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道外区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

道外区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 从 5 名男生、1 名女生中,随机抽取 3 人,检查他们的英语口语水平,在整个抽样过程中,若这名女生第 一次、第二次均未被抽到,那么她第三次被抽到的概率是( A. B. C. D. )

姓名__________

分数__________

2. △ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为,,,已知 a ? 3 , b ?

6 , ?A ?

?
6

,则

?B ? (
A.

)111] B.

? 4

? 3? 或 4 4

C.

? 2? 或 3 3

D.

? 3


3.将 y=cos (2x+φ ) 的图象沿 x 轴向右平移 A. B.﹣ C.﹣ D. ,b=

个单位后, 得到一个奇函数的图象, 则 φ 的一个可能值为 (

4. 已知在△ABC 中,a=

,B=60°,那么角 C 等于(

) )

A.135° B.90° C.45° D.75° 5. 若命题 p:?x0∈R,sinx0=1;命题 q:?x∈R,x2+1<0,则下列结论正确的是( A.¬p 为假命题 B.¬q 为假命题 C.p∨q 为假命题 D.p∧q 真命题 6. 已知 α∈(0,π),且 sinα+cosα= ,则 tanα=( A. B. C.
x



D.

7. 设函数 f ? x ? ? e 取值范围是( A.? ?

? 2x ?1? ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数,使得 f ?t ? ? 0 ,则的
B.? ?



? 3 ? ,1? ? 2e ?

? 3 3? , ? ? 2e 4 ?


C.?

? 3 3? , ? ? 2e 4 ?

D.?

?3 ? ,1? 1111] ? 2e ?

8. 两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.akm B. akm C.2akm D. akm )

9. 已知点 P y) (x, 的坐标满足条件 A. B. C.﹣6 D.6

, (k 为常数) , 若 z=3x+y 的最大值为 8, 则 k 的值为 (

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精选高中模拟试卷

10.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 为棱 A1B1 中点,点 Q 在侧面 DCC1D1 内运动,若

?PBQ ? ?PBD1 ,则动点 Q 的轨迹所在曲线为(



A.直线

B.圆

C.双曲线

D.抛物线 )

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识,意在考查空间想象能力. 11.设 f ( x ) 是偶函数,且在 (0, ??) 上是增函数,又 f (5) ? 0 ,则使 f ( x) ? 0 的的取值范围是( A. ?5 ? x ? 0 或 x ? 5 A.2 B.3 B. x ? ?5 或 x ? 5 C.0 或 3 C. ?5 ? x ? 5 ) D.0,2,3 均可 12.已知集合 A={0,m,m2﹣3m+2},且 2∈A,则实数 m 为( D. x ? ?5 或 0 ? x ? 5

二、填空题
13.下列命题: ①函数 y=sinx 和 y=tanx 在第一象限都是增函数; ②若函数 f(x)在[a,b]上满足 f(a)f(b)<0,函数 f(x)在(a,b)上至少有一个零点; ③数列{an}为等差数列,设数列{an}的前 n 项和为 Sn,S10>0,S11<0,Sn 最大值为 S5; ④在△ ABC 中,A>B 的充要条件是 cos2A<cos2B; ⑤在线性回归分析中,线性相关系数越大,说明两个量线性相关性就越强. 其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都写上).

14.若函数 y=ln( 16.函数 f(x)=

﹣2x)为奇函数,则 a=

. 在 方向上的投影. .

15.已知点 A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,﹣1),D(3,4),求向量 ﹣2ax+2a+1 的图象经过四个象限的充要条件是

17.函数 f ? x ? ? xe x 在点 1, f ?1? 处的切线的斜率是 18.已知 是等差数列, 为其公差, 是其前 项和,若只有 是 所有正确的序号是___________ ① ② ③ ④ ⑤

?

?

. 中的最小项,则可得出的结论中

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三、解答题
19.已知椭圆 C1: +x2=1(a>1)与抛物线 C
2 :x =4y 有相同焦点 F1.

(Ⅰ)求椭圆 C1 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1 过椭圆 C1 的另一焦点 F2,且与抛物线 C2 相切于第一象限的点 A,设平行 l1 的直线 l 交椭圆 C1 于 B,C 两点,当△ OBC 面积最大时,求直线 l 的方程.

20.如图所示,一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切,同时与圆 x2+y2﹣6x﹣91=0 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程, 并说明它是什么样的曲线.

21.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< (1)求 f(x)的解析式;

)的一段图象如图所示.

(2)求 f(x)的单调减区间,并指出 f(x)的最大值及取到最大值时 x 的集合; (3)把 f(x)的图象向左至少平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数.

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22.如图,A 地到火车站共有两条路径



,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所

用时间落在个时间段内的频率如下表:

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。 (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求 X 的分布列和数学期望 。

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23.已知椭圆 点,且椭圆的离心率为 (1)求椭圆 C 的方程; .

的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0),F2(c,0),P 是椭圆 C 上任意一

(2)直线 l1,l2 是椭圆的任意两条切线,且 l1∥l2,试探究在 x 轴上是否存在定点 B,点 B 到 l1,l2 的距离之 积恒为 1?若存在,求出点 B 的坐标;若不存在,请说明理由.

24.设函数 f(x)=mx2﹣mx﹣1. (1)若对一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 x∈[1,3],f(x)<﹣m+5 恒成立,求 m 的取值范围.

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道外区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:由题意知,女生第一次、第二次均未被抽到,她第三次被抽到, 这三个事件是相互独立的, 第一次不被抽到的概率为 , 第二次不被抽到的概率为 , 第三次被抽到的概率是 , ∴女生第一次、第二次均未被抽到,那么她第三次被抽到的概率是 故选 B. 2. 【答案】B 【解析】 试题分析:由正弦定理可得: = ,

3 sin

?
6

?

3? 6 2 ? ,? sin B ? ,? B ? ? 0, ? ? ,? B ? 或 ,故选 B. 4 sin B 2 4

考点:1、正弦定理的应用;2、特殊角的三角函数. 3. 【答案】D 【解析】解:将 y=cos(2x+φ )的图象沿 x 轴向右平移 )的图象, ∴φ ﹣ 故选:D. 4. 【答案】D 【解析】解:由正弦定理知 ∴sinA= ∵a<b, ∴A<B, ∴A=45°, ∴C=180°﹣A﹣B=75°, = × = , = , =kπ + ,即 φ =kπ + ,k∈Z,则 φ 的一个可能值为 , 个单位后,得到一个奇函数 y=cos=cos(2x+φ ﹣

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故选:D. 5. 【答案】A 【解析】解: ∴?x0∈R,sinx0=1; ∴命题 p 是真命题;
2 2 由 x +1<0 得 x <﹣1,显然不成立;

时,sinx0=1;

∴命题 q 是假命题; ∴¬p 为假命题,¬q 为真命题,p∨q 为真命题,p∧q 为假命题; ∴A 正确. 故选 A.
2 【点评】考查对正弦函数的图象的掌握,弧度数是个实数,对?∈R 满足 x ≥0,命题¬p,p∨q,p∧q 的真假和

命题 p,q 真假的关系. 6. 【答案】D
2 【解析】解:将 sinα+cosα= ①两边平方得:(sinα+cosα) =1+2sinαcosα=

,即 2sinαcosα=﹣

<0,

∵0<α<π,∴

<α<π,

∴sinα﹣cosα>0,
2 ∴(sinα﹣cosα) =1﹣2sinαcosα=

,即 sinα﹣cosα= ②,

联立①②解得:sinα= ,cosα=﹣ , 则 tanα=﹣ . 故选:D. 7. 【答案】D 【解析】

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考 点:函数导数与不等式.1 【思路点晴】本题主要考查导数的运用,涉及划归与转化的数学思想方法.首先令 f ? x ? ? 0 将函数变为两个函 数 g ? x ? ? ex ? 2x ?1? , h ? x ? ? ax ? a ,将题意中的“存在唯一整数,使得 g ? t ? 在直线 h ? x ? 的下方”,转化为 存在唯一的整数,使得 g ? t ? 在直线 h ? x ? ? ax ? a 的下方.利用导数可求得函数的极值,由此可求得 m 的取值 范围. 8. 【答案】D 【解析】解:根据题意, △ABC 中,∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°, ∵AC=BC=akm, ∴由余弦定理,得 cos120°= 解之得 AB= 故选:D. akm, akm, ,

即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为

【点评】本题给出实际应用问题,求海洋上灯塔 A 与灯塔 B 的距离.着重考查了三角形内角和定理和运用余 弦定理解三角形等知识,属于基础题. 9. 【答案】 B 【解析】解:画出 x,y 满足的可行域如下图:z=3x+y 的最大值为 8,

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由 (

,解得 y=0,x= , ,0)代入 2x+y+k=0,∴k=﹣ ,

故选 B.

【点评】如果约束条件中含有参数,可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪 两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组),代入另一条直线方程,消去 x,y 后,即可求出参数 的值. 10.【答案】C. 【解析】易得 BP / / 平面 CC1D1D ,所有满足 ?PBD1 ? ?PBX 的所有点 X 在以 BP 为轴线,以 BD1 所在直 线为母线的圆锥面上, ∴点 Q 的轨迹为该圆锥面与平面 CC1D1D 的交线, 而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆 锥面得到的图形是双曲线,∴点 Q 的轨迹是双曲线,故选 C. 11.【答案】B

考 点:函数的奇偶性与单调性. 【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性,数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数,所 以定义域关于原点对称,图象关于 y 轴对称,单调性在 y 轴两侧相反,即在 x ? 0 时单调递增,当 x ? 0 时, 函数单调递减.结合 f (5) ? 0 和对称性,可知 f (?5) ? 0 ,再结合函数的单调性,结合图象就可以求得最后的 解集.1 12.【答案】B

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【解析】解:∵A={0,m,m ﹣3m+2},且 2∈A,
2 ∴m=2 或 m ﹣3m+2=2,

2

解得 m=2 或 m=0 或 m=3. 当 m=0 时,集合 A={0,0,2}不成立. 当 m=2 时,集合 A={0,0,2}不成立. 当 m=3 时,集合 A={0,3,2}成立. 故 m=3. 故选:B. 【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用,注意求解之后要进行验证.

二、填空题
13.【答案】 ②③④⑤ 【解析】解:①函数 y=sinx 和 y=tanx 在第一象限都是增函数,不正确,取 x= , , ,但是

,因此不是单调递增函数;

②若函数 f(x)在[a,b]上满足 f(a)f(b)<0,函数 f(x)在(a,b)上至少有一个零点,正确; ③数列{an}为等差数列,设数列{an}的前 n 项和为 Sn,S10>0,S11<0,∴ =11a6<0, ∴a5+a6>0,a6<0,∴a5>0.因此 Sn 最大值为 S5,正确; ④在△ABC 中,cos2A﹣cos2B=﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2sin(A+B)sin(B﹣A)<0?A>B,因此正 确; ⑤在线性回归分析中,线性相关系数越大,说明两个量线性相关性就越强,正确. 其中正确命题的序号是 ②③④⑤. 【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、 线性回归分析,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 14.【答案】 4 . =5(a6+a5)>0,

【解析】解:函数 y=ln( 可得 f(﹣x)=﹣f(x), ln( +2x)=﹣ln(

﹣2x)为奇函数, ﹣2x).

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ln(

+2x)=ln(

)=ln(

).

2 2 可得 1+ax ﹣4x =1,

解得 a=4. 故答案为:4. 15.【答案】 【解析】解:∵点 A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,﹣1),D(3,4), ∴向量 ∴向量 =(1+1,2﹣1)=(2,1), 在 = 方向上的投影是 = . =(3+2,4+1)=(5,5);

16.【答案】 ﹣



【解析】解:∵f(x)= ①a=0 时,f(x)=1,不符合题意;

﹣2ax+2a+1,

∴求导数,得 f′(x)=a(x﹣1)(x+2). ②若 a>0,则当 x<﹣2 或 x>1 时,f′(x)>0;当﹣2<x<1 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(﹣2,1)是为减函数,在(﹣∞,﹣2)、(1,+∞)上为增函数; ③若 a<0,则当 x<﹣2 或 x>1 时,f′(x)<0;当﹣2<x<1 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(﹣2,1)是为增函数,在(﹣∞,﹣2)、(1,+∞)上为减函数 因此,若函数的图象经过四个象限,必须有 f(﹣2)f(1)<0, 即( )( )<0,解之得﹣ .

故答案为:﹣ 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、函数的图象、充要条件的判断等知识,属于基础 题. 17.【答案】 2e 【解析】 试题分析:? f ? x ? ? xe ,? f ' ? x ? ? e ? xe ,则 f ' ?1? ? 2e ,故答案为 2e .
x x x

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考点:利用导数求曲线上某点切线斜率. 18.【答案】①②③④ 【解析】 因 为 只 有 确; ,故④正确; ,无法判断符号,故⑤错误, 故正确答案①②③④ 答案:①②③④ 是 中 的 最 小 项 , 所 以 , , 所 以 , 故 ① ② ③ 正

三、解答题
19.【答案】
2 【解析】解:(Ⅰ)∵抛物线 x =4y 的焦点为 F1(0,1), 2 ∴c=1,又 b =1,∴

∴椭圆方程为:

+x2=1. …

(Ⅱ)F2(0,﹣1),由已知可知直线 l1 的斜率必存在,

设直线 l1:y=kx﹣1 由 消去 y 并化简得 x ﹣4kx+4=0
2

∵直线 l1 与抛物线 C2 相切于点 A.
2 ∴△=(﹣4k) ﹣4×4=0,得 k=±1.…

∵切点 A 在第一象限. ∴k=1… ∵l∥l1 ∴设直线 l 的方程为 y=x+m

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2 2 ,消去 y 整理得 3x +2mx+m ﹣2=0,…

2 2 △=(2m) ﹣12(m ﹣2)>0,

解得

. , .…

设 B(x1,y1),C(x2,y2),则

又直线 l 交 y 轴于 D(0,m) ∴ = 当 ,即 .… 时, .… …

所以,所求直线 l 的方程为

【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质,考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查运算求解能力 及数形结合和化归与转化思想. 20.【答案】 【解析】解:(方法一)设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,设已知圆的圆心分别为 O1、O2,
2 2 2 2 将圆的方程分别配方得:(x+3) +y =4,(x﹣3) +y =100,

当动圆与圆 O1 相外切时,有|O1M|=R+2…① 当动圆与圆 O2 相内切时,有|O2M|=10﹣R…② 将①②两式相加,得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|, ∴动圆圆心 M(x,y)到点 O1(﹣3,0)和 O2(3,0)的距离和是常数 12, 所以点 M 的轨迹是焦点为点 O1(﹣3,0)、O2(3,0),长轴长等于 12 的椭圆. ∴2c=6,2a=12, ∴c=3,a=6
2 ∴b =36﹣9=27

∴圆心轨迹方程为

,轨迹为椭圆.

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(方法二):由方法一可得方程 2
2 2 两边再平方得:3x +4y ﹣108=0,整理得

,移项再两边分别平方得:

所以圆心轨迹方程为

,轨迹为椭圆.

【点评】本题以两圆的位置关系为载体,考查椭圆的定义,考查轨迹方程,确定轨迹是椭圆是关键.

21.【答案】 【解析】解:(1)由函数的图象可得 A=3, 再根据五点法作图可得 × (2)令 2kπ﹣ k∈z. 函数的最大值为 3,此时, 时 x 的集合为{x|x=5kπ+ x﹣ =2kπ+ ,即 x=5kπ+ ,k∈z,即 f(x)的最大值为 3,及取到最大值 ≤ x﹣ +φ=0,求得 φ=﹣ ≤2kπ+ T= =4π﹣ ,解得 ω= . ). ],

,∴f(x)=3sin( x﹣

,k∈z,求得 5kπ﹣π≤x≤5kπ+

,故函数的增区间为[5kπ﹣π,5kπ+

,k∈z}. )的图象向左至少平移 m 个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数[即

(3)设把 f(x)=3sin( x﹣ y=3sin( x+ )]. = x+

则由 (x+m)﹣

,求得 m= π, )的图象向左平移 π 个单位,可得 y=3sin( x+ )=3cos x 的图象.

把函数 f(x)=3sin( x﹣

【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的单调性和最值,函数 y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.

22.【答案】 【解析】(1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件“乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2,用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0。1+0。2+0。3=0。6,P(A2)=0。1+0。4=0。5,

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P(A1) >P(A2), P(B2) >P(B1),

甲应选择 Li 乙应选择 L2。

P(B1)=0。1+0。2+0。3+0。2=0。8,P(B2)=0。1+0。4+0。4=0。9, (2)A,B 分别表示针对(Ⅰ)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(Ⅰ)知 ,又由题意知,A,B 独立,

23.【答案】 【解析】解:(1)∵椭圆 P 是椭圆 C 上任意一点,且椭圆的离心率为 ∴ = ,解得 .… , , 的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0),F2(c,0),

∴椭圆 C 的方程为

(2)①当 l1,l2 的斜率存在时,设 l1:y=kx+m,l2:y=kx+n(m≠n) ,
2 2 2 2 2 2 △=0,m =1+2k ,同理 n =1+2k m =n ,m=﹣n,

设存在



2 2 2 2 2 2 2 2 2 又 m =1+2k ,则|k (2﹣t )+1|=1+k ,k (1﹣t )=0 或 k (t ﹣3)=2(不恒成立,舍去) 2 ∴t ﹣1=0,t=±1,点 B(±1,0),

②当 l1,l2 的斜率不存在时, 点 B(±1,0)到 l1,l2 的距离之积为 1. 综上,存在 B(1,0)或(﹣1,0).…

24.【答案】 【解析】解:(1)当 m=0 时,f(x)=﹣1<0 恒成立, 当 m≠0 时,若 f(x)<0 恒成立,

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则 解得﹣4<m<0 综上所述 m 的取值范围为(﹣4,0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)要 x∈[1,3],f(x)<﹣m+5 恒成立, 即 令 ﹣﹣﹣﹣ 当 m>0 时,g(x)是增函数, 所以 g(x)max=g(3)=7m﹣6<0, 解得 .所以 恒成立. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当 m=0 时,﹣6<0 恒成立. 当 m<0 时,g(x)是减函数. 所以 g(x)max=g(1)=m﹣6<0, 解得 m<6. 所以 m<0. 综上所述, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题,函数的最值,其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问 题的关键.

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