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高中数学 零点定理课件北师大版必修一


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方程的根与函数的零点

问题提出

1.对于数学关系式:2x-1=0与y=2x-1 它们的含义分别如何? 2.方程 2x-1=0的根与函数y=2x-1的图 象有什么关系?

3.我们如何对方程f(x)=0的根与函数 y=f(x)的图象的关系作进一步阐述?

知识探究(一):方程的根与函数零点
问题2 求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次 函数图像的简图,并写出函数的图象与x轴的交点坐标
方程 函数 函 数 的 图 象
方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点

x2-2x-3=0 y= x2-2x-3 .
-1

x2-2x+1=0 y= x2-2x+1 .y
2

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y

y
2 1

.

. . . 1 .
2

.

0

.
-1 -2

.
x
-1

1

2

3

x
-1

1

0

-3 -4

3 2 1

.

5 4

.
1

.
2

.

. x1=x2=1

0

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

无实数根

(1,0)

无交点

问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元 二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系, 上述结论是否仍然成立?
判别式△ = b2-4ac △>0 △=0 △<0 没有实数根
y

方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a>0)的根
y

函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象

y
x1 0 x2 x 0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

思考4:对于函数y=f(x),我们把使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点, 那么函数y=f(x)的零点实际是一个什么 数?
思考5:函数y=f(x)有零点可等价于哪些 说法?

函数的零点定义:

对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 零点的求法

代数法

图像法

练习:
y ? ax2 ? bx ? c 中,ac<0,则其零 (1)在二次函数

点的个数为(



A.1

B.2

C.3

D.不存在
f ( x) ? 1

(2)若 y ? f ( x) 不是常数函数且最小值为1,则 y ? 的零点个数( ) A.0 B.1 C.0或1 D.不确定

(3).已知函数 f ( x) 是定义域为R的奇函数,且 在 (0, ??) 上
A.3

f ( x)

有一个零点,则
C. 1

f(x)的零点个数为(
D.不确定



B.2

练习:求下列函数的零点:
y y (1) ? 2 ? 8 ;(2) ? 2 ? log 3 x .
x

求函数零点的步骤:
(1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0;

(3)写出零点

知识探究(二):函数零点存在性原理

思考1:函数f(x)=2x-1的零点是什么? 函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分 布? 思考2:二次函数f(x)=x2-2x-3的零点是 什么?函数f(x)=x2-2x-3的图象在零点 附近如何分布?

知识探究(二):函数零点存在性原理
问题探究
①在区间(a,b)上______(有/无)零点; 探究: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 的图象: f(a).f(b)_____0(<或>).
2

思考 3:函数 y=f(x)在某个区间上是否一定有零点? 怎样的条件下,函数 y=f(x)一定有零点?

观察函数的图象

1 ○ 在区间(-2,1)上有零点______; f (?2) ? _______, f (1) ? _______,

② 在区间(b,c)上______(有/无)零 . f (?2) · f (1) _____0(<或>) 点;f(b).f(c) _____ 0(<或>).

③ 在区间(c,d)上______(有/无)零 点;f(c).f(d) _____ 0(<或>).

2 ○ 在区间(2,4)上有零点______; f ( 2) · f ( 4) ____0(<或>) .

结 论

如果函数 y ? f ( x) 在区间? a, b ?上的图象是连续不断的一条曲线,
并且有 f (a) ? f (b) ? 0 , 那么, 函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

y

y

0 a y 0a

b x

0 a y

b

x

b

x

0a

b

x

思考:若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零 点,一定能得出f(a)· f(b)<0的结论吗?

y

0

a

bbb

bb

bb

b b bb x

b

?如果函数

y=f(x) 在[a,b]上,图象是连 续的,并且在闭区间的两个端点上的函 数值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数 那么,这个函数在(a,b)内必有惟一的 一个零点。

理论迁移
f ( x) ? ax2 ? x ?1仅有一个零点, 例1如果函数

求实数a的取值范围.

例2求函数f(x)=lnx+2x -6零点的个数.


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