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数学同步优化指导(湘教版选修4-5)课件:1.3、1.4 基本不等式;基本不等式实际应用举例_图文

第1章 基本不等式和证明不等式的基本方法 1.3 1.4 基本不等式 基本不等式实际应用举例 学习目标 1.理解基本不等式的内容及等 号成立的条件. 重点难点 1.重点是基本不等式在 求最值及证明不等式中 的应用. 2.难点是配系数、拆项 2.能够应用基本不等式求最值 及证明简单的不等式. 3.能够应用基本不等式解决实 际应用中的最值问题. 等变形技巧. 1.算术平均数与几何平均数 a+b 将 __________ 称为两个正数 a,b 的算术平均数, 2 ab __________ 称为 a,b 的几何平均数. 2.基本不等式 a+b ab(a,b∈R+) ,当且仅当__________ a=b (1) ≥_______________ 时等号 2 不小于 几何平均数. 成立. 其含义: 两个正数的算术平均数__________ 2ab (2)a2+b2≥__________ ,当且仅当 a=b 时等号成立. 3.由基本不等式可推出的常见的变形形式 a2+b2 (1) ≥ab; 2 (2)a2+b2≥2|a||b|; (3)(a+b)2≥4ab; (4)a2+b2+c2≥ab+ac+bc; b a (5) + ≥2(a>0,b>0); a b ?1 1? ? + (6)(a+b)? ?a b?≥4(a>0,b>0). ? ? 1 在不等式 x +2+ 2 ≥2 x +2 2 1 x +2· 2 =2 中,能 x +2 2 否取到等号?为什么? 1 提示:不能取到.若等号能取到须满足 x +2= 2 , x +2 2 得 x2+2=1,该方程无实数解,故所给不等式中的等号不能取 到. 8 已知 x>0,则 2x+ 的最小值和取得最小值时的 x 值分别 x 是( ) A.8,2 C.16,2 B.8,4 D.16,4 8 8 2x·=8,当且仅当 2x= , x x 8 解析:∵x>0,∴2x+ ≥2 x 即 x=2 时,取等号. 答案:A 4 .解决数学的实际应用问题,首先,要认真审题,即理 解关键的字、词、句,理清主要的数量关系;其次,要转化为 数学问题,即通过将关键量符号化、字母化,将主要数量关系 用数学模型来描述;最后,解决数学问题,并回答实际问题. 5.运用基本不等式求函数的最值时,注意验证“一 正 、二______ 定 、三_______ 相等 ”. _____ 要建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如 果池底和池壁每平方米的造价分别为 120 元和 80 元,那么水池 的最低总造价为__________元. 解析:设水池的造价为 y 元,长方体底的一边长为 x m, 4 2 由于底面积为 4 m ,所以另一边长为 m.那么 y=120· 4+ x ? ? 4? 4? 4 ? ? ? ? 2· 80· 2 x·=1 760(元). ?2x+2· ?=480+320?x+ x ?≥480+320· x x ? ? ? ? 当 x = 2 ,即底为边长为 2 m 的正方形时,水池的造价最 低,为1 760元. 答案:1 760 利用基本不等式证明不等式 bc ac ab 设 a,b,c 都是正数,求证: + + ≥a+b+ a b c c. 证明:∵当 a>0,b>0 时,a+b≥2 ab, bc ac ∴ + ≥2 a b bc ac · =2c. a b bc ab · =2b, a c bc ab 同理可得 + ≥2 a c ac ab + ≥2 b c ac ab · =2a. b c 将以上三个不等式相加,得 ?bc ac ab? ? + + 2? ≥2(a+b+c), ?a b c? ? ? bc ac ab ∴ + + ≥a+b+c. a b c 【点评】 基本不等式具有将“和式”和“积式”相互转 化的放缩功能,常常用于证明不等式,解决问题的关键是分析 不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.但 应注意连续多次使用基本不等式时等号成立的条件是否保持一 致. a 2 b 2 c2 1.已知 a,b,c 都是正数,求证: + + ≥a+b+c. b c a 证明:∵a>0,b>0,c>0, a2 a2 ∴ +b≥2 · b=2a,当且仅当 a=b 时,等号成立. b b b2 c2 同理 +c≥2b, +a≥2c, c a a 2 b 2 c2 三式相加得 + + +(b+c+a)≥2(a+b+c), b c a a 2 b 2 c2 ∴ + + ≥a+b+c. b c a 利用基本不等式求最值 x 3 (1)若函数 f(x)= + 且 x∈(0,1], 则 f(x)的最小值是 3 x ( ) A.2 10 C. 3 B.不存在 31 D. 6 9? x 3 1? ? 解析: f(x)= + = ?x+x? ∴f(x)min ?在(0,1]上是单调减函数, 3 x 3? ? 10 =f(1)= . 3 答案:C 1 2 (2) 设 x > 0 , y > 0 且 2x + y = 1 , 则 + 的 最 小 值 是 x y __________. ? ?1 2? 1 2 ? 4x y ?1 2? ? ? 解析: + = ?x+y ? ×1 = ? x+ y? (2x + y)= 4 + + ≥4 + x y ? y x ? ? ? 2 4x y 1 1 1 2 ·=4+4=8,当且仅当 x= ,y= 时取等号,∴ + 的 y x 4 2 x y 最小值是 8. 答案:8 1 (3)已知 0<x< ,求函数 y=x(1-3x)的最大值. 3 1 解:∵0<x< ,∴1-3x>0. 3 ? 1 1? 1 ?3x+?1-3x??2 ∴y=x(1-3x)= ×3x(1-3x)≤ ? ? =12. 3 3? 2 ? 1 当且仅当 3x=1-3x,即 x= 时取等

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