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高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2_2_2对数函数及其性质课堂导学案新人教A版

2.2.2 对数函数及其性质 课堂导学 三点剖析 一、对数函数的概念、性质及其图象 【例 1】 分别求下列函数的定义域: (1)y= 1 ; loga (1 ? x) 2 (2)y= log1 1 ; 1 ? 3x 3 (3)y= 3 . logx (3 ? x) 2 ? ? x ? 1, ?(1 ? x) ? 0, 则得到 ? 2 ? ? x ? 1 ? ?1. ?(1 ? x) ? 1. 思路分析:求函数的定义域关键是找出自变量满足的各个约束条件,解不等式组. 解:(1)要使函数有意义,必须 loga(1-x) ≠0,即 ? 2 函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠1,x≠2,x≠0}. (2)要使函数有意义,则有 1 x x >0 ? 1-3 >0 ? 3 <1 ? x<0. x 1? 3 因此函数的定义域为(-∞,0). (3)要使函数有意义,则有 logx(3-x)>0 ? ? ? x ? 1, ?3 ? x ? 1, ①或 ? ?0 ? x ? 1, ② ?0 ? 3 ? x ? 1. 解①得 1<x<2,解②得 x∈ ? . 因此,函数的定义域为(1,2). 温馨提示 求函数的定义域一般地根据其解析式列出其约束条件,然后解不等式(组).分式中,分 母不为零;偶次根式被开方数大于或等于零;对数式中,真数大于零,底数大于 0 且不于 1 等. 【例 2】 比较下列各组数的大小. (1)loga +a+3π ,loga +a+3 3 ; (2)loga4.7,loga5.1(a>0 且 a≠1); (3)log34,log43; (4)log32,log50.2; (5)log20.4,log30.4; (6)3log45,2log23. 思路分析:观察各组数的特征,看其是否直接可以利用对数单调性比较大小. 解:(1)底数相同,且为 a +a+3=(a+ 2 2 2 1 2 11 2 2 ) + >1,根据单调递增性,得 loga +a+3π >loga +a+3 3 . 2 4 (2)底数相同,但大小不定,所以需对 a 进行讨论.当 a>1 时,loga4.7<loga5.1;当 0<a<1 时,loga4.7>loga5.1. (3)底数不同,但是 log34>log33=1,log43<log44=1,因此,log34>log43. (4)底数不同,但是 log32>log31=0,log50.2<log51=0,因此,有 log32>log50.2. (5)底数不同,但真数相同,此类问题有两种方法. 解法一:根据 y=logax 的图象在 a>1 时,a 越大,图象越靠近 x 轴,如图所示,知 log30.4>log20.4. 解 法 二 : 换 底 .log20.4= 1 1 ,log30.4= . 由 于 log0.43<log0.42<0, 因 此 log0.4 3 log0.4 2 log30.4= 1 1 > =log20.4. log0.4 3 log0.4 2 log2 5 3 = log25=log2 125 .2log23 log2 4 2 (6)利用换底公式化同底.3log45=3 =log29<log2 125 =3log45. 温馨提示 常见的对数比较大小有以下三种类型: (1)底数相同,可直接利用单调性比较; (2)底数不同,看是否可用插值法,如插入 1=logaa,0=loga1 进行间接比较; (3)底数不同,真数相同,则可用图象关系或进行换底后比较. 二、运算性质的应用 【例 3】 (1)作出 y=lg|x|的图象,并指出单调区间; (2)作出 y=|lgx|的图象,并指出单调区间. 解析:(1)∵f(-x) =lg|(-x)| =lg|x|=f(x), ∴f(x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称.先画出 x>0 时的图象,再利用其对称性完成整个 函数的图象. f(x)=lg|x|= ? x ? 0, ?lg x 如上图. ?lg(? x), x ? 0. ∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)当 lgx≥0,即 x≥1 时,y=lgx; 当 lgx<0,即 0<x<1 时,y=-lgx. 其图象如下图: 由图象可知其单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(0,1]. 三、对数函数的单调性 【例 4】 求函数 y= log1 (1-x )的单增区间. 2 2 思路分析:求复合函数单调区间时,必须首先考虑其定义域,单调区间必是定义域的子区间. 2 2 解:要使函数有意义,则有 1-x >0 ? x <1 ? |x|<1 ? -1<x<1. ∴函数的定义域为 x∈(-1,1). 2 令 t=1-x ,x∈(-1,1). 2 画出 t=1-x 在(-1,1)上的图象,图略. 在 x∈(-1,0)上,x↗,t↗,y= log1 t↘, 2 即在(-1,0)上,y 随 x 增大而减小,为减函数; 在[0,1]上,x↗,t↘,y= log1 t↗,即在[0,1]上,y 随 x 的增大而增大,为增函数. 2 ∴y= log1 (1-x )的增区间为[0,1). 2 2 温馨提示 1.求复合函数的单调区间一般有如下几个步骤:(1)首先求出函数的定义域.(2)研 究里层函数和外层函数在定义域上的单调性.(3)根据复合函数“同增异减”的原则,判断 出函数的增减性求出单调区间. 2.复合函数 y=f[g(x)]与里层函数μ =g(x)与外层函数 y=f(μ )单调性之间的关系(见 下表) 函数 Y=f(μ ) μ =g(x) y=f[g(x)] 增函数 增函数 增函数 2 单调性 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 【例 5】已知函数 f(x)=lg(x -2x+a),若函数 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围. 2 思路分析:f(

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