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数列的综合应用


6-5 数列的综合应用 基 础 巩 固 一、选择题 1.一套共 7 册的书计划每两年出一册,若出完全部各册书公元 年代之和为 14 028,则出齐这套书的年份是( A.2004 C.2008 [答案] D [解析] 设出齐这套书的年份数是 x, 7×6 则有 7x- 2 ×2=14 028.解得 x=2010. 2.一个三角形的三内角成等差数列,对应的三边成等比数列, 则三内角所成等数列的公差等于( A.0 π C.6 [答案] A [解析] 因 A,B,C 成等差数列,a,b,c 成等比数列, π 则 B=3,b2=ac, a2+c2-b2 1 ∴cosB= 2ac =2,可推得 a=c=b. ∴A=B=C,即公差为 0. 1 3.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f ′(x)=2x+1,则数列{ }(n f?n? ∈N+)的前 n 项和是( ) ) π B.12 π D.4 B.2006 D.2010 )

n A. n+1 n C. n-1 [答案] A

n+2 B. n+1 n+1 D. n

[解析] f ′(x)=mxm-1+a=2x+1,∴a=1,m=2, 1 1 1 1 ∴f(x)=x(x+1), = =n- , f?n? n?n+1? n+1
?1 1 ? 1? ?1 1? ? n ∴Sn=?1-2?+?2-3?+?+?n-n+1?= . ? ? ? ? ? ? n+1

4.(2013· 浙江金华一中 12 月月考)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn+64 为 Sn,a2=4,S10=110,则 a 的最小值为(
n

)

A.7 15 C. 2 [答案] D [解析]

B.8 17 D. 2

?a1+d=4, ?a1=2, ? ? ? 由题意知 ∴? ?10a1+45d=110. ?d=2. ? ?

∴Sn=n2+n,an=2n. Sn+64 n2+n+64 n 1 32 1 ∴ a = = 2 + 2 + n ≥ 2 +2 2n n n 32 时,2= n ,∴n=8,故选 D. 5.某种细胞开始时有 2 个,1h 后分裂成 4 个并死去 1 个,2h 后 分裂成 6 个并死去 1 个,3h 后分裂成 10 个并死去 1 个,?,按照此 规律,6h 后细胞存活数是( A.33 ) B.64 n 32 17 2· = 2 .等号成立 n

C.65 [答案] B

D.127

[解析] 每一小时后细胞变为前一小时细胞数的 2 倍减 1,4 小时 后为 17 个,5 小时后为 33 个,6 小时后为 65 个. 6.小正方形按照如图的规律排列:

每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{an},有以下结论: ①a5=15; ②数列{an}是一个等差数列; ③数列{an}是一个等比数列; ④数列的递推公式为:an+1=an+n+1(n∈N+). 其中正确的命题序号为( A.①② C.①④ [答案] C [解析] 当 n=1 时,a1=1;当 n=2 时,a2=3;当 n=3 时,a3 =6;当 n=4 时,a4=10,?,观察图中规律,有 an+1=an+n+1, a5=15.故①④正确. 二、填空题 7.已知 m、n、m+n 成等差数列,m、n、mn 成等比数列,则椭 x2 y2 圆m+ n =1 的离心率为________. ) B.①③ D.①

[答案]

2 2

[解析] 由 2n=2m+n 和 n2=m2n 可得 m=2,n=4, ∴e= n-m 2 =2. n

π π 8.已知 α∈(0,2)∪(2,π),且 sinα,sin2α,sin4α 成等比数列, 则 α 的值为________. [答案] 2π 3

[解析] 由题意,sin22α=sinα· sin4α, ∴sin22α=2sinα· sin2α· cos2α, 即 sin2α=2sinα· cos2α, ∴2sinαcosα=2sinα· cos2α,即 cosα=cos2α, ∴2cos2α-1=cosα,∴(2cosα+1)(cosα-1)=0. 1 2π 解得 cosα=1(舍去)或 cosα=-2,∴α= 3 . 三、解答题 9.(2012· 湖南文,20)某公司一下属企业从事某种高科技产品的 生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元,将其投入生产,到当年 年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相 同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩 余资金全部投入下一年生产. 设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资 金为 an 万元. (1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式; (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元, 试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示).

[解析] (1)由题意得 a1=2000(1+50%)-d=3000-d, 3 5 a2=a1(1+50%)-d=2a1-d=4500-2d. 3 an+1=an(1+50%)-d=2an-d. 3 33 (2)由(1)得 an=2an-1-d=2(2an-2-d)-d 3 3 =(2)2an-2-2d-d=? 3 3 3 3 =(2)n-1a1-d[1+2+(2)2+?+(2)n-2]. 3 3 整理得 an=(2)n-1(3 000-d)-2d[(2)n-1-1] 3 =(2)n-1(3 000-3d)+2d. 3 令 am=4 000 得(2)m-1(3 000-3d)+2d=4 000. 1 000?3m-2m+1? 解之得 d= . 3m-2m 1 000?3m-2m+1? 所以该企业每年上缴资金 d 的值为 时,经过 3m-2m m(m≥3)年企业的剩余资金为 4 000 万元. 能 力 提 升 一、选择题 1.(文)一个凸多边形,它的各内角度数成等差数列,最小角为 60° ,公差为 20° ,则这个多边形的边数是( A.3 C.5 或 9 [答案] B B.4 D.4 或 9 )

n?n-1? [解析] 设边数为 n,则 60° n+ 2 · =(n-2)· ,解得 n 20° 180° =4 或 9. 当 n=9 时,最大内角度数为 60° +(9-1)×20° =220° >180° ,故 舍去. (理)下表给出一个“直角三角形数阵” 1 4 1 1 2,4 3 3 3 4,8,16 ?? 满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列, 且诸行的公比都相等,记第 i 行,第 j 列的数列为 aij(i≥j,i,j∈N), 则 a83 等于( 1 A.8 1 C.2 [答案] C 1 1 [解析] 由已知在第一列构成的等差数列中, 首项为4, 公差为4, 1 1 ∴a81=4+(8-1)·=2, 4 1 在每行构成的等比数列中公比 q=2, 1 1 ∴a83=2· )2=2. (2 2. (2012· 北京理, 8)某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系 ) 1 B.4 D.1

如图所示,从目前记录的结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 值 为( )

A.5 C.9 [答案] C

B.7 D.11

[解析] 本题考查了读图、识图的能力及分析问题、解决问题的 能力. 由于目的是使平均产量最高,就需要随着 n 增大,变化超过平均 值的加入,随着 n 的增大,变化不足值就舍去.由图可知 6、7、8、 9 这几年增长最快,超出平均值,所以应该加入,故选 C. 二、填空题
2 3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-am=0,S2m
-1

=38,则 m=________. [答案] 10 [解析] 由等差数列的性质可知 2am=am+1+am-1, 又∵am-1+am+1-a2 =0, m
2 ∴am=2am,∴am=2(am=0 不合题意,舍去),

2m-1 又 S2m-1= 2 (a1+a2m-1) = 2m-1 a 2 ×2am=(2m-1)·m=38,∴2m-1=19.

∴m=10. 4.设 f(x)是定义域为 R 且恒不为 0 的函数,对任意 x,y∈R, 1 都有 f(x)f(y)=f(x+y),若 a1=2,an=f(n)(n 为常数),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是________. 1 [答案] [2,1) 1 [解析] 因 an+1=f(n+1)=f(n)· f(1)=2an, 1 1 [1-?2?n] 2 1 故 Sn= =1-(2)n, 1 1-2 1 ∵n≥1,n∈N,∴Sn∈[2,1). 三、解答题 5.已知数列{an}中,a1=3,点(an,an+1)在直线 y=x+2 上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=an·n,求数列{an}的前 n 项和 Tn. 3 [解析] (1)∵点(an,an+1)在直线 y=x+2 上, ∴an+1=an+2,即 an+1-an=2. ∴数列{an}是以 3 为首项,2 为公差的等差数列, ∴an=3+2(n-1)=2n+1. (2)∵bn=an·n,∴bn=(2n+1)·n. 3 3 ∴Tn=3×3+5×32+7×33+?+(2n-1)·n-1+(2n+1)·n,① 3 3

∴3Tn=3×32+5×33+?+(2n-1)·n+(2n+1)·n+1.② 3 3 ①-②得-2Tn =3×3+2(32 +33 +?+3n)-(2n+1)·n + 1 =9+ 3 9?1-3n-1? 2× -(2n+1)·n+1=-2n·n+1 3 3 1-3 ∴Tn=n·n+1. 3 1 1 6.(文)数列{an}中,a1=3.前 n 项和 Sn 满足 Sn+1-Sn=(3)n+1(n∈ N+). (1)求数列{an}的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn; (2)若 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数 t 的值. [解析] 本小题主要考查数列, 等差数列, 等比数列等基础知识, 考查运算求解能力,考查函数与方程思想,化归与转化思想. 1 1 (1)由 Sn+1-Sn=(3)n+1 得 an+1=(3)n+1(n∈N+) 1 1 又 a1=3,故 an=(3)n(n∈N+) 1 1 ×[1-?3?n] 3 1 1 从而 Sn= =2[1-(3)n](n∈N+) 1 1-3 1 4 13 (2)由(1)可得 S1=3,S2=9,S3=27, 从而由 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可得 1 4 13 1 4 +3×(9+27)=2×(3+9)t,解得 t=2. 3 (理)已知数列{an}是公差 d≠0 的等差数列,记 Sn 为其前 n 项和. (1)若 a2、a3、a6 依次成等比数列,求其公比 q. S1? S2? Sn? ? ? ? (2)若 a1=1,证明点 P1?1, 1 ?,P2?2, 2 ?,?,Pn?n, n ?(n∈N+)
? ? ? ? ? ?

在同一条直线上,并写出此直线方程.

[解析] (1)∵a2、a3、a6 依次成等比数列, a3 a6 a6-a3 3d ∴q=a =a = = =3,即公比 q=3. a3-a2 d 2 3 (2)证明:∵Sn=na1+ n?n-1? 2 d,

n-1 n-1 Sn ∴ n =a1+ 2 d=1+ 2 d. x-1 Sn? ? ∴点 Pn?n, n ?在直线 y=1+ 2 d 上.
? ?

d ∴点 P1,P2,?,Pn(n∈N+)都在过点(1,1)且斜率为2的直线上. d 此直线方程为 y-1=2(x-1). 7.某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的 价值在使用过程中逐年减少.从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值 比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; a1+a2+?+an (2)设 An= ,若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用, n 否则须在第 n 年初对 M 更新.证明:须在第 9 年初对 M 更新. [解析] (1)当 n≤6 时, 数列{an}是首项为 120, 公差为-10 的等 差数列, an=120-10(n-1)=130-10n; 3 当 n≥6 时,数列{an}是以 a6 为首项,公比为4的等比数列,又 3 a6=70,所以 an=70×(4)n-6. 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为

?130-10n,n≤6, an=? 3 70×?4?n 6,n≥7. ?


(2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公 式得 当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125- 5n; 当 n≥7 时,由于 S6=570,故 3 3 Sn=S6+(a7+a8+?+an)=570+70×4×4×[1-(4)n-6]=780- 3 210×(4)n-6. 3 780-210×?4?n-6 An= n 因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列.又 3 780-210×?4?2 47 A8= =8264>80, 8 3 780-210×?4?3 79 A9= =7696<80, 9 所以须在第 9 年初对 M 更新.


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