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2014届高三数学一轮复习巩固与练习:双曲线

巩固 1.方程 ax +by =c 表示双曲线是 ab<0 的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 解析:选 A.方程 ax +by =c 表示双曲线,则 a,b 异号,反之若 a=1,b=-1,c= 0,则不能表示双曲线. 2.(原创题)若 k∈R,则“k>3”是“方程
2 2

x2

k-3 k+3



y2

=1 表示双曲线”的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.若方程表示双曲线,则(k-3)(k+3)>0, ∴k< -3 或 k>3, 故 k>3 是方程 表示双曲线的充分不必要条件.

x2 y2 3.(2009 年高考四川卷)已知双曲线 - 2=1(b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其 2 b 一条渐近线方程为 y=x,点 P( 3,y0)在该双曲线上,则?=( )
A.-12 B.-2 C.0 D.4 2 解析:选 C.∵渐近线方程为 y=x,∴b =2. 2 又 P( 3,y0)在双曲线上,∴y0 =1.又∵F1(-2,0),F2(2,0), ∴?=(-2- 3,-y0)?(2- 3,-y0) 2 =3-4+y0 =0. 4.(2010 年皖南八校联考)两个正数 a,b 的等差中项是 5,等比中项是 4.若 a>b, 则双曲线 - =1 的渐近线方程是________. 解析:由已知得?
?a+b=10 ? ? ?ab=16

x2 y2 a b

??

?a=8 ? ? ?b=2

(a>b).

故双曲线的渐近线方程为 y=±

b 1 x=± x. a 2

1 答案:y=± x 2 2 2 5.已知圆 C:x +y -6x-4y+8=0.以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦 点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为________. 解析:令 y=0 得 x=2 或 x=4,符合条件的双曲线 a=2,c=4, 2 2 2 ∴b =c -a =16-4=12 且焦点在 x 轴上. ∴双曲线方程为: - =1. 4 12 答案: - =1 4 12 4 2 2 6.已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,并且焦点都在圆 x +y =100 上,求双曲线 3 方程. 解:(1)当焦点在 x 轴上时,设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). 4 b 4 由渐近线方程 y=± x 得 = .① 3 a 3

x2

y2

x2

y2

x2 y2 a b

又焦点在圆 x +y =100 上,知 c=10,即 a +b =100.② 由①②解得 a=6,b=8. ∴所求双曲线方程为 - =1. 36 64

2

2

2

2

x2

y2

?a +b =100, ? y x (2)当焦点在 y 轴上时,设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则?a 4 a b ?b=3, ?
2 2

2

2

??

? ?a=8, ? ?b=6.

∴所求双曲线方程为 - =1. 64 36 综上,所求双曲线方程为 - =1 或 - =1. 36 64 64 36 练习

y2

x2 x2

y2

y2

x2

1. (2009 年高考 全国卷Ⅱ)双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-3) +y =r (r>0)相切, 6 3 则 r=( ) A. 3 B.2 C.3 D.6 2 x y2 2 解析:选 A.∵双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x, 6 3 2
[来源:学,科,网]

x2 y2

2

2

2

则圆心(3,0)到 2y+x=0 的距离为 r, 3 ∴r= = 3.故选 A. 3 2. (2009 年高考江西卷)设 F1 和 F2 为双曲线 2- 2=1(a>0, >0)的两个焦点, F1 、 b 若

x2 y2 a b

F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为(
3 2 5 C. 2 A. B.2 D.3

)

2b c 解析:选 B.由 = 3,令 b= 3,得 c=2,∴a=1,∴e= =2.

c

a

[来源:学科网]

3.设 P 是双曲线 2- 2=1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1、F2 2 b 分别是双曲线的左、右焦点 .若|PF1|=3,则|PF2|等于( ) A.1 或 5 B.6 C.7 D.9 3 解析:选 C.由渐近线方程 y= x,且 a=2,得 b=3. 2 ∵|PF1|=3<2a=4,∴P 点在双曲线左支上. 据定义有|PF2|-|PF1|=4, ∴|PF2|=7. 5 4.设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 13

x

2

y

2

的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( A. 2- 2=1 4 3 C. 2- 2=1 3 4

)

x

2

y

2

B. 2- 2=1 13 5 D. 2- 2=1 13 12 ,得?
?a=13, ? ? ?c=5,

x

2

y

2

x2 y2

x2

y2

?2a=26, ? 解析:选 A.在椭圆 C1 中,由?c 5 ?a=13 ?

椭圆 C1 的焦点为 F1(-5,0),F2(5,0), 曲线 C2 是以 F1、F2 为焦点,实轴长为 8 的双曲线, 故 C2 的标准方程为: 2- 2=1,故选 A. 4 3 5.已知双曲线的两个焦点分别为 F1(- 5,0),F2( 5,0),P 是双曲线上的一点, 且 PF1⊥PF2,|PF1||PF2|=2,则双曲线方程是( ) A. - =1 2 3

x2 y2

x2 y2 x2

B. - =1 3 2
2

x2 y2

C. -y =1 D.x - =1 4 4 2 2 2 2 解析:选 C.∵PF1⊥PF2,∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,即(|PF1|-|PF2|) +2|PF1||PF2| 2 =|F1F2| , 又||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|=2c=2 5,|PF1|?|PF2|=2, 2 2 2 ∴(2a) +2?2=(2 5) ,解得 a =4, 又 c =5,∴b =1,∴双曲线方程为 -y =1. 4
2 2

2

y2

x2

2

y2 6.过双曲线 M:x - 2=1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条渐 b 近线分别相交于点 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是( )
2
[来源:学.科.网]

A. 10 10 C. 3

B. 5 5 D. 2
?y=x+1 ? ? ?y=bx

解析:选 A.据题意可设 lAB:y=x+1,lOC:y=bx,lOB:y=-bx,由? 得 C 点纵坐标为



b b b b ,B 点纵坐标为 ,因为|AB|=|BC|,所以 =2 ,解得 b= b-1 1+b b-1 b+1

3,所以 e= = 10. 7.已知圆 C:x +y -6x-4y+8=0.以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦 点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为________. 答案: - =1 4 12
2 2

c a

x2

y2

8.(2009 年高考湖南卷)过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x +y

x2 y2 a b

2

2

=a 的两条切线,切点分别为 A、B.若∠AOB=120°( O 是坐标原点),则双曲线 C 的离心率 为________. 解析: 如图, 由题知 OA⊥AF, ⊥BF 且∠AOB=120°, OB ∴∠AOF=60°,又 OA=a, a OA 1 c OF=c,∴ = =cos 60°= ,∴ =2. c OF 2 a 答案:2 9.设双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F. 9 16 过点 F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为________. 2 2 解析:a =9,b =16,故 c=5, 4 ∴A(3,0),F(5,0),不妨设 BF 的方程为 y= (x-5), 3 17 32 代入双曲线方程解得 B( ,- ). 5 15 1 1 32 32 ∴S△AFB= |AF|?|yB|= ?2? = . 2 2 15 15 32 答案: 15 10.已知双曲线的一条渐近线方程是 x-2y=0,且过点 P(4,3),求双曲线的标准方 程. 解:法一:∵双曲线的一条渐近线方程为 x-2y=0, 当 x=4 时,y=2<yP=3. a 1 ∴双曲线的焦点在 y 轴上.从而有 = ,∴b=2a. b 2
[来源:学.科.网]

2

x2

y2

y2 x2 设双曲线方程为 2- 2=1, a 4a 由于点 P(4,3)在此双曲线上,
9 16 2 ∴ 2- 2=1,解得 a =5. a 4a ∴双曲线方程为 - =1. 5 20 法二:∵双曲线的一条渐近线方程为 x-2y=0, 即 -y=0, 2 ∴双曲线的渐近线方程为 -y =0. 4 设双曲线方程为 -y =λ (λ ≠0), 4 ∵双曲线过点 P(4,3), 2 4 2 ∴ -3 =λ ,即 λ =-5. 4 ∴所求双曲线方程为 -y =-5, 4 即 - =1. 5 20

y2

x2

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

x

x2

2

x2

2

x2

2

y2

x2

11.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, π F1, 2 分别为左、 F 右焦点, 双曲线的左支上有一点 P, F1PF2= , ∠ 3 且△PF1F2 的面积为 2 3,又双曲线的离心率为 2,求该双曲线的 方程.

x2 y2 解:设双曲线方程为: 2- 2=1(a>0,b>0), a b F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0). 在△PF1F2 中,由余弦定理,得:
π 2 2 2 |F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1|?|PF2|?cos 3 2 =(|PF1|-|PF2|) +|PF1|?|PF 2|. 2 2 即 4c =4a +|PF1|?|PF2|. 又∵S△PF1F2=2 3. 1 π ∴ |PF1|?|PF2|?sin =2 3. 2 3 2 2 2 ∴|PF1|?|PF2|=8.∴4c =4a +8,即 b =2. c 2 2 又∵e= =2,∴a = . a 3 2 2 3x y ∴双曲线的方程为: - =1. 2 2

12. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂 直平分线过点 A(0,-1),求实数 m 的取值范围. 解:(1)设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). 由已知得 a= 3,c=2. 2 2 2 2 又 a +b =c ,得 b =1. 故双曲线 C 的方程为 -y =1. 3

x2 y2 a b

x2

2

?y=kx+m ? (2)联立?x2 2 ? 3 -y =1 ?
2 2 2

整理得

(1-3k )x -6kmx-3m -3=0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点, 2 ? ?1-3k ≠0 ∴? , 2 2 ?Δ =12(m +1-3k )>0 ? 1 2 2 2 可得 m >3k -1 且 k ≠ ① 3 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 B(x0,y0). 6km x1+x2 3km 则 x1+x2= = 2,x0= 2, 1-3k 2 1-3k

y 0=kx0+m=

m

1-3k 由题意,AB⊥MN,

2

.

2+1 1-3k 1 ∵kAB= =- ( k≠0,m≠0). 3km k 2 1-3k 2 整理得 3k =4m+1② 2 将②代入①,得 m -4m>0,∴m<0 或 m>4. 1 2 又 3k =4m+1>0(k≠0),即 m>- 4 1 ∴m 的取值范围是(- ,0)∪(4,+∞). 4

m


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