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无棣县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

无棣县第三中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=3, 个数为( A.0 B.1
2

姓名__________

分数__________
,A=60°,则满足条件的三角形

) C.2
2

D.以上都不对
2 2

2. 与圆 C1:x +y ﹣6x+4y+12=0,C2:x +y ﹣14x﹣2y+14=0 都相切的直线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 3. 如图所示的程序框图输出的结果是 S=14,则判断框内应填的条件是( )



A.i≥7?B.i>15?

C.i≥15?

D.i>31? ,则 的值是( )

4. 已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,且 A. B. C. D.0
2

5. 已知角 ? 的终边经过点 (sin15 , ? cos15 ) ,则 cos ? 的值为( A.

) C.

1 3 ? 2 4
B.y=﹣x+

B.

1 3 ? 2 4


3 4

D.0

6. 在定义域内既是奇函数又是减函数的是( A.y=

C.y=﹣x|x| D.y=
2 7. 独立性检验中, ≈0.01 假设 H0: 变量 X 与变量 Y 没有关系. 则在 H0 成立的情况下, 估算概率 P (K ≥6.635)

表示的意义是(



A.变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 1% B.变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99% C.变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 99%

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D.变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99.9% 8. 将 n2 个正整数 1、2、3、…、n2(n≥2)任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算某行或某列中 的任意两个数 a、b(a>b)的比值 ,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当 n=2 时,数表的所有 可能的“特征值”的最大值为( A. B. ) C.2 D.3

9. 若复数 z1 , z2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称,且 z1 ? 2 ? i ,则复数 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

z1 在复平面内对应的点在( z2



D.第四象限 )的图象

【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识,意在考查转化思想与计算能力. 10.若将函数 y=tan(ωx+ 重合,则 ω 的最小值为( A. A.0.1 B. B.0.2 C. C.0.4 )(ω>0)的图象向右平移 ) D. ) D.0.6 个单位长度后,与函数 y=tan(ωx+

11.已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2),P(0<X<4)=0.8,则 P(X>4)的值等于(

12.某工厂产生的废气经过过虑后排放,过虑过程中废气的污染物数量 P (单位:毫克/升)与时间 t (单位:
? kt k 10% 的污染物,为了消除 27.1% 小时)间的关系为 P ? P 0 , 均为正常数).如果前 5 个小时消除了 0e ( P

的污染物,则需要( A. 8 B. 10

)小时. C. 15 D. 18

【命题意图】本题考指数函数的简单应用,考查函数思想,方程思想的灵活运用,体现“数学是有用的”的新 课标的这一重要思想.

二、填空题
13.已知函数 f(x)=x3﹣ax2+3x 在 x∈[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围
2



14.已知 M 、N 为抛物线 y ? 4 x 上两个不同的点, F 为抛物线的焦点.若线段 MN 的中点的纵坐标为 2,

| MF | ? | NF |? 10 ,则直线 MN 的方程为_________. 15.已知三棱锥 D ? ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上, ?ABC 和 ?DBC 所在的平面互相垂直, AB ? 3 ,

AC ? 3 , BC ? CD ? BD ? 2 3 ,则球 O 的表面积为

2 2 16.设集合 A ? x | 2 x ? 7 x ? 15 ? 0 , B ? x | x ? ax ? b ? 0 ,满足

?

?

?

?

.

A

B ? ? , A B ? ?x | ?5 ? x ? 2? ,求实数 a ? __________.
1 ×5﹣ =

17.计算:



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18.已知直线 5x+12y+m=0 与圆 x ﹣2x+y =0 相切,则 m=

2

2



三、解答题
19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAB⊥平面 ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E 为 PA 的中 点,M 在 PD 上. (I)求证:AD⊥PB; (Ⅱ)若 ,则当 λ 为何值时,平面 BEM⊥平面 PAB?

(Ⅲ)在(II)的条件下,求证:PC∥平面 BEM.

20.平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1 的参数方程为 轴为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4sinθ. (1)写出圆 C1 的普通方程及圆 C2 的直角坐标方程;

(φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半

(2)圆 C1 与圆 C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交请说明理由.

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21. =ax 在 “关于 x 的不等式 x2﹣2ax+ ≥0 已知 a>0,a≠1,命题 p:“函数 f(x) (0,+∞) 上单调递减”,命题 q: 对一切的 x∈R 恒成立”,若 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,求实数 a 的取值范围.

22.(1)已知 f(x)的定义域为[﹣2,1],求函数 f(3x﹣1)的定义域; (2)已知 f(2x+5)的定义域为[﹣1,4],求函数 f(x)的定义域.

23.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D、E 分别是 AB、BB1 的中点,AB=2, (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求异面直线 BC1 和 A1D 所成角的大小; (3)求三棱锥 A1﹣DEC 的体积.

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24.(本小题满分 12 分) 设椭圆 C : 点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 Q(?4, 0) 任作一直线交椭圆 C 于 M , N 两点,记 MQ ? ?QN ,若在线段 MN 上取一点 R ,使 得 MR ? ?? RN ,试判断当直线运动时,点 R 是否在某一定直一上运动?若是,请求出该定直线的方 程;若不是,请说明理由.

1 12 x y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,圆 x 2 ? y 2 ? 与直线 ? ? 1 相切, O 为坐标原 2 2 7 a b a b

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无棣县第三中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:∵a=3, ∴由正弦定理可得:sinB= ∴B=90°, 即满足条件的三角形个数为 1 个. 故选:B. 【点评】本题主要考查三角形个数的判断,利用正弦定理是解决本题的关键,考查学生的计算能力,属于基础 题. 2. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心和半径,判断两个圆的位置关系,从而确定与它们都相切的直线条数. 2 2 2 2 【解答】解:∵圆 C1:x +y ﹣6x+4y+12=0,C2:x +y ﹣14x﹣2y+14=0 的方程可化为, ; ; ∴圆 C1,C2 的圆心分别为(3,﹣2),(7,1);半径为 r1=1,r2=6. ∴两圆的圆心距 =r2﹣r1; ∴两个圆外切, ∴它们只有 1 条内公切线,2 条外公切线. 故选 C. 3. 【答案】C 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 S=2,i=0 不满足条件,S=5,i=1 不满足条件,S=8,i=3 不满足条件,S=11,i=7 不满足条件,S=14,i=15 由题意,此时退出循环,输出 S 的值即为 14, 结合选项可知判断框内应填的条件是:i≥15? 故选:C. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的 S,i 的值是解题的关键,属于基本知识 的考查. ,A=60°, = =1,

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4. 【答案】A 【解析】解:取 AB 的中点 C,连接 OC, ∴sin =sin∠AOC= = ,则 AC= ,OA=1

所以:∠AOB=120° 则 ? =1×1×cos120°= .

故选 A.

5. 【答案】B 【解析】

考 点:1、同角三角函数基本关系的运用;2、两角和的正弦函数;3、任意角的三角函数的定义. 6. 【答案】C 【解析】解:A. B. 时,y= 在定义域内没有单调性,∴该选项错误; ,x=1 时,y=0;

∴该函数在定义域内不是减函数,∴该选项错误; C.y=﹣x|x|的定义域为 R,且﹣(﹣x)|﹣x|=x|x|=﹣(﹣x|x|); ∴该函数为奇函数;

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2 2 ∴该函数在[0,+∞),(﹣∞,0)上都是减函数,且﹣0 =0 ;

∴该函数在定义域 R 上为减函数,∴该选项正确; D. ∵﹣0+1>﹣0﹣1; ∴该函数在定义域 R 上不是减函数,∴该选项错误. 故选:C. 【点评】考查反比例函数的单调性,奇函数的定义及判断方法,减函数的定义,以及分段函数单调性的判断, 二次函数的单调性. 7. 【答案】C
2 【解析】解:∵概率 P(K ≥6.635)≈0.01,



∴两个变量有关系的可信度是 1﹣0.01=99%, 即两个变量有关系的概率是 99%, 故选 C. 【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的应用,本题解题的关键是理解所求出的概率的意义,本题是一个 基础题. 8. 【答案】B 【解析】解:当 n=2 时,这 4 个数分别为 1、2、3、4,排成了两行两列的数表, 当 1、2 同行或同列时,这个数表的“特征值”为 ; 当 1、3 同行或同列时,这个数表的特征值分别为 或 ; 当 1、4 同行或同列时,这个数表的“特征值”为 或 , 故这些可能的“特征值”的最大值为 . 故选:B. 【点评】题考查类比推理和归纳推理,属基础题. 9. 【答案】B 【 解 析 】

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10.【答案】D 【解析】解:y=tan(ωx+ ∴ ﹣ ω+kπ= ),向右平移 个单位可得:y=tan[ω(x﹣ )+ ]=tan(ωx+ )

∴ω=k+ (k∈Z), 又∵ω>0 ∴ωmin= . 故选 D. 11.【答案】A 【解析】解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,o ), ∴正态曲线的对称轴是 x=2 P(0<X<4)=0.8, ∴P(X>4)= (1﹣0.8)=0.1, 故选 A. 12.【答案】15 【 解 析 】
2

二、填空题
13.【答案】 (﹣∞,3] .

2 【解析】解:f′(x)=3x ﹣2ax+3,

∵f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴f′(x)在[1,+∞)上恒有 f′(x)≥0,

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2 即 3x ﹣2ax+3≥0 在[1,+∞)上恒成立.

则必有 ≤1 且 f′(1)=﹣2a+6≥0, ∴a≤3; 实数 a 的取值范围是(﹣∞,3]. 14.【答案】 x ? y ? 2 ? 0 【解析】解析: 设 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ) ,那么 | MF | ? | NF |? x1 ? x2 ? 2 ? 10 , x1 ? x2 ? 8 ,∴线段 MN 的
2 2 中点坐标为 (4, 2) .由 y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 两式相减得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ,而

y1 ? y2 ? 1 ,∴直线 MN 的方程为 y ? 2 ? x ? 4 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . x1 ? x2
15.【答案】 16?

y1 ? y2 ? 2 ,∴ 2

△ ABC 【解析】 如图所示, ∵ AB 2 ? AC 2 ? BC 2 , ∴ ?CAB 为直角, 即过△ ABC 的小圆面的圆心为 BC 的中点 O ? ,

和 △ DBC 所在的平面互相垂直,则球心 O 在过 △ DBC 的圆面上,即 △ DBC 的外接圆为球大圆,由等边三角 形的重心和外心重合易得球半径为 R ? 2 ,球的表面积为 S ? 4πR 2 ? 16π

16.【答案】 a ? ? 【解析】

7 ,b ? 3 2



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点:一元二次不等式的解法;集合的运算. 【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题,其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和 集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用,试题有一定的难度,属于中档试题,着重考查了学 生分析问题和解答问题的能力, 同时考查了转化与化归思想的应用, 其中一元二次不等式的求解是解答的关键. 17.【答案】 9 .

【解析】解:

1 ×5﹣ =

× =

× =(﹣5)×(﹣9)× =9,

∴ 故答案为:9. 18.【答案】8 或﹣18

1 ×5﹣ =9,

【解析】 【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径,先把圆的方程整理的标准方程求得圆 心和半径,在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径,求得答案. 2 2 【解答】解:整理圆的方程为(x﹣1) ++y =1 故圆的圆心为(1,0),半径为 1 直线与圆相切 ∴圆心到直线的距离为半径 即 =1,求得 m=8 或﹣18

故答案为:8 或﹣18

三、解答题
19.【答案】 【解析】(I)证明:∵平面 PAB⊥平面 ABCD,AB⊥AD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB, ∴AD⊥平面 PAB.又 PB?平面 PAB, ∴AD⊥PB. (II)解:由(I)可知,AD⊥平面 PAB,又 E 为 PA 的中点, 当 M 为 PD 的中点时,EM∥AD, ∴EM⊥平面 PAB,∵EM?平面 BEM, ∴平面 BEM⊥平面 PAB. 此时, .

(III)设 CD 的中点为 F,连接 BF,FM 由(II)可知,M 为 PD 的中点.

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∴FM∥PC. ∵AB∥FD,FD=AB, ∴ABFD 为平行四边形. ∴AD∥BF,又∵EM∥AD, ∴EM∥BF. ∴B,E,M,F 四点共面. ∴FM?平面 BEM,又 PC?平面 BEM, ∴PC∥平面 BEM.

【点评】本题考查了线面垂直的性质,线面平行,面面垂直的判定,属于中档题. 20.【答案】 【解析】解:(1)由圆 C1 的参数方程为 x2﹣4x+y2=0.
2 2 2 由圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,化为 ρ =4ρsinθ,∴直角坐标方程为 x +y =4y. 2 2 (φ 为参数),可得普通方程:(x﹣2) +y =4,即

(2)联立

,解得

,或



∴圆 C1 与圆 C2 相交,交点(0,0),(2,2). 公共弦长= . 【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角方程、两圆的位置关系、两点之间的距离公 式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 21.【答案】 【解析】解:若 p 为真,则 0<a<1; 若 q 为真,则△=4a ﹣1≤0,得 又 a>0,a≠1,∴ .
2



因为 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,所以 p,q 中必有一个为真,且另一个为假.

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①当 p 为真,q 为假时,由



②当 p 为假,q 为真时, 综上,a 的取值范围是 .

无解.

【点评】1.求解本题时,应注意大前提“a>0,a≠1”,a 的取值范围是在此条件下进行的. 22.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 y=f(x)的定义域为[﹣2,1], 由﹣2≤3x﹣1≤1 得:x∈[﹣ , ], 故函数 y=f(3x﹣1)的定义域为[﹣ , ];’ (2)∵函数 f(2x+5)的定义域为[﹣1,4], ∴x∈[﹣1,4], ∴2x+5∈[3,13], 故函数 f(x)的定义域为:[3,13]. 23.【答案】 【解析】(1)证明:连接 AC1 与 A1C 相交于点 F,连接 DF, 由矩形 ACC1A1 可得点 F 是 AC1 的中点,又 D 是 AB 的中点, ∴DF∥BC1, ∵BC1?平面 A1CD,DF?平面 A1CD, ∴BC1∥平面 A1CD; =1,A1D= … (2)解:由(1)可得∠A1DF 或其补角为异面直线 BC1 和 A1D 所成角. DF= BC1= = ,A1F= A1C=1. = ,

在△A1DF 中,由余弦定理可得:cos∠A1DF= ∵∠A1DF∈(0,π),∴∠A1DF= ,

∴异面直线 BC1 和 A1D 所成角的大小;… (3)解:∵AC=BC,D 为 AB 的中点,∴CD⊥AB, ∵平面 ABB1A1∩平面 ABC=AB,∴CD⊥平面 ABB1A1,CD= ∴ = ﹣S△BDE﹣ ﹣ = =1.

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∴三棱锥 C﹣A1DE 的体积 V=



【点评】本题考查线面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查异面直线 BC1 和 A1D 所成角,是中档题, 解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用. 24.【答案】(1) 【解析】

x2 y 2 ? ? 1 ;(2)点 R 在定直线 x ? ?1 上. 4 3

试 题解析:

ab 1 e2 1 2 21 2 2 ,∴ 2 ? ,∴ 3a ? 4b ,又 , ? 2 a 4 7 a 2 ? b2 x2 y 2 ? ? 1. 解得 a ? 2, b ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为 4 3
(1)由 e ?

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设点 R 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则由 MR ? ?? ? RN ,得 x0 ? x1 ? ?? ( x2 ? x0 ) , 解得 x0 ?

x1 ? ? x2 ? 1? ?

x1 ?

x1 ? 4 ? x2 x2 ? 4 2 x x ? 4( x1 ? x2 ) ? 1 2 x ?4 ( x1 ? x2 ) ? 8 1? 1 x2 ? 4

又 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 2 ?

64k 2 ? 12 ?32k 2 ?24 ? 4 ? ? , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ?32k 2 24 2 x x ? 4( x1 ? x2 ) ( x1 ? x2 ) ? 8 ? ?8 ? ,从而 x0 ? 1 2 ? ?1 , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 8

故点 R 在定直线 x ? ?1 上. 考点:1.椭圆的标准方程与几何性质;2.直线与椭圆的位置关系.

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