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武陟县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

武陟县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 某几何体的三视图如下(其中三视图中两条虚线互相垂直)则该几何体的体积为( )

姓名__________

分数__________

8 A. 3 16 C. 3 2. 有下列说法:

B.4 20 D. 3 型比较合适. 小的模型,拟合

①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模 ②相关指数 R 来刻画回归的效果,R 值越小,说明模型的拟合效果越好. ③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越 效果越好. 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3
2 2

3. 如图所示是一个几何体的三视图,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的表面积是(



A.

B.

C.

+

D.

+

+1 )

4. 极坐标系中,点 P,Q 分别是曲线 C1:ρ=1 与曲线 C2:ρ=2 上任意两点,则|PQ|的最小值为( A.1 B. C. D.2
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5. 命题“设 a、b、c∈R,若 ac2>bc2 则 a>b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 )



6. 函数 f(x)=cos2x﹣cos4x 的最大值和最小正周期分别为( A. ,π ( ) B. , C . ,π D. ,

7. 棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

A.

B.18

C.

D. )

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 8. 已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 的取值范围是( x ?x ? y ? 7 ? 0 ?
A. [ , 6]

9 5

B. (??, ] [6, ??)

9 5

C. (??,3] [6, ??)

D. [3, 6]

? y ? x, ? 9. 设 m ? 1 ,在约束条件 ? y ? mx, 下,目标函数 z ? x ? my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围为( ? x ? y ? 1. ?
A. (1,1 ? 2)



B. (1 ? 2, ??) C. (1,3) D. (3, ??) x2 y2 10.双曲线 E 与椭圆 C: + =1 有相同焦点,且以 E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积 9 3 为π,则 E 的方程为( x2 y2 A. - =1 3 3 x2 C. -y2=1 5 A.若 x?A,则 y?A ) x2 y2 B. - =1 4 2 x2 y2 D. - =1 2 4 ) D.若 y∈A,则 x?A B.若 y?A,则 x∈A C.若 x?A,则 y∈A

11.与命题“若 x∈A,则 y?A”等价的命题是( 12.给出下列两个结论:

①若命题 p:?x0∈R,x02+x0+1<0,则¬p:?x∈R,x2+x+1≥0;

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②命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实数根”的逆否命题为:“若方程 x2+x﹣m=0 没有实数根,则 m≤0”; 则判断正确的是( A.①对②错 ) B.①错②对 C.①②都对 . D.①②都错

二、填空题
13.在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为 ①函数 y=2x3+3x﹣1 的图象关于点(0,1)成中心对称; ②对?x,y∈R.若 x+y≠0,则 x≠1 或 y≠﹣1; ③若实数 x,y 满足 x2+y2=1,则 的最大值为 ;

④若△ ABC 为锐角三角形,则 sinA<cosB. ⑤在△ ABC 中,BC=5,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心,且 14.已知 =1﹣bi,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则|a﹣bi|= ? =5,则△ ABC 的形状是直角三角形. .

15.若 a,b 是函数 f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且 a,b,﹣2 这三个数可适当排序后 成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于 16.已知| |=1,| |=2, 与 的夹角为 ,那么| + || ﹣ |= . .

17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 y= 与直线 x=1 及 x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥, 圆锥的体积 V 圆锥=
2

π( )2dx=

x3| =



据此类推:将曲线 y=x 与直线 y=4 所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积 V= .

18.在 ?ABC 中,已知角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? b cos C ? c sin B ,则角 B 为 .

三、解答题

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19.已知函数 f(x)=cos(ω x+ ;

),(ω >0,0<φ <π ),其中 x∈R 且图象相邻两对称轴之间的距离为

(1)求 f(x)的对称轴方程和单调递增区间; (2)求 f(x)的最大值、最小值,并指出 f(x)取得最大值、最小值时所对应的 x 的集合.

20.已知椭圆 (Ⅰ)求该椭圆的离心率;

,过其右焦点 F 且垂直于 x 轴的弦 MN 的长度为 b.

2 2 (Ⅱ)已知点 A 的坐标为(0,b),椭圆上存在点 P,Q,使得圆 x +y =4 内切于△ APQ,求该椭圆的方程.

21.为配合国庆黄金周,促进旅游经济的发展,某火车站在调查中发现:开始售票前,已有 a 人在排队等候购 票.开始售票后,排队的人数平均每分钟增加 b 人.假设每个窗口的售票速度为 c 人/min,且当开放 2 个窗口 时,25min 后恰好不会出现排队现象(即排队的人刚好购完);若同时开放 3 个窗口,则 15min 后恰好不会出 现排队现象.若要求售票 10min 后不会出现排队现象,则至少需要同时开几个窗口?

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22.如图,过抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点 F 的直线交 C 于 M(x1,y1),N(x2,y2)两点,且 x1x2=﹣ 4. (Ⅰ)p 的值; (Ⅱ)R,Q 是 C 上的两动点,R,Q 的纵坐标之和为 1,RQ 的垂直平分线交 y 轴于点 T,求△ MNT 的面积 的最小值.

23.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率 之积等于﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

24.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? ln x ( a, b ? R ).
2

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?1 ? ? ? (2)当 a ? 0 时,是否存在实数 b ,当 x ? ? 0,e? ( e 是自然常数)时,函数 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求
(1)当 a ? ?1, b ? 3 时,求函数 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2 出 b 的值;若不存在,说明理由;

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武陟县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 【解析】选 D.根据三视图可知,该几何体是一个棱长为 2 的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点,上底面 1 20 为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图,其体积 V=23- ×2×2×1= ,故选 D. 3 3 2. 【答案】C 【解析】解:①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适,正确. ②相关指数 R2 来刻画回归的效果,R2 值越大,说明模型的拟合效果越好,因此②不正确. ③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好,正确. 综上可知:其中正确命题的是①③. 故选:C. 【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义,考查了理解能力和推理能力,属于中档题.

3. 【答案】D 【解析】解:由三视图可知:该几何体是如图所示的三棱锥, 其中侧面 PAC⊥面 ABC,△PAC 是边长为 2 的正三角形,△ABC 是边 AC=2, 边 AC 上的高 OB=1,PO= 为底面上的高. ×2+ ×2×1+2× × × = +1+ .

于是此几何体的表面积 S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB= × 故选:D

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状. 4. 【答案】A 【解析】解:极坐标系中,点 P,Q 分别是曲线 C1:ρ=1 与曲线 C2:ρ=2 上任意两点,

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可知两条曲线是同心圆,如图,|PQ|的最小值为:1. 故选:A.

【点评】本题考查极坐标方程的应用,两点距离的求法,基本知识的考查. 5. 【答案】C 【解析】解:命题“设 a、b、c∈R,若 ac2>bc2,则 c2>0,则 a>b”为真命题; 故其逆否命题也为真命题; 其逆命题为“设 a、b、c∈R,若 a>b,则 ac2>bc2”在 c=0 时不成立,故为假命题 故其否命题也为假命题 故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 2 个 故选 C 【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断,不等式的基本性质,其中熟练掌握互为逆否的两个命题真 假性相同,是解答的关键. 6. 【答案】B
2 4 2 2 2 2 2 【解析】解:y=cos x﹣cos x=cos x(1﹣cos x)=cos x?sin x= sin 2x=



故它的周期为 故选:B. 7. 【答案】D

=

,最大值为 = .

【解析】解:由三视图可知正方体边长为 2,截去部分为三棱锥,作出几何体的直观图如图所示:

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2 故该几何体的表面积为:3×2 +3×(

)+

=



故选:D. 8. 【答案】A 【解析】

B(1, 6) , 试题分析: 作出可行域, 如图 ?ABC 内部 (含边界) , 表示点 ( x, y ) 与原点连线的斜率, 易得 A( , ) ,

y x

5 9 2 2

kOA

9 6 9 y 9 ? 2 ? , kOB ? ? 6 ,所以 ? ? 6 .故选 A. 5 5 1 5 x 2

考点:简单的线性规划的非线性应用. 9. 【答案】A

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【解析】

考点:线性规划. 【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目,采用线性规划的知识进行求解;关键是弄清楚的几何意 义直线 z ? x ? my 截距为

z ,作 L : x ? my ? 0 , 向可行域内平移 ,越向上 ,则的值越大 ,从而可得当直线直线 m ? x0 ? y 0 ? 1 ? z ? x ? my 过点 A 时取最大值,? y 0 ? m x0 可求得点 A 的坐标可求的最大值,然后由 z ? 2, 解不等式可求 m

的范围.

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10.【答案】 x2 y2 【解析】选 C.可设双曲线 E 的方程为 2- 2=1, a b b 渐近线方程为 y=± x,即 bx± ay=0, a 由题意得 E 的一个焦点坐标为( 6,0),圆的半径为 1, ∴焦点到渐近线的距离为 1.即 | 6b| b2+a2 =1,

又 a2+b2=6,∴b=1,a= 5, x2 ∴E 的方程为 -y2=1,故选 C. 5 11.【答案】D 【解析】解:由命题和其逆否命题等价,所以根据原命题写出其逆否命题即可. 与命题“若 x∈A,则 y?A”等价的命题是若 y∈A,则 x?A. 故选 D. 12.【答案】C 【解析】解:①命题 p 是一个特称命题,它的否定是全称命题,¬p 是全称命题,所以①正确. ②根据逆否命题的定义可知②正确. 故选 C. 【点评】考查特称命题,全称命题,和逆否命题的概念.

二、填空题
13.【答案】 :①②③
3 【解析】解:对于①函数 y=2x ﹣3x+1=的图象关于点(0,1)成中心对称,假设点(x0,y0)在函数图象上,

则其关于①点(0,1)的对称点为(﹣x0,2﹣y0)也满足函数的解析式,则①正确; 对于②对?x,y∈R,若 x+y≠0,对应的是直线 y=﹣x 以外的点,则 x≠1,或 y≠﹣1,②正确;
2 2 对于③若实数 x,y 满足 x +y =1,则

=

2 2 ,可以看作是圆 x +y =1 上的点与点(﹣2,0)连线

的斜率,其最大值为

,③正确;

对于④若△ ABC 为锐角三角形,则 A,B,π﹣A﹣B 都是锐角, 即 π﹣A﹣B< 则 cosB<cos( ,即 A+B> ﹣A), ,B> ﹣A,

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即 cosB<sinA,故④不正确. 对于⑤在△ ABC 中,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心, 取 BC 的中点为 D,连接 AD、OD、GD,如图:则 OD⊥BC,GD= AD, ∵ 由 则 即 则 又 BC=5 则有 由余弦定理可得 cosC<0, 即有 C 为钝角. 则三角形 ABC 为钝角三角形;⑤不正确. 故答案为:①②③ 14.【答案】 . , = |,

【解析】解:∵ ∴

=1﹣bi,∴a=(1+i)(1﹣bi)=1+b+(1﹣b)i,

,解得 b=1,a=2. .

∴|a﹣bi|=|2﹣i|= 故答案为: .

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了计算能力,属于基础题. 15.【答案】 9 .

【解析】解:由题意可得:a+b=p,ab=q, ∵p>0,q>0, 可得 a>0,b>0, 又 a,b,﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列, 可得 ①或 ②.

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解①得:

;解②得:



∴p=a+b=5,q=1×4=4, 则 p+q=9. 故答案为:9. 16.【答案】 .

【解析】解:∵| |=1,| |=2, 与 的夹角为 ∴ = =1× =1.



∴| + || ﹣ |= 故答案为: .

=

=

=



【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 17.【答案】 8π .

【解析】解:由题意旋转体的体积 V= 故答案为:8π.
2

=

=8π,

【点评】本题给出曲线 y=x 与直线 y=4 所围成的平面图形,求该图形绕 xy 轴转一周得到旋转体的体积.着重 考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识,属于基础题. 18.【答案】 【

? 4
解 析 】

考 点:正弦定理. 【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理,将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式,再利用

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三角形的三角和是 180 ? ,消去多余的变量,从而解出 B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加,以考查三 角函数的图象和性质,以及三角形中的正余弦定理为主,在 2016 年全国卷( 现. )中以选择题的压轴题出

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)函数 f(x)=cos(ω x+ ∴ω =2,f(x)=cos(2x+ 令 2x+ =kπ ,求得 x= ). ﹣ ,可得对称轴方程为 x= ≤x≤kπ ﹣ , ﹣ ,k∈Z. )的图象的两对称轴之间的距离为 = ,

令 2kπ ﹣π ≤2x+

≤2kπ ,求得 kπ ﹣

可得函数的增区间为,k∈Z. (2)当 2x+ 当 2x+ =2kπ ,即 x=kπ ﹣ =2kπ +π ,即 x=kπ + ,k∈Z 时,f(x)取得最大值为 1. ,k∈Z 时,f(x)取得最小值为﹣1. ,k∈Z}; ,k∈Z}.

∴f(x)取最大值时相应的 x 集合为{x|x=kπ ﹣ f(x)取最小值时相应的 x 集合为{x|x=kπ + 20.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)设 F(c,0),M(c,y1),N(c,y2), 则 ,得 y1=﹣ ,y2= ,

MN=|y1﹣y2|=

=b,得 a=2b, = = .

椭圆的离心率为:

(Ⅱ)由条件,直线 AP、AQ 斜率必然存在,
2 2 设过点 A 且与圆 x +y =4 相切的直线方程为 y=kx+b,转化为一般方程 kx﹣y+b=0, 2 2 由于圆 x +y =4 内切于△APQ,所以 r=2=

,得 k=±

(b>2),

即切线 AP、AQ 关于 y 轴对称,则直线 PQ 平行于 x 轴, ∴yQ=yP=﹣2, 不妨设点 Q 在 y 轴左侧,可得 xQ=﹣xP=﹣2 ,

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则 ∴椭圆方程为:

= .

,解得 b=3,则 a=6,

【点评】本题考查了椭圆的离心率公式,点到直线方程的距离公式,内切圆的性质. 21.【答案】 【解析】解:设至少需要同时开 x 个窗口,则根据题意有, 由①②得,c=2b,a=75b,代入③得,75b+10b≤20bx, ∴x≥ , .

即至少同时开 5 个窗口才能满足要求. 22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由题意设 MN:y=kx+ , 由
2 2 ,消去 y 得,x ﹣2pkx﹣p =0(*)

由题设,x1,x2 是方程(*)的两实根,∴ (Ⅱ)设 R(x3,y3),Q(x4,y4),T(0,t), ∵T 在 RQ 的垂直平分线上,∴|TR|=|TQ|. 得 ∴ 而 y3≠y4,∴﹣4=y3+y4﹣2t. 又∵y3+y4=1,∴ 因此, 由(Ⅰ)得,x1+x2=4k,x1x2=﹣4, = 因此,当 k=0 时,S△MNT 有最小值 3. ,故 T(0, ). . ,又

,故 p=2;



,即 4(y3﹣y4)=(y3+y4﹣2t)(y4﹣y3).



【点评】 本题考查抛物线方程的求法, 考查了直线和圆锥曲线间的关系, 着重考查“舍而不求”的解题思想方法, 考查了计算能力,是中档题.

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23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)因为点 B 与 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为(1,﹣1). 设点 P 的坐标为(x,y)

2 2 化简得 x +3y =4(x≠±1). 2 2 故动点 P 轨迹方程为 x +3y =4(x≠±1)

(Ⅱ)解:若存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为(x0,y0) 则 因为 sin∠APB=sin∠MPN, 所以 所以 = .

2 2 即(3﹣x0) =|x0 ﹣1|,解得 2 2 因为 x0 +3y0 =4,所以

故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识,属于中档题. 24.【答案】



【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识,意在考查逻辑 思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力.

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(2)当 a ? 0 时, f ? x ? ? bx ? ln x .

假设存在实数 b ,使 g ? x ? ? bx ? ln x x ? ? 0, e ? 有最小值 3,

?

?

f ?( x) ? b ?

1 bx ? 1 ? .………7 分 x x 4 (舍去).………8 分 e

①当 b ? 0 时, f ( x ) 在 ? 0,e? 上单调递减, f ( x) min ? f ? e ? ? be ? 1 ? 3, b ? ②当 0 ?

1 ? 1? ?1 ? ? e 时, f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? , e ? 上单调递增, b ? b? ?b ? ?1? 2 ∴ f ( x) min ? g ? ? ? 1 ? ln b ? 3, b ? e ,满足条件.……………………………10 分 ?b? 1 4 ③当 ? e 时, f ( x ) 在 ? 0,e? 上单调递减, f ( x) min ? g ? e ? ? be ? 1 ? 3, b ? (舍去),………11 分 b e 2 综上,存在实数 b ? e ,使得当 x ? ? 0,e? 时,函数 f ( x ) 最小值是 3.……………………………12 分

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