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2015-2016学年河南京翰教育高三数学(理科)一模考试卷

洛阳市 2015—2016 学年度高三年级统一考试

数学试题(理 A)
注意:本试卷分试题卷和答题卡两部分,考试时间 120 分钟,满分 150 分,学生 应先阅读答题卡上的文字信息, 然后在答题卡上用蓝色笔或者黑色笔作答, 在试 题卷上作答无效,交卷时交答题卡。

题号 分数







总分

一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题,共 60 分,每小题只有一个正确选项)
1、已知全集 U=R,集合 M={x|-2≤x-1≤2}和 N={x|x=2k-1,k=1,2,?}的关系的维恩 (Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( A.3 个 B.2 个 C .1 个 ) D.无穷多个

2、已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi) =( A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i

2

)

3、 如图所示的四个程序框图都是为了计算 S= 1 ? ( )

1 1 1 1 ? ? ? 的值,其中,错误的算法是 3 5 7 9

4、将函数 y=sin 调递减区间是(

? x 的图象向右平移 2 个单位后,得到函数 f(x)的图象,则函数 f(x)的单 2


A. [﹣1+2k,1+2k],k∈Z B. [1+4k,3+4k],k∈Z

C. [﹣1+4k,1+4k],k∈Z D.

5、已知





的夹角为

,如图,若







的中点,则

为(



A.

B.

C .7

D.18 )

6、等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,若 a1+a2=5,a3+a4=9,则 S10 的值为( A. 55 B. 60 C. 65 D. 70

7、在△ABC 中,若 S△ABC=

1 2 2 2 (a +b ﹣c ),那么 C 等于( 4



A.

B.

C.

D.

8、设 F 为抛 物线 y =4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 | A.3 |+| |+| |的值为 ( B.4 ) C.5

2

+

+

=0,则

D.6

9、已知 R 上的不间断函数 有 时, 成立,则 的取值范围( 。又函数

满足:①当 满足:对任意的 。 若关于 )

时, ,都有

恒成立;②对任意的

都 成立,当

的不等式





A.

B.

C.

D.

10、设曲线 y= x 前 10 项和等于 (

n2 ?n

( )

)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则数列{ xn }

A、

B、

C、

D、

11、设函数

的定义域为 D,如果对于任意的

,存在唯一的

,使得

成立(其中 C 为常数),则称函数 下列函数在其定义域上的算术均值可以为 2 的函数 是 ( ) A. B.

在 D 上的约算术均值为 C,则

C.

D.

12、已知点

, ,则



,动圆

与直线 ( )

切于点

,过



与圆

相切的两直线相交于点

点的轨迹方程为









二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,共 20 分)

13、计算

=



14、圆心在曲线

上,且与直线 2x+y+1=0 相切的面积最小的圆的方程为

15、对任意两个实数 则

,定义 的最小值为

若 .





16、如图,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,AP=3,点 Q 是△BCD 内(包括边界)的动 点,则 ? 的取值范围是 .

三、简答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17、(满分 12 分)在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=

.

(1)求 cos∠CAD 的值;(2)若 cos∠BAD=-

,sin∠CBA=

,求 BC 的长.

18、(满分 12 分)如图所示,PA⊥平面 ABCD,△CAB 为等边三角形,PA=AB,AC⊥CD,M 为 AC 中点. (Ⅰ)证明:BM∥平面 PCD;

(Ⅱ)若 PD 与平面 PAC 所成角的正切值为

,求二面角 C﹣PD﹣M 的正切值.

19、(满分 12 分)某市某社区拟选拔一批综合素质较强的群众,参加社区的义务服务工作.假 定符合参加选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核, 每轮设有一个问题, 能正确回答问题者进 入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 , , , 且各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘率的概率; (2) 该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为 X, 求随机变量 X 的分布列与数学期望. (注: 本小题结果可用分数表示)

20、(满分 12 分)已知椭圆 E: 等于 6. (1)求椭圆 E 的方程;

=1(a>b>0)的离心率为

,其长轴长与短轴长的和

(2)如图,设椭圆 E 的上、下顶点分别为 A1、A2,P 是椭圆上异于 A1、A2 的任意一点,直线 PA1、 PA2 分别交 x 轴于点 N、M,若直线 OT 与过点 M、N 的圆 G 相切,切点为 T.证明:线段 OT 的长为 定值.

21、(满分 12 分)已知函数 f(x)=xlnx. (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)≥﹣x +ax﹣6 在(0,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请 写清题号

22、如图, 线 于点 .

内接于圆



平分

交圆

于点

,过点

作圆

的切线交直

(1)求证:



(2)求证:



23、在直角坐标系 xoy 中,曲线 c 的参数方程为 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线 (Ⅰ)求曲线 c 和曲线 (Ⅱ)设曲线 c 和曲线

为参数),以该直角坐标系的原点

p 的方程为

.

p 的普坐标方程; p 的交点为 A、B,求 AB .

24、已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集;

(2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},求 a 的值.

参考答案
一、选择题
1、B 2、D [M={x|-1≤x≤3},M∩N={1,3},有 2 个.] [解析] 因为 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,所以 a=2,b=1,所以(a+bi) =(2+i) =3
2 2

+4i.故选 D. 3、C [解析] 根据程序框图,易知选项 A,B,D 正确;对于选项 C,由该框图可知当 i=1 时,

S=1;当 i=7 时,S=1+
4、C





,程序结束,不符合题意.

分析: 首先通过平移变缓得到 f(x)的解析式,进一步利用整体思想求出单调递减区间.

解答: 解:函数 y=sin

x 的图象向右平移 2 个单位后,得到:f(x)=



令: 解得:4k+3≤x≤4k+5,令 k=k﹣1 既得选项 C 故选:C 5、A 6、C 7、C 8、D 9、A

(k∈Z),

10、A。

11、C

解析 转化为关于

的方程是否存在唯一解问题。

A 任意的

,关于

的方程

,当

时,一定无解;

B 任意的 一定无解;

,关于

的方程

, 即

, 当

时,

C 任意的

,关于

的方程

,一定有唯一解;

D 任意的 12、A

,关于

的方程

,当

时,一定无解。

二、填空题

13、

14、(x﹣1) +(y﹣2) =5

2

2



15、

-1

16、

[9,18]



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 设 为向量 在



的夹角为θ ,则

?

=

=



方向上的投影.据此即可得出.

解答: 解:设



的夹角为θ ,则 在

?

=

=



为向量

方向上的投影.

因此:当点 Q 取点 P 时,

?

取得最小值=

=9.

当点 Q 取点 C 时,

?

取得最大值=

=2×9=18.

故答案为:[9,18]. 点评: 本题考查了向量的投影的定义及其应用,考查了推理能力,属于中档题.

三、简答题

17、解 (1)由余弦定理可得

(2)∵∠BAD 为四边形内 角, ∴sin∠BAD>0 且 sin∠CAD>0,则由正余弦的关系可得

由正弦的和差角公式可得 sin∠BAC=sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-sin∠CADcos∠BAD



×



×









再由△ABC 的正弦定理可得

= 18、考点:

? BC=

=3.

用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)因为 M 为等边△ABC 的 AC 边的中点,所以 BM⊥AC.依题意 CD⊥AC,且 A、B、C、D 四点 共面,由此能证明 BM∥平面 PCD. (Ⅱ)因为 CD⊥AC,CD⊥PA,所以 CD⊥平面 PAC,故 PD 与平面 PAC 所成的角即为∠CPD, (方法一)在等腰 Rt△PAC 中,过点 M 作 ME⊥PC 于点 E,再在 Rt△PCD 中作 EF⊥PD 于点 F,∠ EFM 即为二面角 C﹣PD﹣M 的平面角,由此能求出二面角 C﹣PD﹣M 的正切值. (方法二)以 A 点为坐标原点,AC 为 x 轴,建立空间直角坐标系 A﹣xyz,利用向量法能求出能 求出二面角 C﹣PD﹣M 的正切值. 解答: (Ⅰ)证明:因为 M 为等边△ABC 的 AC 边的中点,所以 BM⊥AC. 依题意 CD⊥AC,且 A、B、C、D 四点共面,所以 BM∥CD. 又因为 BM?平面 PCD,CD? 平面 PCD,所以 BM∥平面 PCD. (Ⅱ)解:因为 CD⊥AC,CD⊥PA, 所以 CD⊥平面 PAC,故 PD 与平面 PAC 所成的角即为∠CPD.?7 分 ?3 分 ?5 分

不妨设 PA=AB=1,则 PC=



由于 tan (方法一)

,所以 CD=

.?9 分

在等腰 Rt△PAC 中,过点 M 作 ME⊥PC 于点 E, 再在 Rt△PCD 中作 EF⊥PD 于点 F(图 1 所示). 因为 ME⊥PC,ME⊥CD,所以 ME⊥平面 PCD,可得 ME⊥PD.

又 EF⊥PD, 所以∠EFM 即为二面角 C﹣PD﹣M 的平面角. ?12 分

由题意知 PE=3EC,ME=

,EF=

=



所以 tan∠EFM=

=



即二面角 C﹣PD﹣M 的正切值是 (方法二) 以 A 点为坐标原点,AC 为 x 轴,

.?15 分

建立如图 2 所示的空间直角坐标系 A﹣xyz.

则 P(0,0,1),M( ,0,0),C(1,0,0),D(1,

,0).









若设

=(x1,y1,z1)和

=(x2,y2,z2)分别是平面 PCD 和平面 PMD 的法向量,



,可取



同理,得

=(2,﹣

,1).?12 分

所以 cos<

>=

=



故二面角 C﹣PD﹣M 的余弦值是

,其正切值是

.?15 分

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的正切值的求法,解题时要认真审题,注意空间思 维能力的培养.

19、解:(1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai(i=1,2,3,4),











∴该选手进入第四轮才被淘率的概率:

= (2)X 的可能值为 1、2、3、4,

. (4 分)





= ,

∴X 的分布列为:

x p

1

2

3

4

1 5

1 5

3 10

3 10



.(12 分)

20、考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的标准方程及其性质即可得出; (2)利用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理即可得出.

解答: 解:(1)由题意可得

,解得



∴椭圆 E 的方程为



(2)有(1)可知:A1(0,1),A2(0,﹣1),设 P(x0,y0),则



则直线 PA1 的方程为

,令 y=0,得 xN=



直线 PA2 的方程为

,令 y=0,得



由切割线定理可得:|OT| =|OM||ON|= ∴|OT|=2,即线段 OT 的长为定值 2.

2

=

=4,

点评: 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理 是解题的关键. 21、考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: (1)由 f(x)=xlnx,知 f′(x)=1+lnx,x>0,由此能求出函数 f(x)的减区间. (2)由 f(x)≥﹣x +ax﹣6 在(0,+∞)上恒成立,知 ,由此能够求出实数 a 的取值范 围. 解答: 解:(1)∵f(x)=xlnx, ∴f′(x)=1+lnx,x>0,
2





∴函数 f(x)的减区间为
2



(2)∵f(x)≥﹣x +ax﹣6 在(0,+∞)上恒成立,





, 当 x>2 时,g(x)是增函数, 当 0<x<2 时,g(x)是减函数, ∴a≤g(2)=5+ln2.

即实数 a 的取值范围是(﹣∞,5+ln2]. 点评: 本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法,解题时要认真审题,仔 细解答,注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用. 22、(1)∵BE 为圆 O 的切线

又∵ CAD

平分

∴∠BAD=∠CAD

∴∠EBD =∠

又∵ CBD

∴∠EBD=∠

(2)在△EBD 和△EAB 中,∠E=∠E,∠EBD=∠EAB∴△EBD∽△EAB

∴ BD=DC

∴AB?BE=AE?BD

又∵AD 平分∠BAC





23、(I)由题意知曲线

的普通方程为:

曲线 P 的普通方程为:

(II)曲线 P 的圆心

到直线



的距离

24、解:(1)当 a=2 时,f(x)+|x-4|=

当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得 x≤1; 当 2<x<4 时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当 x≥4 时,由 f(x)≥4-|x-4|得 2x-6≥4,解得 x≥5; 所以 f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1 或 x≥5}. (2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x),

则 h(x)= 由|h(x)|≤2,

解得

≤x≤

.

又已知|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},

所以 于是 a=3. 12.已知函数 f(x)=|x+a|. (1)当 a=-1 时,求不等式 f(x)≥|x+1|+1 的解集; (2)若不等式 f(x)+f(-x)<2 存在实数解,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=-1 时, f(x)≥|x+1|+1 可化为|x-1|-|x+1|≥1,

化简得





解得 x≤-1,或-1<x≤- ,

即所求解集为{x︱x≤- }. (2)令 g(x)=f(x)+f(-x), 则 g(x)=|x+a|+|x-a|≥2|a|,所以 2>2|a|,即-1<a<1.所以实数 a 的取值范围是(-1,1).


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