河南省郑州外国语学校2012届高三下学期综合测试验收(1)数学(理)试题

郑州外国语学校 2011—2012 学年度下学期 高三数学(理)综合验收试题一

第Ⅰ卷为选择题,共 60 分;第Ⅱ卷为非选择题共 90 分。满分 100 分,考试时间为 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符 合题目要求的.

1 . 设 集 合 M ? {x || x |? 2012}, N ? {x | 0 ? x ? 1} , 则 下 列 关 系 中 正 确 的 是
()

A. M N ? R

B. M N ? {x | 0 ? x ? 1}

C. N ? M

D. M N ? ?

i 2012 2.复数 i2011 ? 2 的虚部为

()

2

1

2

1

A. 5 B. 5 C.― 5 D.― 5

y ? 2 与直线y ? x ?1及x ? 4

3.曲线 x

所围成的封闭图形的面积为

()

A. 2 ? ln 2 B. 4 ? 2 ln 2 C. 4 ? ln 2 D. 2 ln 2
4.根据下列三视图(如下图所示),则它的体积是

()

a3 A. a3 B. 3a3 C. 3 D. 4a3
5.函数 f (x) ? Asin(?x ? ?) 的图象如图所示,为了得到 g(x) ? ? Acos?x 的图像,可以将

f (x) 的图像

()

? A.向右平移 12 个单位长度

5? B.向右平移 12 个单位长度

? C.向左平移 12 个单位长度

5? D.向左平移 12 个单位长度

6.已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数。若 a1=d,

a12 ? a22 ? a32 b1=d2,且 b1 ? b2 ? b3 是正整数,则 q 等于

()

1 A. 7

?1 B. 7

1 C. 2

?1 D. 2

7.右图是一个算法的程序框图,该算法所输出的结果是( )

1

2

1

A. 2 B. 3

,

3

3

4

,

C. 4 D. 5

5

? ? 8.

1? x ? x2

1005
展开式最高次项的系数等于

()

A.1

B. 31005 ? 1

C. 31005 ? 1

D.2010

9.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 r 上存在点 P 满足 PF1 : F1F2 : PF2 =4:3:2,

则曲线 C 的离心率等于

()

1或 3 A. 2 2

2 B. 3 或 2

1或 C. 2 2

2或 3 D. 3 2

10.随机事件 A 和 B,“ P(B | A) ? 0 成立”是“事件 A 和事件 B 对立”的( )条件

() A.充要

B.充分不必要

C.必要不充分

D.即不充分也不必要

y ? log2 | x |

11.函数

x 的图象大致是

()

?y ? x

??x ? 2 y ? 4则t ? x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2

12.已知 x,y 满足不等式组 ?? y ? ?2

的最小值为

()

9 A. 5 B.2 C.3 D. 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。

13.已知函数 f(x) ?| x | ? | x ? 3 |,若 (f x)? a ? x 恒成立,则 a 的取值范围是



14.在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AB 的中点,则点 C 到平面 A1DM 的距离





15 . 在 △ ABC 和 △ AEF 中 , B 是 EF 的 中 点 , AB=EF=1 , BC=6 , CA ? 33 , 若

AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于



16.下列说法:

①“ ?x ? R, 使2x ? 3 ”的否定是“ ?x ? R, 使2x ? 3 ”;

②函数

y

?

sin(2x

?

? 3

) sin(? 6

?

2x)

的最小正周期是? ;

③命题“函数 f (x)在x ? x0 处有极值,则 f '(x0 ) ? 0 ”的否命题是真命题;

④ f (x)是(-?,0) (0,+?)上的奇函数, x ? 0 时的解析式是 f (x) ? 2x ,则 x ? 0 时

的解析式为 f (x) ? ?2?x. 其中正确的说法是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)

? a

?

(cos

3

x, sin

3

x)

? b

?

(cos

x

,? sin

x)

x ?[? , 3? ]

已知向量

2

2,

2

2 ,且 2 2

?? (1)求| a ? b | 的取值范围;
?? ? ? (2)求函数 f (x) ? a ? b ? | a ? b | 的最小值,并求此时 x 的值

18.(本小题满分 12 分)
已知等差数列?an? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,?an? 的前 n 项和为 Sn .
(Ⅰ)求 an 及 Sn ; 1
(Ⅱ)令 bn= an2 ?1 ( n ? N * ),求数列?bn? 的前 n 项和Tn 。
19.(本小题满分 12 分) 一个四棱锥的三视图如图所示,E 为侧棱 PC 上一动点。

(1)画出该四棱锥的直观图,并指出几何体的主要特征(高、底等).
(2)点 E 在何处时, PC ? 面 EBD,并求出此时二面角 A ? BE ? C 平面角的余弦值.

20.(本小题满分 12 分)

2011 年深圳大运会,某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列,每个系列都有 K 和 D 两个动作,比赛时每位运动员自选一个系列完成,两个动作得分之和为该运动员的成绩。假

设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的,根据赛前训练统计数据,某

运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表:

甲系列:

动作

K

D

得分

100

80

40

10

概率

3

1

3

1

4

4

4

4

乙系列:

动作

K

D

得分

90

50

20

0

概率

9

1

9

1

10

10

10

10

现该运动员最后一个出场,其之前运动员的最高得分为 118 分。

(I)若该运动员希望获得该项目的第一名,应选择哪个系列,说明理由,并求其获得第

一名的概率;

(II)若该运动员选择乙系列,求其成绩 X 的分布列及其数学期望 EX。

21.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 C1 、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O ,从每条
曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:

x

3

?2

4

2

y

?2 3 0

?4

2

2

(Ⅰ)求 C1、C2 的标准方程;

(Ⅱ)请问是否存在直线 l 满足条件:①过 C2 的焦点 F ;②与 C1 交不同两点 M、N , 且

满足 OM ? ON ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。

22.(本小题满分 14 分)

已知函数

f (x)

?

kx ?1 x ? 1 ,且函数

f

? x? 是 ??1, ??? 上的增函数。

(1)求 k 的取值范围;
kx?1
(2)若对任意的 x ? 0 ,都有 e x?1 ? x ? 1 (e 是自然对数的底),求满足条件的最大整
数 k 的值。

参考答案

一.选择题 1.B; 2.B;3.B;4.D;5.B;6.C;7.C;8.B;9.A;10.C; 11.D;12.D; 二.填空题

6a

cos θ ? 2

13.(-∞,3);14. 3 ;15.

3 ;16.①④;

三.解答题

x ?[? , 3? ]

17.解析:(1)∵

22

∴ ?1 ? cos 2x ? 1

??

??

| a ? b |? 2 ? 2 cos 2x ∴ 0≤| a ? b | ≤2

4分

x ?[? , 3? ]

(2)∵

22

∴ ?1 ? cos x ? 0 ;…………6 分

?? ? ? ∵ f (x) ? a ? b ? | a ? b |? cos 2x ? 2 ? 2 cos 2x

? 2 cos2 x ?1 ? 4 cos2 x ? 2 cos2 x ? 2 cos x ?1 ………………10 分



cos


x

?

?

1 2

,即

x

?

2? 3



x

?

4? 3

时,

f

(x)

?

? a

? ?b?

|

? a

?

? b

| 取最小值-

3 2



……………………12 分
18.解析:(Ⅰ)设等差数列?an? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

???2a1a?1 ?21d0?d

7 ?

26

,解得

a1

?

3,d

?

2



所以 an

?

3 ? (2 n

?1)=2n+1; Sn

3n+
=

n(n-1) 2

?2

= n2 +2n

。………………6



(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an

?

2n+1,所以 bn=

1

1

an2 ?1 =(2n+1)2

= ?1

1? 1 4 n(n+1)

1?( 1 =4 n

-1) n+1 ,

所以

Tn

=

1 4

?

(1-

1 2

+

1 2

?

1 3

+

+ 1 - 1 ) 1 ? (1- 1 )= n n+1 = 4 n+1

n 4(n+1) ,

n
即数列?bn? 的前 n 项和Tn = 4(n+1) 。……………12 分
19.解析:(1)直观图如下:
………………3 分 该四棱锥底面为菱形,边长为 2,其中角 A 为 60 度,顶点 A 在底面内的射影为底面菱形 的中心,四棱锥高为 1。………………4 分 (2)如图所示建立空间直角坐标系:

显然 A ( 3,0,0) 、B (1,0,0) 、P (0,0,1) . 令 PE ? ? PC ,得: PE ? (? 3?,0,??) 、 E(? 3?,0,1 ? ?) .

显然 DB ? PE ? (0,2,0) ? (? 3?,0,??) ? 0 ,

当 OE ? PE ? (?

3?,0,??) ? (?

3?,0,1 ? ?) ? 4?2 ? ? ? 0 ? ? ? 1 4.

PE ? 1 PC

所以当

4 时, PC ? 面 BDE。………………8 分

分别令 n1 ? (x1, y1,1) 和 n2 ? (x2 , y2 ,1) 为平面 PBC 和平面 ABE 的法向量,

???n1 由 ??n1

? ?

PB PC

?0 ?0

?

? y1 ? ??

?1? 0 3x1 ?1

?

0

n1
,得

?

(?

3 ,1,1) 3

???n2 由 ??n2

? AB ? AE

?0 ?
?0

??? ? ???

3x2 ? 5 4 3x2

y2 ? 0

?

3 4

?

0

,得 n2

?(

3 , 3 ,1) 55

cos
可得:

?

n1 , n2

??

|

n1 ? n2 n1 || n2

|

?

7 777 259



? 7 777 显然二面角 A ? BE ? C 平面角为钝角,得其余弦值为 259 。…………12 分

20.解析:(I)若该运动员希望获得该项目的第一名,应选择甲系列.……1 分 理由如下:选择甲系列最高得分为 100+40=140>118,可能获得第一名;而选择乙系列
最高得分为 90+20=110<118,不可能获得第一名. ……2 分 记“该运动员完成 K 动作得 100 分”为事件 A,“该运动员完成 D 动作得 40 分”为事件 B,则

3

3

P (A)= 4 ,P (B)= 4 . …………4 分

记“该运动员获得第一名”为事件 C,依题意得

3× 3+1× 3 3
P (C)=P (AB)+ P (AB) = 4 4 4 4 = 4 .

3
该运动员获得第一名的概率为 4 .…………6 分

(II)若该运动员选择乙系列,X 的可能取值是 50,70,90,110, …………7 分

1× 1

1

则 P (X=50)= 10 10 = 100 ,

1× 9

9

9× 1

9

P (X=70)= 10 10 = 100 ,P (X=90)= 10 10 = 100 ,

9 × 9 81
P (X=110)= 10 10 = 100 . …………9 分

X 的分布列为:

X 50 70 90 110

P

1

9

9 81

100 100 100 100

1

9

9

81

∴ EX =50× 100 +70× 100 +90× 100 +110× 100 =104. ……12 分

21.解析:(Ⅰ)设抛物线 C2

: y2

? 2 px( p ? 0) ,则有

y2 x

? 2 p(x ? 0) ,据此验证 4 个点知

(3, ? 2 3 )、(4, ? 4)在抛物线上,易求 C2 : y 2 ? 4x

………………2 分



CC12::

x a

2 2

?

y2 b2

? (a

? b ? 0) ,把点( ? 2,0)(

2 2 , 2 )代入得:

?4 ??a 2

?1

? ?

2

??a 2

?

1 2b 2

?1

??a 2 ? 4 解得 ???b2 ? 1

∴ C1 方程为

x2 4

?

y2

?1

………………………………………………………………5 分

(Ⅱ)法一:

假设存在这样的直线 l 过抛物线焦点 F (1, 0) ,设直线 l 的方程为 x ?1 ? my, 两交点坐标为

M (x1, y1 ), N (x2 , y2 ) ,

?x ?1 ? my

?

?x2 由 ?? 4

?

y2

? 1消去 x ,得 (m2

? 4) y 2

? 2my ? 3 ? 0, …………………………7 分



y1

?

y2

?

? 2m , m2 ? 4

y1 y2

?

?3 m2 ? 4



x1x2 ? (1? my1)(1? my2 ) ? 1? m( y1 ? y2 ) ? m2 y1y2

? 1? m ? ? 2m ? m2 ? ? 3 ? 4 ? 4m2

m2 ? 4

m2 ? 4 m2 ? 4 ②

………………………9 分

由 OM ? ON ,即 OM ? ON ? 0 ,得 x1x2 ? y1 y2 ? 0(*)

4 ? 4m2 ? 3

?

?0

m??1

将①②代入(*)式,得 m2 ? 4 m2 ? 4 , 解得

2 …………………11 分

所以假设成立,即存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为: y ? 2x ? 2 或 y ? ?2x ? 2 ……12 分

法二:容易验证直线 l 的斜率不存在时,不满足题意;……………………………6 分

当直线 l 斜率存在时,假设存在直线 l 过抛物线焦点 F (1, 0) ,设其方程为 y ? k(x ?1) ,与 C1

的交点坐标为 M (x1, y1 ), N (x2 , y2 )

?? x2 ?4

?

y2

?1

由 ?? y ? k(x ?1) 消掉 y ,得 (1? 4k 2 )x2 ? 8k 2x ? 4(k 2 ?1) ? 0 , …………8 分

于是

x1

?

x2

?

8k 2 1? 4k2



x1x2

?

4(k 2 ?1) 1? 4k 2



y1y2 ? k(x1 ?1) ? k(x1 ?1) ? k 2[x1x2 ? (x1 ? x2 ) ?1]



y1 y2

?

k

2

(

4(k 1?

2? 4k

1)
2

?

1

8k 2 ? 4k

2

? 1)

?

?

1

3k 2 ? 4k

2

② ………………………………10 分

由 OM ? ON ,即 OM ? ON ? 0 ,得 x1x2 ? y1 y2 ? 0(*)

将①、②代入(*)式,得

4(k 2 ?1) 1? 4k 2

?

1

3k 2 ? 4k

2

?

k2 ? 4 1? 4k 2

?

0 ,解得 k

?

?2 ;……11



所以存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为: y ? 2x ? 2 或 y ? ?2x ? 2 .………12 分

22.解析:(1)设

f

?( x)

?

k ?1 (x ? 1)2

,所以

g??x? ?

0

,得到 k

?

?1 .所以 k

的取值范围为

(?1, ??) ………2 分

kx?1
(2)令 g(x) ? e x?1 ,因为 f ? x? 是 ??1, ??? 上的增函数,且 e ? 1 ,所以 g ? x? 是 ??1, ??? 上
的增函数。…………………………4 分
k ?1
由条件得到 g(1) ? 2 ? e 2 ? 2 ? k ? 2 ln 2 ? 1 ? 3 (两边取自然对数),猜测最大整数
2 x?1
k ? 2 ,现在证明 e x?1 ? x ?1对任意 x ? 0 恒成立。…………6 分

2 x?1

2 ? 3 ? ln ? x ?1? ? ln ? x ?1? ? 3 ? 2

e x?1 ? x ?1等价于 x ?1

x ?1 ,………………8 分

h?x?


?

ln ? x ?1? ?

3 x ?1

?

h?? x?

?

1? x ?1

?x

3
? 1?2

?

x?2
? x ?1?2



当 x ??0, 2? 时, h?? x? ? 0 ,当 x ??0, ??? 时, h?? x? ? 0 ,

所以对任意的

x

?

0

都有

h?

x?

?

h?2?

?

ln 3 ?1

?

2

2 x?1
,即 e x?1

?

x

? 1 对任意

x

?

0

恒成立,

所以整数 k 的最大值为 2.……………………………………………………14 分


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