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3.4 基本不等式_图文

第三章 不等式
a?b 3.4 基本不等式: ab ? 2

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会 会标.会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的, 颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热 情好客。

思考:这会标中含有 怎样的几何图形?

思考:你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系?

D

探究1:
1、正方形ABCD的

a ?b
2

2

b
G F E C H

a ?b 面积S=_____
2

2

2、四个直角三角形的 面积和S’ =__ 3、S与S’有什么

A

a

2ab

样的不等关系?
B
> S′ S____

问:那么它们有相等的情况吗?

D b G A H

D

a 2 ? b2
F
E a a C A E(FGH) b C

B

B

重要不等式: 一般地,对于任意实数a、b,我们有 2 2

a ? b ? 2ab

当且仅当a=b时,等号成立。

思考:你能给出不等式 a 2 ? b 2≥2ab 的证明吗?

证明:(作差法) a ? b ? 2ab ? (a ? b)
2 2

2

当a ? b时
当a ? b时
2

(a ? b) ? 0
2
2

(a ? b) ? 0

所以(a ? b) ≥0
所以a ? b ≥2ab.
2 2

结论:一般地,对于任意实数a、b,总有

a ? b ≥2ab
2 2

当且仅当a=b时,等号成立
适用范围: a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?
2 2 ( a ) ? ( b ) ≥2 a ? b 替换后得到:

即:

a ? b≥2 ab

a?b 即: ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗?

a?b 证明:要证 ≥ ab 2
只要证

a?b 证明不等式: ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2
分 析 法
① ②
2

a ? b≥ _______ 2 ab _____ 要证①,只要证 a ? b ? 2 ab ≥0
2

(a ? 0, b ? 0, a ? ( a ) , b ? ( b ) )
要证②,只要证

(___ a ? ___) b ≥0
2



显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.

基本不等式
特别地,若a>0,b>0,则
≥ a ? b _____ 2 ab

a?b 通常我们把上式写作: ab≤ (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式.

适用范围: a>0,b>0

a?b 在数学中,我们把 叫做正数a,b的算术平均数, 2 ab 叫做正数a,b的几何平均数;
文字叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 ? 如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______

BC DC Rt△ACD∽Rt△DCB, 所以 ? DC AC

所以DC 2 ? BC ? AC ? ab

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 ? 如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______
≥ OD_____CD >

③OD与CD的大小关系怎样?

a?b ≥ ab 2

几何意义:半径不小于弦长的一半

填表比较:

a ? b ≥2ab
2 2

a?b ≥ ab 2
a>0,b>0

适用范围 文字叙述 “=”成立条件

a,b∈R

两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数

a =b

a =b

注意从不同角度认识基本不等式

例 1 (1) 如图 , 用篱笆围成一个面积为 100m2的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最 A D 短的篱笆是多少?

解:如图设BC=x ,CD=y , 若x、y皆为正数, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.

y
B

x

C

x ?则当 y xy的值是常数P时, ? x ? y≥2 100 ? 20, ≥ xy 2当且仅当x=y时, ? 2( x ? y)≥40 x+y有最小值_______. 2 P 当且仅当 x=y 时,等号成立 此时x=y=10.
x ?? yxy ≥2 xy ? 2 P? x ? 10 10m时,所用的篱笆 因此,这个矩形的长、宽都为 ? 100 解? ,可得 ? 最短,最短的篱笆是 40m. ? x? y ? y ? 10

例1 (2)如图,用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜 园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的面积 最大,最大面积是多少? A D

解:如图,设BC=x ,CD=y ,
则 2( xx +、 y)= 36 , x + y =18 若 y皆为正数,
B

y

x

C

则当x+y的值是常数 矩形菜园的面积为 xy m2S时, 当且仅当 =y时, x ? y x18 xy ≤ ? ?1 9 2 得 xy ≤ 81 2 2 S ; xy有最大值 _______ 4 当且仅当x=y时,等号成立 即x=y=9 x? y S 1 2 因此,这个矩形的长、宽都为 xy ≤ ? ? xy≤ 9m S 时, 4 2 2 2 菜园面积最大,最大面积是 81m

已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S ? xy≤ 1 S 4

利用基本不等式求最值时,要注意
①各项皆为正数; ②和或积为定值; ③注意等号成立的条件.
一“正” 二“定” 三“相等”

基本不等式在实际问题中的应用
例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容

积为4800m3,深为3m。如果池底每平方米的造价为150 元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使 总造价最低?最低总造价是多少? 分析:水池呈长方体形,它的高是 3m,底面的长与宽没有确定。如果 底面的长与宽确定了,水池总造价 也就确定了。因此应当考察底面的 长与宽取什么值时水池总造价最低。

3m

x

y

解:设底面的长为xm,宽为ym, 水池总造价为z元。 根据题意,得
4800 z ? 150 ? ? 120(2 ? 3x ? 2 ? 3 y) 3

? 240000 ? 720( x ? y)
3

3m

由容积为4800m ,可得

3xy ? 4800 因此,xy ? 1600

x

y

由基本不等式与不等式的性质,可得 240000 ? 720( x ? y) ? 240000 ? 720 ? 2 xy



z ? 240000 ? 720 ? 2 1600 z ? 297600 当x ? y,即x ? y ? 40时,等式成立
所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总 造价最低,最低总造价是297600元。 反思:应用题,先弄清题意(审题),建立数学模型 (列式),再用所掌握的数学知识解决问题(求解), 最后要回应题意下结论(作答)。

例3:
1.已知a, b, c都是正数, 求证(a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 8abc.

证明:

? a ? b ? 2 ab ? 0,
b ? c ? 2 bc ? 0,

c ? a ? 2 ac ? 0,
?(a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 8 ab? bc ? ca ? 8abc.

y x 2.已知x, y ? R , 求证 ? ? 2. x y
?

证明:

? x, y ? R

?

y x ? ? , ?R , x y
y x y x ? ? ?2 ? ?2 x y x y

练习

1  已知 (1) x ? 0, 求x ? 的最值; x
1 1 解 x ? 0,? x ? ? 2 x ? ? 2 x x 1 当且仅当x ? 即x ? 1时原式有最小值2. x

1 (2)已知x ? 0, 求x ? 的最值; x
解 x ? 0,?? x ? 0

1 1 1 ? x ? ? ?[(? x) ? (? )] ? ?2 (? x) ? (? ) ? ?2 x x x 1  当且仅当 ? x ? ? 即x ? ?1时有最大值 ? 2. x

1 (3)若x ? 3, 函数y ? x ? , 当x为何值时,函数 x ?3 有最值,并求其最值。

 x ? 3 1 1 ?y ? x ? ? (x-3) ? ?3 x ?3 x-3 1    ? 2 ( x ? 3) ? ?3? 5 x ?3 1 当且仅当x ? 3 ? , 即x ? 4时,函数有最大值, x ?3 最大值为5。 解

小结归纳:
1、求解应用题的方法与步骤: (1)弄清题意(审题) (2)建立数学模型(列式) (3)用所掌握的数学知识解决问题(求解) (4)回应题意下结论(作答) 2、应用基本不等式求最值时,必须要考虑三个 条件:一正、二定、三等 3、求函数的最值要依据函数的定义域来求解


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