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最新中考数学复习课件 第一部分 第四章 第3讲 第2课时 特殊的平行四边形_图文

第2课时 特殊的平行四边形 1.理解矩形、菱形、正方形的概念和性质,了解它们之间 的关系. 2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理:矩形的四 个角都是直角,对角线相等.菱形的四条边相等,对角线互相垂 直,正方形具有矩形和菱形的一切性质.以及它们的判定定理: 三个角是直角的四边形是矩形,对角线相等的平行四边形是矩 形,四边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形 是菱形. 知识点 边 角 内容 对角线 对称性 对边平行 矩形 且相等 特殊平 行四边 形的性 质 四个角都 对角线相等且 __________ 互相平分 ____________ 是直角 __________ 轴对称,中 心对称 对角线互相____ 对角相等, __________ 垂直平分 ,每条 轴对称,中 对边平行, _________ 菱形 四边相等 _________ 邻角互补 对角线平分一组 心对称 对角 对角线互相垂直 相等 , 轴对称,中 对边平行, 四个角都是 平分且________ 正方形 四边相等 直角 每条对角线平分 心对称 一组对角 (续表) 知识点 内容 (1)有一个角是直角的平行四边形; 矩形 (2)有三个角是直角的四边形; 特殊平 (3)两条对角线相等且互相平分 (1)有一组邻边相等的平行四边形; 菱形 (2)四边相等的四边形; (3)对角线互相垂直的平行四边形 行四边 形的判 定 (1)有一组邻边相等的矩形; 正方形 (2)有一个角是直角的菱形; (3)对角线相等且互相垂直平分的四边形 (续表) 知识点 特殊平 行四边 内容 形之间 的关系 及相互 转化 (续表) 知识点 内容 平行四 特殊平 行四边 形的面 积计算 边形 平行四边形面积=底×高 矩形 矩形面积=长×宽 菱形 1 菱形面积=底×高=2×两条对角线的积 1 正方形面积=边长×边长=2×两条对角线的积 正方形 菱形的性质与判定 例1:(2015年贵州贵阳)如图4321,在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,D 为 AB 的中点,且 AE∥CD,CE∥AB. (1)证明:四边形 ADCE 是菱形; (2)若∠B=60°,BC=6,求菱形 ADCE 的高.(计算结果保留根号) 图 4-3-21 [思路分析](1)先证明四边形 ADCE 是平行四边形,再证出 一组邻边相等,即可得出结论; (2)过点D 作DF⊥CE,垂足为点F.先证明△BCD 是等边三 角形,得出∠BDC=∠BCD=60°,CD=BC=6,再由平行线 的性质得出∠DCE=∠BDC=60°,在Rt△CDF 中,由三角函 数求出 DF 即可. 证明:(1)∵AE∥CD,CE∥AB, ∴四边形 ADCE 是平行四边形. 又∵∠ACB=90°,D 是 AB 的中点, 1 ∴CD=2AB=BD=AD. ∴平行四边形 ADCE 是菱形. (2)过点D作DF⊥CE,垂足为点F,如图4-3-22,DF 即为 菱形 ADCE 的高. ∵∠B=60°,CD=BD, ∴△BCD 是等边三角形. ∴∠BDC=∠BCD=60°,CD=BC=6. ∵CE∥AB,∴∠DCE=∠BDC=60°. 又∵CD=BC=6, 3 ∴在 Rt△CDF 中,DF=CD· sin60° =6× 2 =3 3. 图 4-3-22 【试题精选】 1.(2015 年广西钦州)如图 4-3-23,要使 则需添加的一个条件是( ABCD 成为菱形, ) 图 4-3-23 A.AC=AD C.∠ABC=90° B.BA=BC D.AC=BD 答案:B 2.(2014年贵州贵阳)如图4324,在Rt△ABC中,∠ACB =90°,D,E分别为AB,AC边上的中点,连接DE,将△ADE 绕点E旋转180°得到△CFE,连接AF,DC. (1)求证:四边形 ADCF 是菱形; (2)若 BC=8,AC=6,求四边形 ABCF 的周长. 图 4-3-24 证明:(1)∵将△ADE 绕点 E 旋转 180°得到△CFE, ∴AE=CE,DE=EF. ∴四边形 ADCF 是平行四边形. ∵D,E 分别为 AB,AC 边上的中点, ∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE∥BC. ∵∠ACB=90°,∴∠AED=90°.∴DF⊥AC. ∴四边形 ADCF 是菱形. (2)在 Rt△ABC 中,BC=8,AC=6,∴AB=10. ∵D 是 AB 边上的中点,∴AD=5. ∵四边形 ADCF 是菱形,∴AF=FC=AD=5. ∴四边形 ABCF 的周长为 8+10+5+5=28. [名师点评]菱形的性质可以用于证明线段相等、角相等、 直线平行、垂直等,常与三角形全等、勾股定理、方程相结合 进行相关问题的计算与证明. 矩形的性质与判定 例2:(2015 年四川内江)如图 4-3-25,将 ABCD 的边 AB 延 长至点 E,使 AB=BE,连接 DE,EC,BD,DE 交 BC 于点 O. (1)求证:△ABD≌△BEC; (2)若∠BOD=2∠A,求证:四边形 BECD 是矩形. 图 4-3-25 [思路分析](1)根据平行四边形的判定与性质得到四边形 BECD 为平行四边形,然后由 SSS 推出两三角形全等即可; (2)欲证明四边形 BECD 是矩形,只需证明 BC=ED 即可. 证明:(1)在平行四边形 ABCD 中,AD=BC,AB=CD, AB∥CD,则 BE∥CD. 又∵AB=BE,∴BE=DC. ∴四边形 BECD 为平行四边形.∴BD=EC. ∴在△ABD 与△BEC 中, ?AB=BE, ? ?BD=EC, ?AD=BC, ? ∴△ABD≌△BEC(SSS). (2)由(1)知,四边形 BECD 为平行四边形,则OD=OE, OC=OB. ∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴∠A=∠BCD,即∠A=

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