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2.4.1(1)抛物线及其标准方程_图文

2.4.1 抛物线及其标准方程
(1)

探究:
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距

离相等的点轨迹是什么图形?
(1)当定点F在定直线l上时, 点轨迹是一条直线. (2)当定点F不在定直线l上时, l

l

∟F


·
· · ·· F
· · M
· · · ·

H

点轨迹是一条曲线. 这条曲线叫做抛物线.



一、抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的 距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点. l


H


定直线l 叫做抛物线的准线. 焦点到准线的距离叫焦准距.
(常用p表示)

K

注意: 抛物线上任意一点到焦点的距离和到准
线的距离相等.



p

M · · F

二、抛物线的标准方程:
如图, 抛物线的焦点F到准线l的距离为p, 求抛物线 的方程. y 取过F且垂直于l的直线为x轴,K为垂 l 足,取线段KF的中点O为原点,建立直 p p H M 角坐标系. 则 F( , 0),l:x = – 2 2 设点M的坐标为(x, y), 由定义可得:

K p

p 2 p 2 (x ? ) ? y ? x ? 2 2
化简得: y2 = 2px(p>0)





o

· · F x



方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方程. 此
方程表示焦点在 x 轴的正半轴上的抛物线.

p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x ? ? 2 2
建立的坐标系不同,所得抛物线的标准方程也不同. 建立坐标系可以有下列四种情况:

﹒ ﹒﹒ ﹒
y y
y

o

x

o

x

o

x

o

y

x

四种抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程:

﹒ ﹒ ﹒ ﹒
y

图形 o

y

标准方程 焦点坐标 准线方程 p p y 2 ? 2 px ( , 0) x ? ? x 2 2 ? p ? 0?
x

o

y ? ? 2 px ? p ? 0?
2

p ( ? , 0) 2

p x? 2
p y?? 2
p y? 2

y

o

x

x 2 ? 2 py ? p ? 0?
x 2 ? ? 2 py

p (0, ) 2
p (0, ? ) 2

o

y

x

? p ? 0?

例1.
(1) 已知抛物线的标准方程是 y2 = 6x, 求它的焦点坐标和准线方程;
3 焦点坐标 F ( , 0) 2

3 准线方程: x ? ? , 2

(2)已知抛物线的方程是 y = – 6x2, 求它的焦点坐标和准线方程; 1 1 焦点坐标 F (0 , ? ) ,准线方程:y ? 24 24

(3)已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2), 求它的标准方程。
标准方程: x 2 ? ? 8 y

练习:
1.根据下列条件,写出抛物线的标准方程:

(1)焦点是F(0,3);

x2 =12y

1 2 =x ? y (2)准线方程 是x = ; 4
(3)焦点到准线的距离是2.

y2 =4x或 y2 = -4x或x2 =4y或x2 = -4y

2. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2 = 20x (3)2y2 +5x =0
1 (2)x2= 2 y

(4)x2 +8y =0

焦点坐标

准线方程
x = -5 1 y=-— 8 5 x=— 8 y=2

(1) (2) (3) (4)

(5, 0) 1) (0, — 8 5 ( - —, 0 ) 8 (0, -2)

作业:
73页 A组 T1

2.4.1 抛物线及其标准方程 (2)

例2. 求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程. 解: (1) 若焦点在y轴的正半轴上,
则可设抛物线的标准方程为

x2 =2py(p>0)


A

y

O
(2)若焦点在x轴的负半轴,则可设 抛物线的标准方程为 y2 =-2px(p>0)

x

例3. 已知抛物线的焦点在y轴上,抛物线上一点
M(m,-3)到焦点距离为5,求m的值,抛物线标准 方程和准线方程.
解: 因为抛物线的焦点在y轴上,且经过点 M(m, -3), 所以可设抛物线的标准方程为 x2= -2py (p>0) 因为点M(m,-3), 在抛物线上, 所以 m2 = -2p(-3) … (1) 因为点M(m,-3)到准线l: y= p/2的距离为5 所以
p ? (?3) ? 5 2



p ? 3 ? 5 …(2) 2
p=4

由(1)、(2)解得:

m ? ?2 6,

所以, 抛物线的标准方程为x2 = -8y, 准线方程为 y =2

例4.已知抛物线x2=4y上的点P到焦点的距离为10,
求P点坐标.
解: 由题意知:准线 l 的方程为 y = -1, 设点 P 的坐标为(x1,y1)且y1>0 因为点 P 在抛物线 x2= 4y上, 所以 x12= 4y1 …(1) 因为点 P 到准线 l 的距离为10, 所以
y1 ? (?1) ? 10 即y1+1=10 …(2)

由(1)、(2)解得: x1= -6, y1= 9或 x1= 6, y1= 9
故点P的坐标为 (-6, 9) 或 (6, 9).

练习:
1.在抛物线y 2 ? 2 px上,横坐标为4的点到焦点的 距离为5,则p的值为( C ) 1 A. B .1 C .2 2

D .4

2.已知M是抛物线y2 = 2px(p>0)上一点,若点M

p x0 ? 的横坐标为x0,则点M到焦点的距离是_________ 2 ;
2 y 3. 抛物线 ? 12 x 上与焦点的距离等于9的点的坐标

是_________________.

4. 已知抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的

点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的标
准方程.

y2 = -8x

作业:
73页 A组 T2 T3

例5.一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波
束近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线, 经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径) 为4.8m,深度为0.5m.试建立适当的坐标系,求抛物 线的标准方程和焦点坐标.
解:建系如图,使抛物线的顶点 与原点重合. ∵抛物线焦点在x轴的正半轴上, ∴设抛物线方程为y2=2px(p>0). 由已知可得,点A的坐标是 (0.5,2.4),代入方程,得
y
A

C O B F x

2.42 ? 2 p ? 0.5 ? p ? 5.76
|OC|=0.5 |AB|=4.8 所以,所求抛物线的方程是 y2=11.52x,焦点坐标是F(2.88,0)

例6. 点M与点F(4,0)的距离比它到直线
l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.

y
H G

.M
F (4,0)

o

.

x

x=-5 x=-4

例7. 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物
线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的 最小值,并求出取最小值时P点的坐标.

y
Q
Q1
P

.

o

P1

. A(3,2) . x F

X=-2

例8、斜率为1的直线经过抛物线
l
A1

y ? 4 x的
2

焦点与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长.
y
A

B1

o
B

F

x

作业 73页 A组 T3 T5


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