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广东省揭阳市第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题含解斩 精品

揭阳一中 2017-2018 学年度第一学期期中考试高一数学试题
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1. 下列对应关系中,是从集合到集合的映射的是( (1) (2) (3) (4) A. (1) (3) 【答案】B 【解析】 (1) (2) 是映射. (3) (4) , , , , ;取 ,对应的 不唯一,不是映射. 是映射, , , , ,当 , 时不存在对应的象,不是映射; ;任取 ,都有唯一的 , , , B. (2) (4) , , , , , ; . C. (1) (2) (3) D. (2) (3) ; , ; )

.任取集合 A 中的一个元素对应

因此②④正确,选 B 2. 下列四组函数,表示同一函数的是( A. C. 【答案】D 【解析】 B. 一函数;C. , 的定义域为 , ,由于 ,对应法则不同不是同一函数; 的对应法则是 , , ,定义域不同不是同 的定义域为 定义域和对应法 , , B. D. ) , ,

的定义域为

,定义域不同不是同一函数;D.

则均相同,是同一函数,选 D. 3. 函数 A. 【答案】B 【解析】 4. 若函数 A. 【答案】B 【解析】由于函数 的值域为 ,选 B. 5. 函数 A. 【答案】A 【解析】 令 ( 且 , 对于 )的图象必经过点 ( 且 B. D. ) ,若 且 的任意实数, ,选 A. ,则( ) , 则函数 B. ( 且 )的图象必经过点( C. D. ) ,则 , ,所以 B. 解得 的值域为 C. ,选 B. ,则函数 D. 的值域是( ) B. 的定义域是( C. D. )

6. 设函数 A. C. 【答案】B 【解析】 性质, 首先函数 上为增函数,则在 B. 7. 已知奇函数 ( A. C. 【答案】A )

, 为偶函数, 图像关于轴对称, 当 为减函数,

,则可断定 时, ,

,研究函数 , 则函数

的图像与 在 ,选

,由于

,则



上单调递增, 且

, 则不等式

的解集是

B. D.

【点睛】已知函数的奇偶性可以判断函数的图象的对称性,提供 y 轴右侧图像的单调性,根 据图象的对称性,可以发现函数图象在 y 轴左侧图象的增减性,根据图象所过的点,利用对 称性可以看出函数图象过的另一个对称点,模拟函数图象,利用图象分情况解不等式,写出 解集. 8. 已知 A. B. C. ( ) ,若 D. ,则 ( )

【答案】D 【解析】 , 9. 设 A. 【答案】C B. 是定义在 C. , 为奇函数,则 , 上的偶函数,则 , .选. 的值域是( ) ,

D. 与,有关,不能确定

............... 10. 已知函数 A. 【答案】C 【解析】分段函数 在 上单调递增,只需 ,解得: ,选 C. B. C. 若 D. 在 上单调递增, 则实数的取值范围为 ( )

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
11. 已知函数 【答案】2 【解析】 试题分析: 由 解得 . , 则 , 所以 , 若 ,则 __________.

考点:分段函数的解析式及应用. 12. 若集合 __________. 【答案】 【解析】 则 ,或 ,则 , 或 ,当 时, ,符合题意;当 . 时, , , ,且 ,则实数的取值集合是

,综上可知实数的取值集合是

【点睛】根据集合的包含关系求参数的取值范围问题,首先要优先考虑到空集问题,根据集 合的交、并、补运算法则,以及集合的包含关系的要求,有限数集使用文氏图,无限数集使 用数轴做工具去分析,通过列不等式满足题意要求,解不等式求出参数的取值范围. 13. 若函数 的定义域为,则实数的取值范围是__________.

【答案】 【解析】定义域要求 当 时,函数的定义域为 R,当 . , ,则 __________. 时, ,解得 ,综上可知实数

的取值范围是 14. 已知 【答案】 【解析】



,而

.

【点睛】本题考查对数换底公式的应用的应用,另外要灵活使用对数的运算法则,积的对数 等于对数的和,商的的对数等于对数的差,幂的对数等于幂指数乘以底的对数,还要根据已 知的对数的真数与底数与所要表达的对数的真数与底数的关系,合理表示,求出表达式.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)
15. 计算: (1) ;

(2) 【答案】(1) ;(2)6.



【解析】试题分析:本题考查指数和对数运算,第二步还考查了绝对值符号的处理, 计算题 要计算准确,要仔细认真,指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算,法则包括同底数 幂相乘,底数不变,指数相加;同底数幂相除,底数不变指数相减;幂的乘方,底数不变指 数相乘;积的乘方等于把积中每个因数乘方,再把所得的幂相乘;对数运算要注意利用对数 运算法则,包括积、商、幂的对数运算法则,这些公式既要学会正用,还要学会反着用.另外 试题解析: (1)原式

. (2)原式 . 【点睛】指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算,法则包括同底数幂相乘,底数不变, 指数相加;同底数幂相除,底数不变指数相减;幂的乘方,底数不变指数相乘;积的乘方等 于把积中每个因数乘方,再把所得的幂相乘;对数运算要注意利用对数运算法则,包括积、 商、幂的对数运算法则,这些公式既要学会正用,还要学会反着用. 16. 已知函数 (1)若函数 (2)若函数 的值域为 . ,求的值; 的值域.

的函数值均为非负数,求

【答案】(1)



;(2)

. ,解得的值; (2)由题意转化为 ,解得

【解析】试题分析: (1)由二次函数图像知 ,化简函数

,再根据对称轴与定义区间相对位置关系得最值,即得值域 ,解得 , , 或 ;

试题解析:解:①由题意, ②由题意, ∴ ∵ ∴ 在 值域为 上递减且 . , ; ,解得





17. 已知集合 (1)若 (2)若 【答案】(1) ,求



,求实数的取值范围. ;(2) .

【解析】试题分析:把 a=1 代入,分别解绝对值不等式和不等式组求出集合 A 、B,明确两个 集合所表示的数集,无限数集的交、并、补运算使用的工具是数轴,根据集合的交、并、补 运算法则求出集合 A 与 B 的交集后在求补集,结果要用区间或集合表示;由于 a 为参数,首 先解绝对值不等式,写出解集(含参) ,在数轴上画出集合 B 所表示的实数,按照要求 A 与 B 的交集为空集,画出集合 A,根据交集为空集,列出所需满足的不等式,解出 a 的范围. 试题解析: . (1)当 ∴ ∴ (2)①当 ②当 假设 要使 时, ,则 ,则 . . ∴ , 时, , 时, , . ,满足条件; , ,

综上所述,实数的取值范围是

【点睛】集合的运算问题,首先要明确两个集合所表示的数集,可能需要解方程或解不等式 或求函数的定义域或求函数的值域等,无限数集的交、并、补运算使用的工具是数轴,根据 集合的交、并、补运算法则求出集合 A 与 B 的交集后在求补集,结果要用区间或集合表示; 根据集合的要求,求参数的取值范围问题,同样首先要解绝不等式,写出解集(含参) ,根据 题意中集合 A 与 B 的要求,在数轴上画出集合 A、B 所表示的实数,列出所需满足的不等式, 解出 a 的范围. 18. 定义在上的函数 (1)求 和 满足对任意, ,恒有 ,且 不恒为 0.

的值; 的奇偶性,并加以证明; ,求满足不等式 , ;(2)详见解析;(3) . 的的取值集合.

(2)试判断 (3)若

,恒有

【答案】(1)

【解析】试题分析:本题为抽象函数问题,解决抽象函数的基本方法有两种:一是赋值法, 二是“打回原型”,赋值法是最常用的解题方法,巧妙的赋值可求出函数的特值,本题的第 一步就是赋值法,发也可以判断分别给 x,y 赋值 1 和 断函数的奇偶性,利用 就可求出所求函数值,给 y 赋值 可判

可以证明函数的单调性,借助函数的奇偶性和单

调性以及特殊点特殊值可以模拟出函数的图象,在此基础上可以解不等式. 试题解析: (1)令 令 (2)令 ∵ 又 ,得 ,得 ,由 ,∴ 不恒为 0,∴ 时,恒有 ,得 ,∴ 上为增函数,∴ , , , , 是偶函数. ,此时 为增函数, ,∴ ,∴ 可得 , . ,

(3)若 由

由(2)知, 又∵ ∴ 在 .

∴的取值集合是



【点睛】本题为抽象函数问题,解决抽象函数的基本方法有两种:一是赋值法,二是“打回 原型”,赋值法是最常用的解题方法,巧妙的赋值可求出函数的特值,也可以判断抽象函数 的奇偶性,也可以证明函数的单调性,借助函数的奇偶性和单调性以及特殊点特殊值可以模 拟出函数的图象,在此基础上可以解不等式或解决其它函数问题. 19. 已知定义域为的函数 (1)求和的值; (2)用定义证明 (3)若对于任意 【答案】(1) , 在 ,不等式 ;(2)详见解析;(3) 为上的奇函数 上为减函数; 恒成立,求的取值范围. . ,再由 , 得 即可; (2) 是奇函数.

【解析】 试题分析: (1)

任取

,且

,计算 恒成立等价于

即可; (3) 不等式

恒成立, 求函数 的最小值即可. 试题解析: (1)∵ 又 经检验 (2)任取 ,得 符合题意. ,且 ,则 为上的奇函数,∴ . , .

.

∵ ∴ (3)∵

,∴ ,∴ ,不等式

,又∴ 为上的减函数



恒成立,

∴ ∴ ∴ 即 ∴ 为奇函数,∴ 为减函数,∴

, , . ,

恒成立,而

考点:1.函数的奇偶性;2.函数的单调性;3.函数与不等式. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数与不等式,属中档题;高考对函 1.单调性与奇偶性相结合; 2.周期性与奇偶性相结合; 数性质的考查主要有以下几个命题角度: 3.单调性、奇偶性与周期性相结合. 20. 已知 (1)求 是定义在上的奇函数,且当 的解析式; 时,函数 的值域为 ,若存在,求出 时, .

(2)问是否存在这样的正数,使得当 所有,的值;若不存在,说明理由. 【答案】(1) 【解析】试题分析: (Ⅰ)求当 ;(2)



. 代入相应的解析式,利用 最值,得到 ,

时解析式,利用

两者结合即可求得函数式; (Ⅱ)中考察

的范围,并由此得到单

调性,确定自变量值与函数最值的对应关系,即关于 a,b 的方程求解 试题解析: (Ⅰ)设 由 所以 (Ⅱ)存在满足条件的正数 a,b. 若 若 则 时, 不成立 若 时,因为 在 上是减函数,于是有 而当 时, 不成立. ,则

由于 故存在正数

,所以 使得命题成立.

考点:1.奇偶性求函数解析式;2.二次函数单调性与最值 【方法点睛】 (Ⅰ)中求当 时解析式,利用 转化到已知函数定义域范围内,代入相应 时有 ,

的解析式,再结合函数奇偶性得 最后写成分段函数形式; (Ⅱ)中由函数式 域中 的范围,由

,两者结合即可求得函数式,当

可得到函数的最大值,从而确定值

的范围得到的函数定义域取值范围,结合对称轴得到函数的单调性,确

定自变量值与函数最值的对应关系,即关于 a,b 的方程,解方程得到 a,b 值

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