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2012届高三数学二轮精品专题卷:专题三 平面向量


2012 届高三数学二轮精品专题卷:专题三 平面向量
考试范围:平面向量

一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 75 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.已知 a ? ?1,0 ? ,, b ? ? x,1? ,若 a ? b ? 2 ,则 x 的值为 ( )

A. 2 C. 3 ? 1

B.4 D.2

2.已知 M 、 P 、 Q 三点不共线,且点 O 满足 8OM ? 3OP ? 4OQ ? 0,则下列结论正确的是 ( ) A. OM ? ?MP ? MQ C. OM ? ?MP ? 4MQ B. OM ? ?3MP ? MQ D. OM ? 3MP ? 4MQ

3.在三角形 ABC 中,点 P 在 BC 上,且 BP ? 2 PC ,点 Q 是 AC 的中点,若 PA ? ?4,3? , PQ ? ?1,5? , 则 BC = ( (1) ?? 6,21? C. ?6,?21? ) B. ?? 2,7 ? D. ?2,?7 ?

4.已知平面向量 a ? ?2,?1? , 2a ? 3b ? ?7,3m ? 2? ,且 a ∥ b ,则 2a ? 6b ? ( ) A. ?? 2,?4 ? C. ?? 2,1? B. ?? 3,?6 ? D. ?? 10,5?

第1页

5.如下图,在△ ABC中, AB ? BC ? 3 , ?ABC ? 30? , AD 是边 BC 上的高,则 AD? AC 的值等于 ( )

A.0

B.

9 4

C.4

D. ?

9 4

6.已知向量 a ? ?2,3? , a ? b ? ?1,4? ,则 b 在 a 方向上的投影等于 ( ) A. ? C. ?

13 13
2 2

B.

13 13

D. 2

7.在△ ABC中, AB ? AC ? 1 , AB ? BC ? ?3 则 AB 边的长度为 ( A.2 C.4 8.若 a ? ( ) ) B.3 D.5

2 , b ? 1 ,且 ?a ? 2b ? ? ?2a ? b ? ,则 a 与 b 的夹角余弦是

A.

3 2
1 2

B.

2 3
3 2

C. ?

D. ?

9.已知平面向量 a ? ?1,?2? , b ? ?4,?3? ,则 a ? ?b 的最小值是 ( )

A.1

B. 5

第2页

C. 10

D.5

10.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A?1,0 ? , B ?3,4 ? ,已知点 C 在 ?AOB的平分线上,且 OC ? 5 ,则 C 点 ( ) 坐 标 是

A. ?1,2 ? C. ?? 1,?2?

B. ?2,1? D. ?? 2,?1?

11.设平面向量 a ? ?1,2 ? , b ? ?? 2, y ? ,若 a ? b ,则 3a ? b 等于 ( )

A. 5 2 C. 17

B. 6 D. 26

12.已知平面内的向量 OA , OB 满足: OA ? 2 , OA ? OB ? OA ? OB ? 0 ,且 OA ? OB ,又

?

??

?

OP ? ?1OA ? ?2 OB , 0 ? ?1 ? 1 , 1 ? ?2 ? 2 ,则满足条件点 P 所表示的图形面积是
( A.8 C.2 ) B.4 D.1

13.已知等差数列 ?a n ? 的前项和为 S n ,若 OC ? a1 OA? a2013OB ,且满足条件 AC ? 2CB ,则 ?a n ? 中前 2013项的中间项是 ( A. )

1 2

B.1 D.2013

C.2012

第3页

14.已知向量 a ? ?x, y ? , b ? ?1,?2? ,满足 ?2a ? b ? ? b , ?3b ? a ? ∥ b ,则 a = ( ) A. (? 1 ,1) 2
3 1 C. ( , ) 2 2

B. (1,0) D. (0,?1)

15.已知关于 x 的方程: OA? x 2 ? OB? 2 x ? OC ? 0 (x∈R) ,其中点 C 为直线 AB 上一点, O 是直线 AB 外 一 ( 点 ) , 则 下 列 结 论 正 确 的 是

A.点 C 在线段 AB 上 B.点 C 在线段 AB 的延长线上且点 B 为线段 AC 的中点 C.点 C 在线段 AB 的反向延长线上且点 A 为线段 BC 的中点 D.以上情况均有可能 二、填空题(本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 75 分.将答案填在题中的横线上)

16.已知 a ? 2 , b ? 2 ,| a + b |= 2 3 ,则 a 与 b 的夹角为 17.在平行四边形 ABCD 中,若 AB ? ?0,4? , AC ? ?2,4? ,则 AD ? BD = 18.已知向量 a ? ( x ? 1,3), b ? (3, y) ,若 a ⊥ b ,则 xy 的最大值为 19.△ ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 OA ? 2OB ? 2OC ? 0,则



. .

AB =



20.已知向量 m ? ?cos? , sin? ? , n ? ?cos? , sin? ? , ? ? ? ? 是 .

?
4

,则向量 m 与向量 n 的夹角

21.已知向量 a ? ?sin? ,1? , 2a ? b ? ?2 sin? ? cos? ,1? ,则|| a ? b 的最大值为



第4页

22.已知 e1 , e 2 是夹角为 为 .

2 ? 的两个单位向量, a ? e1 ? 2e 2 , b ? k e1 ? e2 若 a ? b =0,则 k 的 3

23.已知向量 m ? ?2,2? , n ? ? ? 2,?

? ?

1? ? ,直线 l 过点 A?3,?1? 且直线的方向向量与向量 m ? 2n 垂直,则 2?


直线 l 的方程为 24.给出下列命题:

①已知向量 a , b , c 均为单位向量,若 a ? b ? c ? 0,则 a ? b ? ②△ ABC 中,必有 AB ? BC ? CA ? 0; ③四边形 ABCD是平行四边形的充要条件是 AB ? DC ;

1 ; 2

④已知 P 为△ ABC 的外心,若 PA ? PB ? PC ? 0,则△ ABC 为正三角形. 其中正确的命题为 .

25.设 F1 ?? 1,0 ? , F2 ?1,0 ? 是椭圆的左、右焦点, O 为坐标原点,且 a ? 2 ,点 P 在椭圆上,则

PF ? PO 的取值范围是 1



26.设锐角△ ABC 的三内角 A , B , C ,向量 m ? sin A ? 3 cos A,?1 , n ? ? sin A, ? ,且 m ? n 则

?

?

? ?

3? 2?

角 A 的大小为



27.已知点 P 是 △ ABC 所在平面内的一点,且 3PA ? 5PB ? 2PC ? 0 ,设 ?ABC的面积为 S ,则

?PAC的面积为



28.已知 ?ABC的角 A , B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c ,设向量 m ? ?a, b? , n ? ?b ? 2, a ? 2? , 且 m ? n , c ? 2 ,则 ?ABC的周长的最小值是
29.设函数 f ?x ? ? x? ? ? .

?1? ?2?

x

1 , A0 为坐标原点, A n 为函数 y ? f ? x ? 图象上横坐标为 n(n∈N*)的点, x ?1
?

向量 an ?

? Ak ?1Ak ,向量 i ? (1,0) ,设 ?
k ?1

n

n

为向量 a n 与向量 i 的夹角,满足

?

? tan?k < 3 的最大整
5
k ?1

n

数n是

第5页

. 30. 已知双曲线 x 2 ? y 2 ? 2 的左、 右焦点分别为 F1 、F 2 , 过点 F 2 的动直线与双曲线相交于 A ,B 两点. 则 满足 F1M ? F1 A ? F1B ? F1O 的动点 M 的轨迹方程为 .

2012 届专题卷数学专题三答案与解析
1. 【命题立意】考查数量积的坐标运算,属于基础题.

【思路点拨】从数量积的坐标运算做为入手点,不难得到 x 的取值.
【答案】D【解析】依题意, a ? b ? ?1,0? ? ?x,1? ? x ? 2 ,x=2,选择 D. 2. 【命题立意】本题考察了向量的线性运算和平面向量基本定理.
? ?

【思路点拨】根据向量的线性运算,不难把向量 OM 用 MP 与 MQ 表出.
【答案】【解析】 D 依题意, 8OM ? 3OP ? 4OQ ? 0 得 OM ? 3? OP ? OM ? ? 4? OQ ? OM ? , OM ? 3MP ? 4MQ , 由 ? ? ? ? 即
? ? ? ?

?

故选 D. 3. 【命题立意】考查平面向量线性运算和坐标运算.

【思路点拨】 首先借助向量的线性运算用已知向量表示未知相关向量, 然后借助坐标运算 求解.
【答案】A【解析】由题意知, PQ ? PA ? AQ ? ?1,5? ? ?4,3? ? ?? 3,2? ,又因为点 Q 是 AC 的中点,所以 AQ ? QC , 所以 PC ? PQ ? QC ? ?1,5? ? ?? 3,2? ? ?? 2,7? ,因为 BP ? 2 PC 所以 BC ? BP ? PC ? 3PC ? 3?? 2,7? ? ?? 6,21? . 4. 【命题立意】考查了向量的坐标运算,向量共线的充要条件.
?

? ? 【思路点拨】借助 a ∥ b 的充要条件,求出 m 的值,然后按照坐标运算得出 2 a ? 6 b .

?

2 【答案】 解析】 a ? ?2,?1? , a ? 3b ? ?7,3m ? 2? 得 b ? ?1, m? 又因为, ∥ b , 2 ? m ? ??1??1 ? 0 , C 【 由 得 于是 m ? ? , a
?
?
1 2

?

?

?

所以 2a ? 6b ? ?4,?2? ? ?6,?3? ? ?? 2,1? ,故选 C. 5. 【命题立意】本题考查向量数量积运算性质和向量的线性运算.

【思路点拨】充分利用已知条件的 AB ? BC ? 3 , ?ABC ? 30? ,借助数量积的定义求出.

第6页

【答案】B【解析】因为 AB ? AC ? 3 , ?ABC ? 30? , AD 是边 BC 上的 高, AD ?
2 9 3 AD ? AC ? AD ? AC cos ?CAD ? AD ? . 2 4

6. 【命题立意】本题考查向量数量积的投影的意义,数量积的坐标运算以及向量夹角公式.

【思路点拨】首先明确 a 在 b 方向上的投影
最后的结果.

a cos a,b ,结合数量积坐标运算与夹角公式,不难得出

【答案】B【解析】由条件 a ? ?2,3? , a ? b ? ?1,4 ? ,不难得到 b ? ?? 1,1? , b 在 a 方向上的投 为:
b cos a, b ? b a ?b ab ? a ?b a ? 13 13



7. 【命题立意】考查了向量的线性运算与向量数量积的运算和相关性质考查.

【思路点拨】首先借助利用向量的线性运算表示 AC ,而后借助数量积运算律和性质解决长度问题.
? ? 【答案】A【解析】因为 AB ? AC ? AB ? ? AB ? BC ? ? AB ? 3 ? 1 ,所以 AB ? 2 ,即 AB 边的长度为 2. ? ?
2

8. 【命题立意】本题考查向量垂直的充要条件与向量的夹角公式的应用.

【思路点拨】首先利用向量的垂直的充要条件,求出 a ? b ,再利用向量的夹角公式计算夹 角的余弦值.
【答案】【解析】 ? a ? b ? ? ? 2a ? b ? 得 ? a ? 2b ? ? ? 2a ? b ? ? 0 ,∴ 3a ? b ? 2a ? 2b ? 2 ,即 a ? b ? B 由? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
2 2

2 ,∵ a ? 2 , 3

b ? 1 , ? cos a, b ?

a ?b a?b

?

2 . 3

9. 【命题立意】本题考查向量坐标运算及向量模的运算.

【思路点拨】 可以以向量的坐标运算作为切入点, 也可以数形结合转化为点到直线的距离.
【答案】 A 【解析】 由于 a ? ? b ? a ? ?2 b ? 2? a ? b ? 25?2 ? 20? ? 5 , ? ? 当
2 2 2
2 2 时,a ? ? b 取最小值 1, a ? ?b ∴ 5

的最小值为 1,故选 A.也可以转化为点 A?1,?2? 到直线 3x ? 4 y ? 0 的距离,即 d ?

3 ?1 ? 4 ? 2 5

?1 .

10. 【命题立意】本题考查平面向量的坐标运算,考查向量加法的平行四边形法则.

【思路点拨】设 OA? ? ? OA , OB? ? ? OB ,若四边形 OA?CB? 是菱形,则点 C 在 ?AOB 的平分线上,由此
找到解题思路. 【答案】【解析】 B 构造向量 OA? ? ?5,0? , OA? ? OB , OC ? t ? OA? ? OB ? ? ?8t ,4t ? , 则 ∴ 因为 OC ? 5 , 解得 t ? ? ?
? ?

1 , 4

?OC ? ?2,1? .

11. 【命题立意】考查向量垂直的充要条件和向量模的运算.

【思路点拨】首先利用向量垂直的充要条件计算 y 的取值,按照向量模的坐标运算公式不 难得出最后结果.
【答案】【解析】a ? b , 1? ??2? ? 2 y ? 0 ? y ? 1 , A 则 从而 3a ? b ? 3 ? ?1,2? ? ?? 2,1? ? ?1,7? ,3a ? b ? 5 2 . [来源: ]

第7页

12. 【命题立意】本题考查数量积运算和向量垂直的充要条件、不等式组表示平面区域.

【思路点拨】先根据向量的坐标运算得到不等式组,然后根据不等式组画出平面区域,不 难知道正确答案.
【答案】B【解析】如图,以 O 为原点, OA 所在直线为 x 轴, OB 所在直线为 y 轴,
? ? ? ? 建立平面直角坐标系,因为 ? OA ? OB ? ? ? OA ? OB ? ? 0 即 OA ? OB ,也就是 OA ? OB ? 2 则 ? ? ? ?

2

2

A?2,0? , B?0,2? 设 P?x, y? ,则由 OP ? ?1OA ? ?2 OB 得 x, y) ?1(2,0) ? ?2 (0,2) ? (2?1,2?2 ) ,所 ( ?

以?

? x ? 2?2 ?0 ? ?1 ? 1 ?0 ? x ? 2 ?? ? | ,因为 ? ,故点 P 的集合为(x, y)0 ? x ? 2,2 ? y ? 4?,表示正方形区域(如图 y ? 2?2 ? ?1 ? ?2 ? 2 ?2 ? y ? 4

中阴影部分所示),所以面积为 2? 2 ? 4 . 13. 【命题立意】本题考查了向量线性运算、向量共线的充要条件,等差中项性质的应用.

【思路点拨】A,B,C 三点共线的充要条件是 OC ? ?OA ? ?OB 且 ? ? ? ? 1 ,进一步借助等差中
项的性质求解.[来源:

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ???? ? ? 【答案】A 【解析】依题意,由条件 AC ? 2CB ,所以 A, , 三点共线, OC ? a1OA ? a2013 OB , B C 又

]

借助共线充要条件的 a1 ? a2013 ? 1 ,{an } 中前 2013 项的中项为 a1007 ,根据等差中项公式 2a1007 ? a1 ? a2013 ,
1 故 a1007 ? ,选择 A. 2

14. 【命题立意】本题主要考查向量的坐标表示和运算,平面向量垂直和平行的判定.

【思路点拨】根据垂直和平行的坐标表示不难得出向量 a 的坐标所满足的关系,进而得出 ? a 的坐标.
【答案】 【解析】 A 由已知条件知, a + b = (2x ?1,2y ? 2) , b - a = (3 ? x,?6 ? y) , 2 3 由于 (2a ? b ) ? b , 3b ? a
?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ??

∥ b ,可得 ?

1 ? ? ?(2 x ? 1) ?1 ? (2 y ? 2) ? (?2) ? 0 ?2 x ? 4 y ? 5 ? 0 1 ?x ? ? 得到 ? ,解得 ? 2 因此 a ? (? ,1) . 2 2x ? y ? 0 (3 ? x) ? (?2) ? (?6 ? y) ?1 ? ? ?y ?1 ?

15. 【命题立意】本题考查向量的线性运算及三点共线的条件及探究能力.[来源:

]

【思路点拨】先由三点共线的条件确定 x 值,代入原式利用向量的线性运算化简即可.

??? ? ??? ? ??? ? 【答案】B【解析】据题意由于 A,B,C 三点共线,故由 OC ? ?OA ? x2 ? OB ? 2x ,可得 ? x 2 ? 2 x ? 1 ,解之得 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? x ? ?1 ,即 OC ? ?OA ? 2OB ,化简整理可得: OC ? OB ? OB ? OA ? BC ? AB ,故点 C 在线段 AB 的延长线

上且点 B 为线段 AC 的中点. 16.【命题立意】本题考查了平面向量的数量积的性质、模的运算和向量夹角公式. ? ? ? ? 【思路点拨】首先借助模的性质 a 2 ?| a |2 ,得到 a ? b ,进一步借助夹角公式得出夹角. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【答案】 【解析】因为 a ? 2 , b ? 2 所以由 (a ? b )2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? 12 可得 a ? b ? 2 ,设 a 与 b 的 3 ? ? ? ? a ?b 1 ? 夹角为 ? ,又因为| a |=2,| b |=2 则 cos ? ? ? ? ? , 故? ? . 2 3 a b 17. 【命题立意】考查平面向量的线性运算和平面向量的坐标运算.
AC BD 【思路点拨】 首先借助向量的线性运算用向量 AB、 表示向量 AD、 ,而后借助向量线性运 算得出结论.

第8页

【答案】4【解析】 AD ? BC ? AC ? AB ? ?2,0? , BD ? AD ? AB ? ?2,?4? .故 AD ? BD ? ?2,0??2,?4? ? 4 . 18.【命题立意】本题考查向量垂直的充要条件以及基本不等式的应用. 【思路点拨】首先借助向量垂直的充要条件得到 x 、 y 之间的关系,借助基本不等式求最值. ? ? 1 ? ? 【答案】 【解析】因为 a ⊥ b ,所以 a ? b ? 0 ,则有 (x ?1) ? 3 ? 3? y ? 0 ,即 x ? y ?1 .又因为 4
1 1 1 ? x? y? xy ? ? ? ? ,当且仅当 x ? y 时,“=”成立,即当 x ? y ? 时, xy 的最大值为 . 4 2 4 ? 2 ?
2

19. 【命题立意】本题考查平面向量的数量积、向量模的运算.

【思路点拨】从题设条件特征分析, AB 可以表示为 OB ? OA ,因此只要通过条件式求出 OA ? OB ,
即可解答. 【答案】 2 【解析】由 OA ? 2OB ? 2OC ? 0 得 OA ? 2OB ? ?2OC ,两边平方得
2

10

OA

? 4OA ? OB ? 2OB

2

? ? 2OC
2

2

,因为

OA ? OB ? OC ? 1 ,所以 OA ? OB ? ?
10 2

1 , 4

AB ? OB ? OA ?

? OB ? OA ? ? ? ? ?

? 1? ? 12 ? 2 ? ? ? ? ? 12 ? ? 4?



20. 【命题立意】本题考查向量的坐标运算与向量夹角公式、和角或差角的余弦公式.

【思路点拨】借助向量的坐标运算计算出 m ? n ,在这儿充分结合差角的余弦公式,再利用 向量的夹角公式 cos? ?
m?n mn

,进而求出夹角.

【答案】

? 【解析】因为 a ? b ? ?cos? , sin? ?? ?cos?, sin? ? ? cos? cos? ? sin? sin? ? cos?? ? ? ?,设向量 a 4

? 与向量 b 的夹角为 ? ,则 cos ? ? cosθ ?φ? ? cos

? ? ,又 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? . 4 4

21. 【命题立意】考查向量的模以及三角函数辅助角公式的应用,属于知识的综合考查,

【思路点拨】首先借助向量的坐标运算求出 a ? b ,而后借助向量的模与辅助角公式化简 整理,进而求出 a ? b 最大值.
【答案】 2 【解析】因为 a ? ?sin? ,1? , 2a ? b ? ?2 sin? ? cos? ,1? 所以

?2a ? b?? a ? a ? b ? ?sin? ? cos? ,0?,故
2.

? a ? b ? sin ? ? cos ? ? 2 sin θ ? )? 2 , ? ( 4

a ? b 的最大值为

22.【命题立意】本题考查向量的数量积的概念、运算与向量的垂直的坐标表示.

【思路点拨】利用向量的数量积运算性质和向量的数量积的定义不难得出结论.
【答案】 【解析】因为 a ? b ? ? e1 ? 2e2 ? ? ? k e1 ? e2 ? ? k e1 ? ?1 ? 2k ?? e1 ? e2 ? ? 2e2 ,且 e1 ? e2 ? 1 ,e1 ? e2 ? ? ? ? ? ? ? ?
5 4
2 2

?

? ?

?

?

?

1 , 2

所以 2k ? ? 2 ? 0 ,即 k ?

1 2

5 4



第9页

23. 【命题立意】本题考查向量的坐标运算、向量垂直充要条件与求直线方程的方法,属于

对数学知识综合应用. 【思路点拨】 首先根据向量垂直计算出直线方程斜率, 再利用直线的点斜式求出直线方程.
【答案】2x ? y ? 7 ? 0【解析】 m ? 2n ? ?? 2,1? , 由 可知 l 的方向向量为 v ? ?1,2? . 即直线的斜率为 k ? 2 , 根据直线的点斜式方程得 y ? 1 ? 2?x ? 3? ,故得直线的方程为 2x ? y ? 7 ? 0 . 24. 【命题立意】本题考查向量的基本概念、平面向量线性运算即加法、减法运算.

【思路点拨】充分利用向量的知识逐一判断.[来源:
【答案】②③④【解析】命题①错误, a ? b ? ?

]

1 ;命题②③④都是正确的. 2

25. 【命题立意】考查向量数量积的坐标运算、椭圆的几何性质.
PO 【思路点拨】首先把向量 PF1、 坐标化,然后按照向量数量积坐标运算计算 PF1 ? PO ,注意

到点 P 在椭圆上利用自变量的取值范围,求得 PF1 ? PO 取值范围.
【答案】 ? ,2 ? 2 ? 【解析】由已知条件不难得到椭圆的方程为
? ?1 ?2 ?

x2 ? y 2 ? 1 ,设 P(x,y),[来源:金太阳新 2

课标资源网

]

1 1 1 1 2 则 PF1 ? PO = (?1? x,? y) ? (?x,? y) =x2+x+y2=x2+x+1 ? 2 x2= 2 x2+ x +1= ?x ? 1? ? , 2 2

?1 ? x ? ? 2 , 2 ,∴所求范围为 ? ,2 ? 2 ? ?2 ?

?

?



26. 【命题立意】本题考查向量的坐标运算与向量垂直的充要条件、三角恒等变换,属于知

识交汇处考察,是考试的热点. 【思路点拨】由已知条件 m ? n ,得到关于 A 的关系式,借助三角恒等变换,算出 sin A ,借助
三角形的特征,不难得出最后的结论. 【答案】
3 3 ? 【解析】因为 m ? n ,则 sin A ? 3 cos A sin A ? ? 0 ,即 sin 2 A ? 3 sin A cos A ? ,所 2 2 3

?

?

1 ? cos 2 A 3 3 3 1 ?? ? ? sin 2 A ? ,即 sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ,即 sin? 2 A ? ? ? 1 ,又因为 2 2 2 2 2 6? ?

A 是锐角,则 2 A ?

?
6

?

?
2



所以 A ?

?
3



27. 【命题立意】本题考查向量的线性运算.

【思路点拨】求解的关键是对 3PA ? 5PB ? 2 PC ? 0 的转变,我们所根据的原理是对于有
m PA ? ?m ? n?PB ? n PC ? 0 这样的关系,则可以转换为 m? PA ? PB ? ? ? n? PB ? PC ? ,借 ? ? ? ? ? ? ? ?

助 AB、BC 的中点为 M、N ,转化为求解为 PM 与 PN 共线,进而求得 S ?PAC .
【答案】
S 【解析】如图,由 3PA ? 5PB ? 2 PC ? 0 ,则 3? PA ? PB ? ? ?2? PB ? PC ? ,则 ? ? ? ? ? ? ? ? 2

? PA ? PB ? ? PB ? PC ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? 3? .设 AB、BC 2 2

的中点为 M、N ,

第 10 页

? ? ? ? ? PA ? PB ? ? PB ? PC ? ? , PN ? ? ? ,即 3PM ? ?2 PN 则点 在中位线 PM ? ? P MN 上,则 ?PAC 的面积是 ?ABC 的面 2 2

积的一半.

28. 【命题立意】本题考查向量的坐标运算、垂直的充要条件和余弦定理及均值不等式的综 合应用. 【思路点拨】首先借助向量垂直得到相应的三角形边之间等量关系,借助余弦定理得到 ab,进而确定均值不等式确定 a ? b 的最小值.
【答案】6【解析】由题意可知 m ? n ? 0 ,即 a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0 , ?a ? b ? ab ,由余弦定理可
4 ? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ?2 ? 3ab 得 ?a ? b ?2 ? 3ab ? 4 ? 0 即 ?ab?2 ? 3ab ? 4 ? 0 ,所以 ab ? 4 (舍去 ab ? ?1 ),故三

角形周长 a ? b ? c ? a ? b ? 2 ? 2 ab ? 2 ? 6 . 29. 【命题立意】本题考查向量的运算及数列求和知识的综合应用.

? 【思路点拨】确定 An 的坐标,进而确定向量 a n 与向量 i 的夹角 ? n 的通项公式,然后根据通项公式求
和解答即可. 【答案】3【解析】据题意可得 an ? A0 A1 ? A1A2 ? ? ? An An ?1 ? A0 An ? ? n, n? ? ? ?
? ? ? ?1? ?2?
n

1 ? ? ,故 ? n ?1 ? ?

1 ?1? ,因此 tan ? n ? ? ? ? n?n ? 1? ?2?

n

?

1 1 ? 2 ? 2n ? ? 1 1 1 ?1? ?1? ?1? ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? tan? k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n?n ? 1? ? ? ? 1 n n ?1 ? ? 2 2 3 ?2? ?2? ?2? ? ? 1? k ?1
n 2 n

1? 1 ? ?1 ? ?

2

? 1?

1 2n

?1?

1 1 1 1 1 5 ? 2? ? ,据题意令 2 ? n ? < ,易验证知满足不等式的最大正整数值为 3. n ?1 n ?1 3 2n n ? 1 2

(2)【命题立意】本题考查向量的线性运算、中间变量法求曲线方程. 【思路点拨】 首先借助向量线性运算得到中间变量和最终变量之间的关系,而后利用中间变量法得到
曲线方程. 【答案】 ?x ? 6?2 ? y 2 ? 4 【解析】由条件不难知道 F1(?2,0)、F2 ?2,0? ,设 A?x1, y1? , B ?x 2 , y 2 ? , M ?x, y? ,则
? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6 F1M ? ?x ? 2, y ? , F1 A ? ?x1 ? 2, y1 ? , F1B ? ?x2 ? 2, y2 ? , F1O ? ?2,0 ? , F1M ? F1 A ? F1B ? F1O 得 ? , ? y ? y1 ? y2
?x ? x ? x ? 4 ? x?4 y? , ? ,当 AB 不与 x 轴垂直时, 即? 1 2 ,于是 AB 的中点坐标为 ? y1? y2 ? y ? 2 2? ?
y y1 ? y2 y 2 ? ? , x?4 x1 ? x2 x ?8 ?2 2

即 y1 ? y2 ?

y 2 2 2 2 ?x1 ? x2 ? ,又因为 A、B 两点在双曲线 上 ,所以 x1 ? y1 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得 x ?8 y1 ? y2 ? y ?x1 ? x2 ? 代 人 上 式 , 化 简 得 x ?8

?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? ?y1 ? y2 ??y1 ? y2 ? , ?x1 ? x2 ??x ? 4? ? ?y1 ? y2 ?y , 将

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?x ? 6?2 ? y 2 ? 4 .当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M ?8,0? ,也满足上述方程.所以点 M 轨迹方程
是 ?x ? 6?2 ? y 2 ? 4 .

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