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8.2013年全国高中数学联赛模拟卷(四)(一试+二试


2012 年全国高中数学联赛模拟卷(四)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
1.各项均为实数的等比数列{an},前 n 项之和记为 S n . 若 S 10 ? 10 , S 30 ? 70 , 则 S 60 ? 630
2


2 x? x
2

2.关于 x 的方程 2 co s ( 2 解:设 2
2 x? x
2

)? a?

3 sin ( 2

2 x ? x ?1

2

) 至少有一个解,则实数 a 的范围是_______。

? t , 则 2 cos t ? a ?
2

3 sin 2 t , 即 3 sin 2 t ? cos 2 t ? 1 ? a ,得

co s( 2 t ?

?
3
2

)?

a ?1 2

,
2

而t ? 2 由 ?1 ?

2 x? x

? 2
?

1 ? ( x ? 1)

? (0, 2 ] ,有 2 t ?

?
3

?(

? ?
, 3 3

? 4 ] , 从而 co s( 2 t ?

?
3

) ? [ ? 1,

1 2

),

a ?1 2

1 2

, 得 ?1 ? a ? 2 .

3.已知正四棱锥 P-ABCD 的五个顶点在同一个球面上. 若该四棱锥的体积为 V,则球的表面积 的最小值为_____________.
9?
3

9V 4

2

4.已知 A ? { x x ? 4 x ? 3 ? 0, x ? R } , B ? { x 2
2

1? x

? a ? 0, x ? 2 ( a ? 7 ) x ? 5 ? 0, x ? R } .若
2

A ? B ,则实数 a 的取值范围是

.
1? x

解 : 可 得 A ? { x 1 ? x ? 3} , 设 f ( x ) ? 2

? a , g ( x ) ? x ? 2( a ? 7 ) x ? 5 要 使 A ? B , 只 需
2

f ( x ) , g ( x ) 在(1,3)上的图像均在 x 轴的下方, 则 f (1) ? 0 , f (3) ? 0 , g (1) ? 0 , g (3) ? 0 ,

由此可解得 ? 4 ? a ? ? 1 . 5.一个盒中有 9 个正品和 3 个废品,每次取一个产品,取出后不在放回,在取得正品前已取出的 废品数 ? 的数学期望 E ? =_________________. 解析:? 取值为 0,1,2,3,且有 P (? ? 0 ) ?
P (? ? 3 ) ? A3 C 9 A
4 12 3 1

C9 C

1

1 12

?

3 4

, P ( ? ? 1) ?
9 44 ? 2?

C 3C 9 A
2 12

1

1

?

9 44

,P (? ? 2 ) ?
? 0 .3 .

A3 C 9 A
3 12

2

1

?

9 220



?

1 220

. ? E? ? 0 ?
2 2 2

3 4

? 1?

9 220

? 3?

1 220

13 ,则 ( x ? y ? z ) m in ? 4 解析:? x , y , z 均为非负实数,? 2 xy ? 2 yz ? 2 zx ? 2 x ? y ? 0 , 6.若非负实数 x , y , z 满足 x ? y ? z ? x ? 2 y ? 3 z ?
? x ? y ? z ? x ? 2 y ? 3 z ? 2 xy ? 2 yz ? 2 zx ? 2 x ? y ?
2 2 2

.

13 4


22

? ( x ? y ? z ) ? 3( x ? y ? z ) ?
2

13 4

? 0 ,? x ? y ? z ?

?3 ? 2

或x ? y ? z ?

?3 ? 2

22

(舍)

2012 模拟卷(四)

第 1 页 共 4页

所以, ( x ? y ? z ) m in ?
2

?3 ? 2

22

,只需 x ? y ? 0, z ?
2

?3 ? 2
n

22

取等. .

7.正整数 n 使得 n ? 2005 是完全平方数, 则 ( n ? 2 0 0 5) 的个位数字是 解:设 n ? 2 0 0 5 ? m ( m ? 0 ) ,则 ( m ? n )( m ? n ) ? 2005 ? 1 ? 2005 ? 5 ? 401 , 得
2 2

?m ? n ? 1 ?m ? n ? 5 ?m ? 1003 ?m ? 203 或? ,解得 ? 或? , ? ?m ? n ? 2005 ?m ? n ? 401 ?n ? 1002 ?n ? 198

由1 0 0 3

1002

? 1003

4? 250 ? 2

,知它的个位数字是 9, 由 2 0 3

198

? 203

4? 4 9 ? 2

,知它的个位数字也是 9.
3 3 4

8. 在平面直角坐标系内, 将适合 x<y, |x|<3, |y|<3, 且使关于 t 的方程 ( x ? y ) t ? (3 x ? y ) t ?
2

=0 没有实数根的点 ( x , y ) 所成的集合记为 N,则由点集 N 所成区域的面积为 解析:令 u ? t ,原方程化为 ( x ? y ) u ? (3 x ? y ) u ?
2

1 x-y _______.

3

3

2

1 x? y
2

? 0.



? ? (3 x ? y ) ? 4 ( x ? y ) ?
2 3 3

1 x? y

? 5 x ? 2 xy ? 3 y ? (5 x ? 3 y )( x ? y ).
2

所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根,所以,
? x ? y, ? x ? y, ? x ? 3, ? ? ? ? x ? 3, 或 ? y ? 3, ? ? ? y ? 3, (5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0, ? ? (5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0 ? ?3 x ? y ? 0. ?

点集 N 所成区域为图中阴影部分,其面积为
S ? S ?ABO ? S ?BCO ? 1 2 ? 24 5 ?3? 1 2 ?6?3 ? 81 5 .

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分)
5 9.已知定义在 R 上的函数 f (x)满足:f (1)= ,且对于任意实数 x、 y ,总有 2 f ( x ) f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) 成立. (1)若数列 { a n } 满足 a n ? 2 f ( n ? 1) ? f ( n )( n ? 1, 2, 3, ? ) ,求数列 { a n } 的通项公式 (2)若对于任意非零实数 y ,总有 f ( y ) ? 2 . 设有理数 x1 , x 2 满足 | x1 |? | x 2 | ,判断 f ( x1 ) 和
f ( x 2 ) 的大小关系,并证明你的结论.

解:(1)令 x ? 1, y ? 0 ,? f ? 1 ? ? f ? 0 ? ? f ? 1 ? ? f ? 1 ? ,又? f (1) ?

,? f ? 0 ? ? 2 . 2 令 x ? 0 ,得 f (0) f ( y ) ? f ( y ) ? f ( ? y ) ,即 2 f ( y ) ? f ( y ) ? f ( ? y ) ? f ( y ) ? f ( ? y ) 对任意 的实数 y 总成立, ? f ? x ? 为偶函数.令 x ? y ? 1 ,得 f ? 1 ? f ? 1 ? ? f ? 2 ? ? f ? 0 ? ,
?

5

25 4

? f ( 2 ) ? 2 ,? f ( 2 ) ?

17 4

. ? a1 ? 2 f (2 ) ? f (1) ?

17 2

?

5 2

? 6.

令 x ? n ? 1, y ? 1 ,得 f ( n ? 1) f (1) ? f ( n ? 2) ? f ( n ) ,? f ( n ? 2 ) ?

5 2

f ( n ? 1) ? f ( n ) .

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? a n ?1 ? 2 f

?n ? 2? ?

f

? n ? 1? ?

2

?5 f ?2 ?

? n ? 1? ?

f

? n ?? ?
?

?

f

? n ? 1? ?

4f

? n ? 1? ? 2 f ? n ?

? 2[2 f ( n ? 1) ? f ( n )] ? 2 a n

( n … 1).

? { a n } 是以 6 为首项,以 2 为公比的等比数列.

∴ a n ? 6 ? 2 n ?1 .

(2)结论: f ( x1 ) ? f ( x 2 ) .

证明:∵ y ? 0 时, f ( y ) ? 2 ,

∴ f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ) ? 2 f ( x ) ,即 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ? y ) . ∴令 x ? ky ( k ? N + ) ,故 ? k ? N + ,总有 f [( k ? 1) y ] ? f ( ky ) ? f ( ky ) ? f [( k ? 1) y ] 成立. 则 f [( k ? 1) y ] ? f ( ky ) ? f ( ky ) ? f [( k ? 1) y ] ? f [( k ? 1) y ] ? f [( k ? 2) y ] ? ? ? f ( y ) ? f (0) ? 0 . ∴对于 k ? N + ,总有 f [( k ? 1) y ] ? f ( ky ) 成立.
+ ∴对于 m , n ? N ,若 n ? m ,则有 f ( n y ) ? f ? ? n ? 1 ? y ? ? ? ? f ( m y ) 成立. ? ?

∵ x1 , x 2 ? Q ,所以可设 | x1 |? 则 | x1 | ?
q1 p 2 p1 p 2 , | x 2 |? p1 q 2 p1 p 2

q1 p1

, | x 2 |?
1 p1 p 2

q2 p2

,其中 q 1 , q 2 是非负整数, p1 , p 2 都是正整数,
+

,令 y ?

, t ? q1 p 2 , s ? p1 q 2 ,则 t , s ? N .

∵ | x1 |? | x 2 | ,∴ t ? s ,∴ f ( ty ) ? f ( sy ) ,即 f (| x1 |) ? f (| x 2 |) . ∵函数 f ( x ) 为偶函数,∴ f (| x1 |) ? f ( x1 ), f (| x 2 |) ? f ( x 2 ) .∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) .
n 10.对 n ? N *, ? 2 ,令 S n ?

?
n

n

k ?k ?k
2 4

k ?1 1

, Tn ?
k

?
k ?2

n

k ?1 k ?1
3

3

,试求 S n ? T n 的表达式.

解: S n ?
?

? 1? k
k ?1

n

k
2

?k

4

?

?

k ?1

( k ? k ? 1)( k ? k ? 1)
2 2
2

?

n

k ?1

n ?n 1? 1 1 1? 1 1 ? ? ? 2 ? 2 , ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 2 ( n ? n ? 1) 2 ? k ? k ?1 k ? k ?1? 2 ?1 ?1?1 n ? n ?1?

Tn ?
?

?

n

k ?1
3

k ?2

k ?1
3

?
2 2

?

n

( k ? 1)( k ? k ? 1)
2

k ?2

( k ? 1)( k ? k ? 1)
2

?

?

n

k ?1 k ?1

k ?2

??

n

k ? k ?1
2 2

k ?2

( k ? 1) ? ( k ? 1) ? 1
n ?n
2

1? 2 n ? ( n ? 1)

?

n ? n ?1 1 ?1?1

?

2 ( n ? n ? 1)
2

3 n ( n ? 1)

故 S nTn ?

2 ( n ? n ? 1)
2

?

2 ( n ? n ? 1)
2

3 n ( n ? 1)

?

1 3

.

x2 11.如图, 设 P 为双曲线 -y2=1 上第一象限内的任一点, F1, F2 为左右焦点, 3 y → → → → 直线 PF1, PF2 分别交双曲线于 M, N. 若PF1=λ1F1M (λ1≠?1), PF2=λ2F2N. 求 λ1+λ2 的值及直线 MN 的斜率 KMN 的取值范围. M 解: 设 p(x0, y0), 因 OF 1 ? OP ? ? 1 ( OM ? OF 1 ) , 所以
OM ? 1 ? ?1

P

?1

OF 1 ?

1

?1

OP ? ( ?

2 ? 2 ?1 ? x 0

?1

,?

y0

?1

) , 同理 ON ? (

O F1 2 ? 2?2 ? x0

?2

,?

F2 y0

x
),

? ( 2 ? 2 ?1 ? x 0 ) 2 ? 3 y 0 2 ? 3?1 2 ? 将 M、N 坐标代入双曲线得: ? 2 2 2 ?( 2 ? 2 ? 2 ? x 0 ) ? 3 y 0 ? 3? 2 ?

?2 N

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? 4 (1 ? ? 1 ) 2 ? 4 x 0 (1 ? ? 1 ) ? 3 ? 1 2 ? 3 ? 即? 2 2 ? 4 (1 ? ? 2 ) ? 4 x 0 (1 ? ? 2 ) ? 3 ? 2 ? 3 ?

(1) (2)
2

消去 x0 得:
2

4 (1 ? ? 1 ) (1 ? ? 2 ) ? 4 (1 ? ? 1 )( 1 ? ? 2 )
2

2

? 3 ( ? 1 ? 1)( 1 ? ? 2 ) ? 3 ( ? 2 ? 1)( 1 ? ? 1 )



4 (1 ? ? 1 )( 1 ? ? 2 )( ? 1 ? ? 2 ? 2 ) ? 3 (1 ? ? 1 )( 1 ? ? 2 )( ? 1 ? ? 2 ? 2 )

,



(1 ? ? 1 )( 1 ? ? 2 ) ? 0
所以, 4 ( ? 1 ? ? 2 ? 2 ) ? 3 ( ? 1 ? ? 2 ? 2 ) , 解得 ? 1 ? ? 2 ? ? 14 . 将(1)-(2)得: 4 ( ? 1 ? ? 2 )( ? 1 ? ? 2 ? 2 ) ? 4 x 0 ( ? 1 ? ? 2 ? 2 ) ? 3 ( ? 1 ? ? 2 )( ? 1 ? ? 2 ) 将 ? 1 ? ? 2 ? ? 14 代入得: ? 1 ? ? 2 ? ? 8 x 0 与 ? 1 ? ? 2 ? ? 14 联立解得:
??1 ? ? 4 x 0 ? 7 y 0 (? 2 ? ?1 ) x0 y0 ? 代入 K MN ? , ? 2 2 (? 2 ? ?1 ) ? 4 ? 2 ?1 ? x 0 (? 2 ? ?1 ) 21 ? 7 x 0 ?? 2 ? 4 x0 ? 7 由 x02-3y02=3 得
K MN ? x0 y0 21 ? 7 x 0
2

?

x0 y0 7 (3 ? x 0 )
2

? ?

1 21

?

x0 y0 y0
2

? ?

1 21

?

x0 y0

? ?

1 21

3?

3 y0
2

? ?

3 21

即斜率 KMN 的取值范围是( ? ? ,?

3 21

).

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