fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省惠州市高三4月模拟考试数学理试题 Word版含解析

朝花夕拾 杯中酒

惠州市高三模拟考试 数 学(理科)2017.04
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求.
2 (1)已知集合 A ? x | x ? x ? 0 , B ? x | y ? lg ? 2 x ? 1? ,则 A

?

?

?

?

B?(



(A) ?0, ? (2)若复数 z ? (A)3

? 1? ? 2?

(B) ?0,1?

(C) ?

?1 ? ,1 ?2 ? ?


(D) ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

1 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则 z ? 1 =( 1? i
(B)2 (C) 2 (D) 5

(3)执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为 0, 那么输入的 x 为( (A) ) (C) 1 (D) ?1

1 9

(B) ?1 或 1

x2 y 2 (4) 已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左, 右焦点分别为 F1 , F2 , a b
双曲线上一点 P 满足 PF2 ? x 轴.若 F 1F 2 ? 12, PF 2 ? 5 ,则该 双曲线的离心率为( (A) 3 (B) ) (C)

3 2

12 5

(D)

13 12
(D)y=x3-1

(5)下列函数中,与函数 y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是( ) (A)y=1-x2 (B)y=log2|x| 1 (C)y=- x

(6)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱 锥的外接球的表面积为( (A) 136? (7) ? x ? 1?
5

) (C) 25? ) (D) ? 20 (D) 18?

(B) 34?

? x ? 2 ? 的展开式中 x2 的系数为(
(B)5 (C) ? 15

(A)25

房东是个大帅哥

朝花夕拾 杯中酒

? x ? 4 y ? ?3 ? (8)设 z ? 4 ? 2 ,变量 x,y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,则 z 的最小值为( ?x ? 1 ?
x y



(A)2

(B)4

(C)8

(D)16

(9)已知 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ?? ? ? ? 0) 的最小正周期是 ? ,将 f ( x ) 图象向左平

? 个单位长度后所得的函数图象过点 P(0,1) ,则 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( 3 ? ? ? ? (A)在区间 [ ? , ] 上单调递减 (B)在区间 [ ? , ] 上单调递增 6 3 6 3 ? ? ? ? (C)在区间 [ ? , ] 上单调递减 (D)在区间 [ ? , ] 上单调递增 3 6 3 6




(10)已知过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点(点 A 在第一象限) , 若 AF ? 3FB ,则直线 l 的斜率为( (A) 2 )

(B)

1 2

(C)

3 2

(D) 3

(11)三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面垂直, AA 1 ? AB ? AC ? 1 , AB ? AC , N 是

BC 的中点, 点 P 在 A1B1 上, 且满足 A1P ? ? A1B1 , 直线 PN 与平面 ABC 所成角 ?
的正切值取最大值时 ? 的值为( (A) ) (C)

1 2

(B)

2 2

3 2

(D)

2 5 5

(12)设曲线 f ? x ? ? ?ex ? x ( e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1 ,总存在曲 线 g ? x ? ? 3ax ? 2cos x 上某点处的切线 l2 ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围为 ( ) (B) ? 3, ??? (C) ? ? (A) ? ?1, 2?

? 2 1? , ? 3 3? ?

(D) ? ? , ? 3 3

? 1 2? ? ?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须作答。 第22题、第23题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 (13)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC ? 2BD ,CA ? 3CE ,则 AD ? BE ?
房东是个大帅哥



朝花夕拾 杯中酒

(14)已知 ? ? ? 0,

?? 2 ? ?? ? ? , cos ? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 3? 3 ? 2? ?



(15)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理) :“幂势既同,则积不 容异”。“势”即是高,“幂”是面积。意思是:如果两等高的几何体在同高处截得两几何 体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等。类比祖暅原理,如图所示,在平面 直角坐标系中,图 1 是一个形状不规则的封闭图形,图 2 是一 个上底为 1 的梯形, 且当实数 t 取 ?0,3? 上的任意值时, 直线 y ? t 被图 1 和图 2 所截得的两线段长始终相等,则图 1 的面积为 ___________. (16) 已知 ?ABC 中,AC ? 2, BC ? 6 , ?ACB ? 使 ?BDC ?
3
1
y

y?t

x
1 2 图1
4

O

6

图2

?
6

, 若线段 BA 的延长线上存在点 D ,

?
4

,则 CD ? ____________.

房东是个大帅哥

朝花夕拾 杯中酒

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 ? a1 ? a2 ? ? ? a2 ? a3 ? ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? ? an ? an ?1 ? ? 2n ? n ? 1? ? n ? N ? ? .

? an ? 的前 n 项和 Sn . n ?1 ? ?2 ?

(18) (本小题满分 12 分) 某省 2016 年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制,发布成绩使用等级制. 各等制划分标准为: 85 分及以上, 记为 A 等; 分数在 ?70,85? 内, 记为 B 等; 分数在 ?60,70? 内,记为 C 等;60 分以下,记为 D 等.同时认定 A, B, C 为合格, D 为不合格.已知甲,乙两 所学校学生的原始成绩均分布在 ?50,100? 内,为了比较两校学生的成绩,分别抽取 50 名学 生的原始成绩作为样本进行统计, 按照 ?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? 的分组 作出甲校的样本频率分布直方图如图 1 所示,乙校的样本中等级为 C , D 的所有数据茎叶图 如图 2 所示.

(Ⅰ)求图 1 中 x 的值,并根据样本数据比较甲乙两校的合格率; (Ⅱ)在选取的样本中,从甲,乙两校 C 等级的学生中随机抽取 3 名学生进行调研, 用 X 表示所抽取的 3 名学生中甲校的学生人数, 求随机变量 X 的分布列和数学 期望.

房东是个大帅哥

朝花夕拾 杯中酒

(19) (本小题满分 12 分)

E 是 PB 如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是梯形, 且 AB / / CD ,AB ? 面 PAD ,
中点, CD ? PD ? AD ?

1 AB . 2

(Ⅰ)求证: CE ? 平面 PAB ; (Ⅱ)若 CE ? 3 , AB ? 4 , 求直线 CE 与平面 PDC 所成角的大小.

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个焦点为 F ?3,0? ,其左顶点 A 在圆 a 2 b2

O : x2 ? y 2 ? 12 上.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 l : x ? my ? 3? m ? 0? 交椭圆 C 于 M , N 两点,设点 N 关于 x 轴的对称点 为 N1(点 N1 与点 M 不重合) ,且直线 N1M 与 x 轴的交于点 P ,试问 ?PMN 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? b(a, b ? R) 在 x ? ln 2 处的切线方程为 y ? x ? 2ln 2.
x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 若 k 为整数, 当 x ? 0 时, 求 k 的最大值 (其中 f ?( x ) (k ? x) f ?( x) ? x ? 1 恒成立, 为 f ( x ) 的导函数) .
房东是个大帅哥

朝花夕拾 杯中酒

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答 时,请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos? ( t 为参数) , 以原点 O 为 ? y ? t sin ?
? ?

极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 cos ? ? ? (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,若点 P 的直角坐标为 ?1,0 ? , 试求当 ? ?

??

?. 4?

?
4

时, PA ? PB 的值.

(23) (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? x ?1. (Ⅰ)若 ?x ? R ,恒有 f ? x ? ? ? 成立,求实数 ? 的取值范围; (Ⅱ)若 ?m ? R ,使得 m ? 2m ? f ?t ? ? 0 成立,求实数 t 的取值范围.
2

惠州市高三模拟考试 数学(理科)参考答案与评分标准
房东是个大帅哥

朝花夕拾 杯中酒

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 B 5 A 6 B 7 C 8 C 9 B 10 D 11 A 12 D

1. 【解析】? A ? ?0,1?, B ? ? ,?? ?

?1 ?2

? ?

, A ? B ? ? ,1? ,故选 C. 2

?1 ? ? ?

2. 【解析】 z ?

1 ? 3i ?1 ? 3i ??1 ? i ? ? ? ?1 ? 2i ,所以 z ? 1 =2 ,故选 B. 1? i ?1 ? i ??1 ? i ?
2 ? ?x ? 0 ?? x ? 1 x ? 0 ,所以 ? ,解得: x ? ?1 , 2 x x ? 0 ? ? x ? 1 ? 0 3 ? 2 ? ?

3. 【解析】程序框图表示 y ? ?

?x ? 0 ,解集为空,所以 x ? ?1 ,故选 D. ? x ?3 ? 2 ? 0
PF1 ? 12 ? 5 ? 13,那么 2a ? 13 ? 5 ? 8 ,故 e ? 4【解析】 在RT ?PF1 F2中,
2 2

12 3 ? . 8 2

5【解析】函数 y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项 A 的函数为奇函数,不符 合要求;选项 B 的函数是偶函数,但其单调性不符合;选项 D 的函数为非奇非偶函数, 不符合要求;只有选项 A 符合要求,故应选 A. 6. 【解析】画出满足条件的四棱锥,底面是边长为 3 的正方形,顶点在底面的射影为点 B,

DC ? EC , DE 为直角三角形 ? ADE 和 ? CDE 高为 4, 根据垂直关系可得 AD ? AE ,
和 ?BDE 的公共斜边,所以取 DE 中点 O , O 为四棱锥外接圆的圆心,

DE 2 ? AB2 ? BE 2 ? AD2 ? 32 ? 4 2 ? 32 ? 34, DE ? 2R ? 34 ,那么四棱锥外接
2 球的表面积为 S ? 4?R ? 34? ,故选 B.

7. 【解析】 ( x ? 1) ( x ? 2) ? x( x ? 1) ? 2( x ? 1) ,含有 x 项的构成为
5 5 5
2

? 20x 2 ? 5x 2 ? ?15x 2 ,故选 C.
8.【解析】作出不等式组对应的平面区域,由 ?

? x ? 4 y ? ?3 ?x ? 1 解得 ? ,设 A ?1,1 ? ,由图 ?x ? 1 ?y ?1
x y 2 x? y

可知,直线 2 x ? y ? m 经过点 A 时,m 取最小值,同时 z ? 4 ? 2 ? 2 所以 zmin ? 22?1?1 ? 23 ? 8 . 故选 C.

取得最小值,

9. 【解析】 ? ? 2 , f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 平移得到的函数是 y ? sin(2 x ? ? ?

2? ) ,其图 3

房东是个大帅哥

朝花夕拾 杯中酒

1) 象过 (0, , ∴ sin(? ? 故选 B.

? 2? ? )=1 , 因为 ?? ? ? ? 0 , ∴ ? ? ? ,f ( x) ? sin(2 x ? ) , 6 3 6
y2 y1 ? ?1 ,

10. 【解析】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? y1 ? 3 y2 ,又

3 1 3 ? A( , 3), B( , ? ) ,? k ? 3 ? 选 D. 4 12 3
11. 【解析】过 P 作 PM ? AB于M , 连接MN ,则 tan ? ?

PM 1 ? ,故当 MN 最小时 MN MN

tan ? 最大。此时 MN ? AB, M 为AB中点,? ? ?

1 2

12. 【解析】 f ' ( x) ? ?e x ?1, g ' ( x) ? 3a ? 2 sin x ,在 f ( x) 上取点 ( x1 , y1 ) ,在 g ( x) 上取点

( x2 , y2 ) ,要 l1 ? l2 ,需 3a ? 2 sin x2 ?

1 ,? 3a ? 2 sin x2 ? ?3a ? 2,3a ? 2? , e ?1 1 1 2 ? ?0,1? ,??0,1? ? ?3a ? 2,3a ? 2?,? ? ? a ? ,故选 D. x e ?1 3 3
x1

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?
1 4

14.

15 ? 2 6

15.

9 2

16. 3
1 AB ? AC ,∵ CA ? 3CE , 2

13. 【解析】因为 BC ? 2BD ,所以 D 为 BC 的中点即 AD ?
1 1 ∴ BE ? BC ? CE ? BC ? CA ,∴ AD ? BE ? ? . 4 3

?

?

14. 【解析】因为 ? ? (0, ) ,所以 ? ?

? 2

? ? ?? ? 5 ? ( , ) ,所以 sin(? ? ) ? ,所以 cos ? = 3 3 6 3 3

? ? ? ? ? ? 2 1 5 3 = cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? )sin ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2
15 ? 2 6
15. 【解析】类比祖暅原理,可得两个图形的面积相等,梯形面积为 S ? 所以图 1 的面积为

1 ?1 ? 2? ? 3 ? 9 , 2 2

9 . 2

16. 【解析】因为线段 BA 的延长线上存在点 D ,使 ?BDC ?

?
4

, ?ACB ? 30 ,
0

2 2 2 0 所以 AB ? AC ? BC ? 2 ? AC ? BC ? cos30 ? 2 ,即 AB ?

2 ,所以

AB ? AC ,

房东是个大帅哥

朝花夕拾 杯中酒

所以 ?B ? ?ACB ? 300 ,

?BCD 中,根据正弦定理

BC CD ? ? sin ?D sin ?B

6 2 2

?

CD ? CD ? 3 . 1 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 17. (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由已知得 ?

?a1 ? a2 ? 4, ?(a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? 12,

……2 分

即?

? a1 ? a2 ? 4, ?a1 ? (a1 ? d ) ? 4, ?a1 ? 1, 所以 ? 解得 ? ? a2 ? a3 ? 8, ?d ? 2, ?(a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? 8,

……4 分

所以 an ? 2n ? 1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得

……6 分

an 2n ? 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 ,所以 Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? … ? n ?2 ? n ?1 ,① n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Sn ? ? 2 ? 3 ? …… ? n ?1 ? n ,② ……8 分 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 ① ? ② 得: S n ? 1 ? 1 ? ? 2 ? … ? n ? 2 ? n ? 3 ? ……10 分 2 2 2 2 2 2n 4n ? 6 所以 S n ? 6 ? . ……12 分 2n

18. (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)由题意,可知 10 x ? 0.012 ?10 ? 0.056 ?10 ? 0.018 ?10 ? 0.010 ?10 ? 1 , ∴ x ? 0.004 . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 ∴甲学校的合格率为 1 ? 10 ? 0.004 ? 0.96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 而乙学校的合格率为 1 ?

2 ? 0.96 . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 50

∴甲、乙两校的合格率均为 96%. . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (Ⅱ)样本中甲校 C 等级的学生人数为 0.012 ?10 ? 50 ? 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 而乙校 C 等级的学生人数为 4. ∴随机抽取 3 人中,甲校学生人数 X 的可能取值为 0,1,2,3. . . . . . . . . . .7 分 ∴ P ? X ? 0? ?
1 2 3 C6 C4 C4 1 3 ? , P X ? 1 ? ? , ? ? 3 3 C10 30 C10 10

房东是个大帅哥

朝花夕拾 杯中酒

P ? X ? 2? ?

2 1 3 C6 C4 1 C6 1 ? , P X ? 3 ? ? ? ? 3 3 C10 2 C10 6

∴ X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 数学期望 EX ? 1?

3 1 1 9 ? 2 ? ? 3? ? . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 10 2 6 5

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:取 AP 的中点 F ,连结 DF , EF ,如图所示. 因为 PD ? AD ,所以 DF ? AP . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 因为 AB ? 平面 PAD , DF ? 平面 PAD ,所以 AB ? DF . 又因为 AP
AB ? A ,所以 DF ? 平面 PAB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分

因为点 E 是 PB 中点,所以 EF // AB ,且 EF ? 又因为 AB // CD ,且 CD ?

AB .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 2

AB ,所以 EF // CD ,且 EF ? CD , 2

所以四边形 EFDC 为平行四边形,所以 CE // DF , 所以 CE ? 平面 PAB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 (Ⅱ)解:设点 O,G 分别为 AD,BC 的中点,连结 OG ,则 OG // AB , 因为 AB ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , 所以 AB ? AD ,所以 OG ? AD . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 因为 EC ? 3 ,由(Ⅰ)知, DF ? 3, 又因为 AB ? 4 ,所以 AD ? 2 , 所以 AP ? 2 AF ? 2 AD2 ? DF 2 ? 2 22 ? 3 ? 2, 所以 ?APD 为正三角形,所以 PO ? AD , 因为 AB ? 平面 PAD , PO ? 平面 PAD , 所以 AB ? PO . 又因为 AD
AB ? A ,所以 PO ? 平面 ABCD . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

故 OA, OG , OP 两两垂直,可以点 O 为原点,分别以 OA, OG, OP 的方向为 x, y, z 轴的正 方向, 建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图所示.

房东是个大帅哥

朝花夕拾 杯中酒

1 3 P(0,0, 3) , C (?1, 2,0), D(?1,0,0) , E ( , 2, ) , 2 2 3 3 所以 PD ? (?1,0, ? 3) , PC ? (?1,2, ? 3) , EC ? (? , 0, ? ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 2 2

设平面 PDC 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,
? ? ?n ? PD ? 0, ?? x ? 3z ? 0, 则? 所以 ? ? ? ?n ? PC ? 0, ?? x ? 2 y ? 3z ? 0,

取 z ? 1 ,则 n ? (? 3,0,1) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 设 EC 与平面 PDC 所成的角为 ? , 则 sin ? ?| cos ? n, EC ?|?|
3 3?2 |? 1 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2

π π 因为 ? ? [0, ] ,所以 ? ? , 6 2

π 所以 EC 与平面 PDC 所成角的大小为 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 6

20. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)∵椭圆 C 的左顶点 A 在圆 x2 ? y 2 ? 12 上,∴ a ? 2 3
2 2 2 又∵椭圆的一个焦点为 F (3,0) ,∴ c ? 3 ∴ b ? a ? c ? 3

∴椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 12 3

………………4分

? x ? my ? 3, ? (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则直线与椭圆 C 方程联立 ? x 2 y 2 ? 1, ? ? ?12 3
化简并整理得 (m ? 4) y ? 6my ? 3 ? 0 ,
2 2

∴ y1 ? y2 ? ?

6m 3 , y1 y2 ? ? 2 2 m ?4 m ?4

………………5分

由题设知 N1 ( x2 ,? y 2 ) ∴直线 N1M 的方程为 y ? y1 ? 令 y ? 0 得 x ? x1 ?

y1 ? y 2 ( x ? x1 ) x1 ? x2

y1 ( x1 ? x2 ) x1 y 2 ? x2 y1 (m y1 ? 3) y 2 ? (m y2 ? 3) y1 ? ? y1 ? y 2 y1 ? y 2 y1 ? y 2

? 6m 2 ? m ?4 ?3? 4 ? 6m m2 ? 4

∴点 P(4,0)

………………7分

房东是个大帅哥

朝花夕拾 杯中酒

S ?PMN ?

1 1 | PF | ? | y1 ? y 2 |? ? 1 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 2 2

?

1 ? 6m 2 ?3 m2 ?1 ( 2 ) ? 4( 2 ) ?2 3 2 m ?4 m ?4 ( m 2 ? 4) 2

………………9分

?2 3 m2 ? 1 ?

1 9 ?6 m ?1
2

?2 3

1 2 (m 2 ? 1) 9 ?6 m ?1
2

?2 3

1 ?1 6?6

2 (当且仅当 m ? 1 ?

9 即 m ? ? 2 时等号成立) m ?1
2

∴ ?PMN 的面积存在最大值,最大值为 1.

………………12 分

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? e ? a ,由已知得 f ? ? ln 2? ? 1 ,故 e
x
ln 2

? a ? 1 ,解得 a ? ?1
………………2 分

又 f ? ln 2? ? ? ln 2 ,得 e

ln2

? ln2 ? b ? ?ln2 ,解得 b ? ?2

f ? x ? ? ex ? x ? 2 ,所以 f ? ? x ? ? ex ?1
当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 所以 f ? x ? 的单调区间递增区间为 ? 0, ? ?? ,递减区间为 ? ??,0? 分 (Ⅱ)法一.由已知 ? k ? x ? f ? ? x ? ? x ?1 ,及 f ? ? x ? ? e ?1整理得
x

…………4

k?

xe x ? 1 ,当 x ? 0 时恒成立 ex ?1 xe x ? 1 ex ? ex ? x ? 2? x ? 0 , ? ? g? ? x ? ? 2 ex ?1 ? ex ?1?
x x

令 g ? x? ?

………………………………6 分

当 x ? 0 时, e ? 0, e ? 1 ? 0 ;由(Ⅰ)知 f ? x ? ? ex ? x ? 2 在 ? 0, ? ?? 上为增函 数, 又 f ?1? ? e ? 3 ? 0, f ? 2? ? e2 ? 4 ? 0 ……………………………………8 分
x

所以存在 x0 ? ?1,2? 使得 f ? x0 ? ? ex0 ? x0 ? 2=0 ,此时 e 0 =x0 +2 当 x ? ? 0, x0 ? 时, g? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x0 , ??? 时, g? ? x ? ? 0

房东是个大帅哥

朝花夕拾 杯中酒

所以 g ? x ?

min

? g ? x0 ? ?

?

x0e x0 ? 1 e x0 ? 1

?

2

? x0 ? 1? ? 2,3?

…………………10 分

故整数 k 的最大值为 2 .

………………12 分

x 法二.由已知 ? k ? x ? f ? ? x ? ? x ?1 ,及 f ? ? x ? ? e ?1整理得, ? k ? x ? ex ? k ?1 ? 0

令 g ? x ? ? ? k ? x ? e x ? k ?1

? x ? 0?

, g ? ? x ? ? ? k ?1 ? x ? e x ………………………6 分

g ? ? x ? =0 得, x =k ? 1

当 k ? 1 时,因为 x ? 0 ,所以 g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 在 ? 0, +? ? 上为减函数,

g ? x ? ? g ? 0? ? ?1 ? 0

………………………8 分

当k ? 1时,x ? (0, k ?1), g ' ( x) ? 0 , g ( x) 为增函数。 x ? (k ? 1,??)时 g ' ( x) ? 0,
g ( x) 为减函数。? g ( x)max ? g (k ?1) ? ek ?1 ? k ?1
由已知 ek ?1 ? ? k ? 1? ? 0 ……………………10 分

令 h ? k ? ? ek ?1 ? ? k ? 1?? k ? 1? , h? ? k ? ? ek ?1 ?1 ? 0 , h ? k ? 在 k ? ?1, ?? ? 上为增函 数. 又 h ? 2? =e ? 3 ? 0, h ?3? ? e2 ? 4 ? 0 , 故整数 k 的最大值为 2 22. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)曲线 C 2 : ? ? 2 2 cos(? ? ……………12 分

?
4

) ,可以化为 ? 2 ? 2 2 ? cos( ? ?

?
4

),

? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? ,[来源:学&科&网]
因此,曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ………………4分 它表示以 (1,?1) 为圆心、 2 为半径的圆. ………………5分

? 2 x ? 1 ? t ? ? ? 2 (为参数) (Ⅱ)法一:当 ? ? 时,直线的参数方程为 ? 4 ? y? 2t ? 2 ? ? 2 x ? 1? t ? ? 2 点 P (1,0) 在直线上,且在圆 C 内,把 ? ? y? 2t ? 2 ?
代入 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 中得 t ? 2t ?1 ? 0
2

………………6 分

房东是个大帅哥

朝花夕拾 杯中酒

设两个实数根为 t1 , t 2 ,则 A, B 两点所对应的参数为 t1 , t 2 , 则 t1 ? t2 ? ? 2 , t1t 2 ? ?1 ………………8 分 ………………10 分

?| PA | ? | PB |?| t1 ? t 2 |? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 6
法二:由(Ⅰ)知圆的标准方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2

即圆心 C 的坐标为 (1,?1) 半径为 2 , 点 P (1,0) 在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上, 且在圆 C 内

? | PA | ? | PB |?| AB |
圆心 C 到直线的距离 d ?

………………6 分

| 1 ? (?1) ? 1 | 12 ? 12
2

?

2 2
? 2 2?

………………8 分

所以弦 | AB | 的长满足 | AB |? 2 r ? d

2

1 ? 6 2
………………10 分

? | PA | ? | PB |? 6

23. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x) ?| x | ? | x ? 1 |?| x ? ( x ? 1) |? 1 知, f ( x) min ? 1 欲使 ?x ? R ,恒有 f ( x) ? ? 成立,则需满足 ? ? f ( x) min ……………4 分 所以实数 ? 的取值范围为 (??,1] ………………5分

?? 2t ? 1 (t ? ?1) ? (Ⅱ)由题意得 f (t ) ?| t | ? | t ? 1 |? ? 1 ( ?1 ? t ? 0) ……………6 分 ? 2t ? 1 (t ? 0) ?
?m ? R, 使得 m 2 ? 2m ? f (t ) ? 0 成立
即有 ? ? 4 ? 4 f (t ) ? 0 又 f (t ) ? 1 可等价转化为 ?

? f (t ) ? 1

……………8 分

? t ? ?1 ?? 1 ? t ? 0 ? t ? 0 或? 或? ?? 2t ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?2t ? 1 ? 1
房东是个大帅哥

朝花夕拾 杯中酒

所以实数的取值范围为 [?1,0]

……………10 分

房东是个大帅哥


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图