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2015-2016学年河南京翰教育高二上学期期末考试数学(理科)试卷

2015-2016 高二上学期期末考试数学(理科)模拟卷
时间 120 分钟 满分 150 分
一、选择题(每题 5 分,共 60 分)

1、已知等比数列 A.-2 B.1

中, C.2

,则 D.5





2、若α 是三角形的内角,且 sin α +cos α = A.等边三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.钝角三角形 )

,则这个三角形是(

).

3、已知 a,b∈R,且 a>b,则(

A. a >b B.

2

2

C. lg(a﹣b)>0 D.

4、若向量 a=(1,λ ,2),b=(2,-1,2),且 cos〈a,b〉=

,则λ =(

)

A.2

B.-2

C.-2 或

D.2 或-

5、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1,长轴在 y 轴上.若焦距为 4,则 m 等于( 10 ? m m ? 2
B.5 C.7 D.8

)

A.4

6、在△ABC 中,若 S△ABC=

1 2 2 2 (a +b ﹣c ),那么 C 等于( 4



A.

B.

C.

D.

7、已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx﹣y+n=0 与 nx +my =mn 所表示的曲线可能是 ( )

2

2

A.

B.

C.

D.

8、下列推断错误的是(



A.命题“若



”的逆否命题为“若





B.命题 C.若

存在

,使得 均为假命题

,则非

任意

,都有

且 为假命题,则

D.“

”是“

”的充分不必要条件

9、设

满足约束条件

,则目标函数

的取值范围为(

)

A.

B.

C.

D.

10、正项数列 ( )

满足:

,则数列

的前

项和

A.

B.

C.

D.

11、设 F 为抛物线 C:y =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标 原点,则△OAB 的面积为( )

2

A.

B.

C.

D.

12、已知函数 意的 ( ) ,不等式

是定义在

上的增函数,函数 恒成立,则当

的图象关于点 时,

对称,若任 的取值范围是

A.

B.

C.

D.

二、填空题(每空 5 分,共 20 分)

13、命题“

”的否定是



14、 如图,在矩形 ABCD 中,AB=

,BC=3,BE⊥AC,垂足为 E,则 ED=________.

15、若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆

总有公共点,则实数 m 的取值范围是

16、已知



,则

的最小值为

二、解答题
x2 y2 ? ? 1 所表示的图形是焦点在 y 轴上的双曲线,命题 q:方程 2 ? m m ?1

17、已知命题 p:方程
2

4x +4(m﹣2)x+1=0 无实根,又 p∧q 为真,p∧q 为假,求实数 m 的取值范围.

18、等比数列

的各项均为正数,且



(Ⅰ) 求数列 前 项和.

的通项公式; (Ⅱ) 设

, 求数列



19、在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小;



(2)若

,求△ABC 的面积.

20、已知椭圆 半径的圆与直线

的离心率为

,以原点 O 为圆心,椭圆的短半轴长为

相切. . (Ⅰ) 求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 若直线

与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 出定值;若不为定值,说明理由.

,判断△AOB 的面积是否为定值?若为定值,求

21、如图, 四棱柱 , ,

中, 侧棱 , 为棱

⊥底面 的中点.

,

,



(1) 证明

;(2) 求二面角

的正弦值.

(3) 设点 的长.

在线段

上, 且直线

与平面

所成角的正弦值为

, 求线段

22、在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)过点(1,

),其左、右

焦点分别为 F1、F2,离心率为 (1)求椭圆 E 的方程;



(2)若 A、B 分别为椭圆 E 的左、右顶点,动点 M 满足 MB⊥AB,且 MA 交椭圆 E 于点 P.

(i)求证:

?

为定值;

(ii)设 PB 与以 PM 为直径的圆的另一交点为 Q,问:直线 MQ 是否过定点,并说明理由.

参考答案
一、选择题
D 12、C 1、D 2、D 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C. 8、C 9、D 10、C 11、

二、填空题 13、 ? 三.解答题
17、考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑.



14、

15、[1,5﹚

.16、

分析: 先根据曲线的标准方程和一元二次方程无实根时△的取值即可求出命题 p,q 为真时的 m 的取值范围,然后根据 p∨q 为真,p∧q 为假得到 p 真 q 假,或 p 假 q 真两种情况,求出每种情 况的 m 的取值范围再求并集即可.

解答: 解:若 p 为真,则: ∴m>2;

; .............3 分
2

若命题 q 为真,则:△=16(m﹣2) ﹣16<0; ∴1<m<3; 由 p∨q 为真,p∧q 为假知 p,q 一真一假; .............6 分



,或



∴解得 m≥3,或 1<m≤2; ∴m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞). .............10 分

点评: 考查双曲线的标准方程,以及一元二次方程无实根时△的取值情况,p∨q,p∧q 的真假 和 p,q 真假的关系.

18、解答: 解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 =9a2a6 得 a3 =9a4 ,所以 q = .

2

2

2

2

由条件可知各项均为正数,故 q= .

.............2 分

由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= .

.............3 分

故数列{an}的通项式为 an=



.............5 分

(Ⅱ)bn= 分

+

+?+

=﹣(1+2+?+n)=﹣



.............8



=﹣

= ﹣2 ( ﹣



则 分

+

+?+

=﹣2[(1﹣ )+( ﹣ )+?+( ﹣

)]=﹣



.............12

所以数列{

}的前 n 项和为﹣



19、 解:(1)由正弦定理 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

得:

将上式代入已知 即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0, 即 2sinAcosB+sin(B+C)=0, ∵A+B+C=π ,



.............2 分

∴sin(B+C)=sinA, ∴2sinAcosB+sinA=0,即 sinA(2cosB+1)=0,

∵sinA≠0,∴



.............4 分

∵B 为三角形的内角,∴



.............5 分

(II)将

代入余弦定理 b =a +c ﹣2accosB 得: .............8 分

2

2

2

b =(a+c) ﹣2ac﹣2accosB,即 ∴ac=3, .............10 分

2

2







.............12 分

20、(1)由题意知

,∴

,即





,∴



故椭圆的方程为

4分

(II)设

,由







.

···················· 7 分

······ 8 分

,

,

,

,

12 分 21、

(1)见解析 (2)

(3)

解:本题可通过建立空间坐标系求解. 如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得 A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1), E(0,1,0).

(1)证明:易得 (2)

=(1,0,-1),

=(-1,1,-1),于是

·

=0,∴B1C1⊥CE.

=(1,-2,-1).

设平面 B1CE 的法向量 m=(x,y,z),



,即

消去 x,得 y+2z=0,不妨令 z=1,可得一个法向量为 m=(-3,-2,1). 由(1),B1C1⊥CE,又 CC1⊥B1C1,可得 B1C1⊥平面 CEC1,故 量. =(1,0,-1)为平面 CEC1 的一个法向

于是 cos〈m,

〉=



=-

,从而 sin〈m,

〉=



故二面角 B1-CE-C1 的正弦值为 (3) 设 =(0,1,0), =λ =(1,1,1).

.

=(λ ,λ ,λ ),0≤λ ≤1,有





=(λ ,λ +1,λ ).可取

=(0,0,2)为平面 A

DD1A1 的一个法向量. 设θ 为直线 AM 与平面 ADD1A1 所成的角,则

sinθ =|cos〈



〉|=





.

于是 ∴AM= .



,解得λ =

(λ =-

舍去),

22、考点: 椭圆的简单性质. 专题: 平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意的离心率公式和点满足题意方程,结合椭圆的 a,b,c 的关系,可得 a,b, 进而得到椭圆方程; (2)(i)设 M(2,y0),P(x1,y1),求得直线 MA 的方程,代入椭圆方程,解得点 P 的坐标, 再由向量的数量积的坐标表示,计算即可得证; (ii)直线 MQ 过定点 O(0,0).先求得 PB 的斜率,再由圆的性质可得 MQ⊥PB,求出 MQ 的斜 率,再求直线 MQ 的方程,即可得到定点.

解答: 解:(1)由题意可得

且 a ﹣b =c ,

2

2

2

解得 a=2,b=



即有椭圆方程为

+

=1;

(2)(i)证明:由 A(﹣2,0),B(2,0),MB⊥AB,

设 M(2,y0),P(x1,y1),

可得 MA:y=

x+



代入椭圆方程可得,(1+

)x +

2

x+

﹣4=0,

由﹣2x1=

,可得 x1=﹣



y 1═

x1+

=





?

=﹣

+

?y0=4 为定值;

(ii)直线 MQ 过定点 O(0,0).

理由如下:由题意可得 kPB=

=

?

=﹣



由 PB 与以 PM 为直径的圆的另一交点为 Q,

可得 MQ⊥PB,即有 kMQ=



则直线 MQ:y﹣y0=

(x﹣2),

即 y=

x,

故直线 MQ 过定点 O(0,0). 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用,注意联立直线 方程和椭圆方程,运用韦达定理,同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置关系,属 于中档题.


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