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方正县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

方正县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 如图,正六边形 ABCDEF 中,AB=2,则( ﹣ )?( + )=( )

姓名__________

分数__________

A.﹣6 B.﹣2

C.2

D.6 )

2. 数列{an}的首项 a1=1,an+1=an+2n,则 a5=( A. B.20 C.21 D.31

3. 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,定点 A(0, 2) ,若射线 FA 与抛物线 C 交于点 M ,与抛 物线 C 的准线交于点 N ,则 | MN |:| FN | 的值是( A. ( 5 ? 2) : 5 B. 2 : 5 ) C. 1: 2 5 D. 5 : (1 ? 5)

4.如图, AB=6, AC=4 在△ ABC 中,

A=45°, O 为△ ABC 的外心, , 则

?

等于 (



A.﹣2 B.﹣1 C.1

D.2 )

5. 若某算法框图如图所示,则输出的结果为(

A.7

B.15

C.31

D.63

4 2 * 6. 已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? 4, 7, a , a ? 3a ,且 a ? N , x ? A, y ? B 使 B 中元素 y ? 3x ? 1 和 A 中的元素

?

?

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x 对应,则 a, k 的值分别为( A. 2, 3 B. 3, 4 C. 3, 5
2

) D. 2, 5 )

7. 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, 点 O 是原点, 若|AF|=3, 则△ AOF 的面积为 ( A. B. C. D.2 )

8. 执行右面的程序框图,若输入 x=7,y=6,则输出的有数对为(

A.(11,12) 9. 若复数 z 满足

B.(12,13)

C.(13,14)

D.(13,12) )

=i,其中 i 为虚数单位,则 z=( D.﹣1+i

A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i

10.已知函数 f(x)=Asin(ωx﹣

)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,△ EFG 是边长为 2 的等边三角 )

形,为了得到 g(x)=Asinωx 的图象,只需将 f(x)的图象(

A.向左平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 ) 个长度单位

11.下列命题中正确的是(

A.若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p∧q”为真命题

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B.命题“若 xy=0,则 x=0”的否命题为:“若 xy=0,则 x≠0” C.“ ”是“ ”的充分不必要条件 ” ) C.0.3 D.0.4

D.命题“?x∈R,2x>0”的否定是“ A.0.1 B.0.2

12.如果随机变量 ξ~N (﹣1,σ2),且 P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,则 P(ξ≥1)等于(

二、填空题
13.在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面为棱长为 1 的正三角形,侧棱 AA1⊥底面 ABC,点 D 在棱 BB1 上,且 BD=1,若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 α,则 sinα 的值是 14.已知数列 的前 项和是 , 则数列的通项 , ; . . .(填上所有 . __________

15.设函数 f(x)= ①若 a=1,则 f(x)的最小值为

②若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是 16.若实数 x,y 满足 x +y ﹣2x+4y=0,则 x﹣2y 的最大值为
2 2

17.已知函数 y=f(x),x∈I,若存在 x0∈I,使得 f(x0)=x0,则称 x0 为函数 y=f(x)的不动点;若存在 x0∈I, 使得 f(f(x0))=x0,则称 x0 为函数 y=f(x)的稳定点.则下列结论中正确的是 正确结论的序号) ①﹣ ,1 是函数 g(x)=2x2﹣1 有两个不动点; ②若 x0 为函数 y=f(x)的不动点,则 x0 必为函数 y=f(x)的稳定点; ③若 x0 为函数 y=f(x)的稳定点,则 x0 必为函数 y=f(x)的不动点; ④函数 g(x)=2x2﹣1 共有三个稳定点; ⑤若函数 y=f(x)在定义域 I 上单调递增,则它的不动点与稳定点是完全相同. 18.定积分 sintcostdt= .

三、解答题
19.如图所示,一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切,同时与圆 x2+y2﹣6x﹣91=0 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程, 并说明它是什么样的曲线.

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20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,该椭圆的离心率为 相切.

,以原点为圆心,

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 y=x+ (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)如图,若斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 x 轴,椭圆 C 顺次交于 P,Q,R(P 点在椭圆左顶点的左侧)且 ∠RF1F2=∠PF1Q,求证:直线 l 过定点,并求出斜率 k 的取值范围.

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21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? 22 x ?7 ? a4 x ?1 ? a ? 0且a ? 1? . (1)当 a ?
2 时,求不等式 f ? x ? ? 0 的解集; 2

(2)当 x ??0 , 1? 时, f ? x ? ? 0 恒成立,求实数的取值范围.

22.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方形边

长的概率为( A B C D



23.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的短轴长为 2

,且离心率 e= ,设 F1,F2 是椭圆的左、右焦点,

过 F2 的直线与椭圆右侧(如图)相交于 M,N 两点,直线 F1M,F1N 分别与直线 x=4 相交于 P,Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

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(Ⅱ)求△ F2PQ 面积的最小值.

24.设 F 是抛物线 G:x2=4y 的焦点. (1)过点 P(0,﹣4)作抛物线 G 的切线,求切线方程; (2)设 A,B 为抛物线上异于原点的两点,且满足 FA⊥FB,延长 AF,BF 分别交抛物线 G 于点 C,D,求四 边形 ABCD 面积的最小值.

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方正县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:根据正六边形的边的关系及内角的大小便得: = 2+2=6. 故选:D. 【点评】考查正六边形的内角大小,以及对边的关系,相等向量,以及数量积的运算公式. 2. 【答案】C 【解析】解:由 an+1=an+2n,得 an+1﹣an=2n,又 a1=1, ∴a5=(a5﹣a4)+(a4﹣a3)+(a3﹣a2)+(a2﹣a1)+a1 =2(4+3+2+1)+1=21. 故选:C. 【点评】本题考查数列递推式,训练了累加法求数列的通项公式,是基础题. 3. 【答案】D 【解析】 = =2+4﹣

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考点:1、抛物线的定义; 2、抛物线的简单性质. 【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质,属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况 下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛物线 上的点到准线距转化为该点到焦点的距离;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题 得到解决.本题就是将 M 到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的. 4. 【答案】A 【解析】解:结合向量数量积的几何意义及点 O 在线段 AB,AC 上的射影为相应线段的中点, 可得 ﹣2; 故选 A. 【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则,属于中档题 5. 【答案】 D 【解析】解:模拟执行算法框图,可得 A=1,B=1 满足条件 A≤5,B=3,A=2 满足条件 A≤5,B=7,A=3 满足条件 A≤5,B=15,A=4 满足条件 A≤5,B=31,A=5 满足条件 A≤5,B=63,A=6 不满足条件 A≤5,退出循环,输出 B 的值为 63. 故选:D. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,正确得到每次循环 A,B 的值是解题的关键,属于基础题. , ,则 ? = =16﹣18=

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6. 【答案】D 【解析】 试题分析: 分析题意可知: 对应法则为 y ? 3x ? 1 , 则应有 ? 由于 a ? N ,所以(1)式无解,解(2)式得: ?
*

?a 4 ? 3 ? 3 ? 1 ?a 4 ? 3 ? k ? 1 ? ? ( 1 ) 或 (2) , ? 2 2 a ? 3 a ? 3 ? k ? 1 a ? 3 a ? 3 ? 3 ? 1 ? ? ? ?

?a ? 2 。故选 D。 ?k ? 5

考点:映射。 7. 【答案】B
2 【解析】解:抛物线 y =4x 的准线 l:x=﹣1.

∵|AF|=3, ∴点 A 到准线 l:x=﹣1 的距离为 3 ∴1+xA=3 ∴xA=2, ∴yA=±2 , = . ∴△AOF 的面积为 故选:B. 【点评】本题考查抛物线的定义,考查三角形的面积的计算,确定 A 的坐标是解题的关键. 8. 【答案】 A 【解析】解:当 n=1 时,满足进行循环的条件,故 x=7,y=8,n=2, 当 n=2 时,满足进行循环的条件,故 x=9,y=10,n=3, 当 n=3 时,满足进行循环的条件,故 x=11,y=12,n=4, 当 n=4 时,不满足进行循环的条件, 故输出的数对为(11,12), 故选:A 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答. 9. 【答案】A 【解析】解: 可得 z=1﹣i. 故选:A. =i,则 =i(1﹣i)=1+i,

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10.【答案】 A 【解析】解:∵△EFG 是边长为 2 的正三角形, ∴三角形的高为 ,即 A= , =4, 函数的周期 T=2FG=4,即 T= 解得 ω= = , sin( x﹣ x﹣ )= ),g(x)= sin[ sin x,

即 f(x)=Asinωx= 由于 f(x)= sin(

(x﹣ )],

故为了得到 g(x)=Asinωx 的图象,只需将 f(x)的图象向左平移 个长度单位. 故选:A. 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键,属于中 档题. 11.【答案】 D 【解析】解:若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p∧q”为假命题,故 A 不正确; 命题“若 xy=0,则 x=0”的否命题为:“若 xy≠0,则 x≠0”,故 B 不正确; “ “ 故“ ”?“ ”是“
x

”?“

+2kπ,或 ”,

,k∈Z”,

”的必要不充分条件,故 C 不正确; ”,故 D 正确.

命题“?x∈R,2 >0”的否定是“ 故选 D.

【点评】本题考查命题的真假判断,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答. 12.【答案】A
2 【解析】解:如果随机变量 ξ~N(﹣1,σ ),且 P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,

∵P(﹣3≤ξ≤﹣1) = ∴ ∴P(ξ≥1)= .

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【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似的服 从正态分布,正态分布在概率和统计中具有重要地位.

二、填空题
13.【答案】 .

【解析】解:如图所示, 分别取 AC,A1C1 的中点 O,O1,连接 OO1,取 OE=1,连接 DE,B1O1,AE. ∴BO⊥AC, ∵侧棱 AA1⊥底面 ABC,∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直棱柱. 由直棱柱的性质可得:BO⊥侧面 ACC1A1. ∴四边形 BODE 是矩形. ∴DE⊥侧面 ACC1A1. ∴∠DAE 是 AD 与平面 AA1C1C 所成的角,为 α, ∴DE= AD= =OB. = . = .

在 Rt△ADE 中,sinα= 故答案为: .

【点评】 本题考查了直棱柱的性质、空间角、空间位置关系、 等边三角形的性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

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14.【答案】 【解析】 当 当 时, 时, ,

两式相减得: 令 得 ,所以

答案:

15.【答案】

≤a<1 或 a≥2 .

【解析】解:①当 a=1 时,f(x)= 当 x<1 时,f(x)=2 ﹣1 为增函数,f(x)>﹣1,
x



当 x>1 时,f(x)=4(x﹣1)(x﹣2)=4(x ﹣3x+2)=4(x﹣ ) ﹣1, 当 1<x< 时,函数单调递减,当 x> 时,函数单调递增, 故当 x= 时,f(x)min=f( )=﹣1, ②设 h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a) 若在 x<1 时,h(x)=与 x 轴有一个交点, 所以 a>0,并且当 x=1 时,h(1)=2﹣a>0,所以 0<a<2, 而函数 g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有一个交点,所以 2a≥1,且 a<1, 所以 ≤a<1, 若函数 h(x)=2 ﹣a 在 x<1 时,与 x 轴没有交点, 则函数 g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有两个交点, 当 a≤0 时,h(x)与 x 轴无交点,g(x)无交点,所以不满足题意(舍去), 当 h(1)=2﹣a≤0 时,即 a≥2 时,g(x)的两个交点满足 x1=a,x2=2a,都是满足题意的, 综上所述 a 的取值范围是 ≤a<1,或 a≥2. 16.【答案】10
x

2

2

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【解析】 【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形,设 z=x﹣2y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出直线 z=x﹣ 2y 过图形上的点 A 的坐标,即可求解. 2 2 2 2 【解答】解:方程 x +y ﹣2x+4y=0 可化为(x﹣1) +(y+2) =5, 即圆心为(1,﹣2),半径为 的圆,(如图)

设 z=x﹣2y,将 z 看做斜率为 的直线 z=x﹣2y 在 y 轴上的截距, 经平移直线知:当直线 z=x﹣2y 经过点 A(2,﹣4)时,z 最大, 最大值为:10. 故答案为:10. 17.【答案】 ①②⑤ 【解析】解:对于①,令 g(x)=x,可得 x= 定点,故②正确;
2 2 2 对于③④,g(x)=2x ﹣1,令 2(2x ﹣1) ﹣1=x,因为不动点必为稳定点,所以该方程一定有两解 x=﹣ ,

或 x=1,故①正确;

对于②,因为 f(x0)=x0,所以 f(f(x0))=f(x0)=x0,即 f(f(x0))=x0,故 x0 也是函数 y=f(x)的稳

1,
2 由此因式分解,可得(x﹣1)(2x+1)(4x +2x﹣1)=0

还有另外两解 不动点,故③④错误;

,故函数 g(x)的稳定点有﹣ ,1,

,其中

是稳定点,但不是

对于⑤,若函数 y=f(x)有不动点 x0,显然它也有稳定点 x0; 若函数 y=f(x)有稳定点 x0,即 f(f(x0))=x0,设 f(x0)=y0,则 f(y0)=x0 即(x0,y0)和(y0,x0)都在函数 y=f(x)的图象上,

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假设 x0>y0,因为 y=f(x)是增函数,则 f(x0)>f(y0),即 y0>x0,与假设矛盾; 假设 x0<y0,因为 y=f(x)是增函数,则 f(x0)<f(y0),即 y0<x0,与假设矛盾; 故 x0=y0,即 f(x0)=x0,y=f(x)有不动点 x0,故⑤正确. 故答案为:①②⑤. 【点评】本题考查命题的真假的判断,新定义的应用,考查分析问题解决问题的能力. 18.【答案】 .

【解析】解: 故答案为:

0sintcostdt=

0sin2td(2t)=

(﹣cos2t)|

=

×(1+1)=



三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(方法一)设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,设已知圆的圆心分别为 O1、O2,
2 2 2 2 将圆的方程分别配方得:(x+3) +y =4,(x﹣3) +y =100,

当动圆与圆 O1 相外切时,有|O1M|=R+2…① 当动圆与圆 O2 相内切时,有|O2M|=10﹣R…② 将①②两式相加,得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|, ∴动圆圆心 M(x,y)到点 O1(﹣3,0)和 O2(3,0)的距离和是常数 12, 所以点 M 的轨迹是焦点为点 O1(﹣3,0)、O2(3,0),长轴长等于 12 的椭圆. ∴2c=6,2a=12, ∴c=3,a=6
2 ∴b =36﹣9=27

∴圆心轨迹方程为

,轨迹为椭圆. ,移项再两边分别平方得:

(方法二):由方法一可得方程 2
2 2 两边再平方得:3x +4y ﹣108=0,整理得

所以圆心轨迹方程为

,轨迹为椭圆.

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【点评】本题以两圆的位置关系为载体,考查椭圆的定义,考查轨迹方程,确定轨迹是椭圆是关键.

20.【答案】 【解析】(Ⅰ)解:椭圆的左,右焦点分别为 F1(﹣c,0),F2(c,0), 椭圆的离心率为 ,即有 = ,即 a= c,b= =c,

2 2 2 以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆方程为 x +y =b ,

直线 y=x+ 即有 a= ,

与圆相切,则有

=1=b,

则椭圆 C 的方程为

+y2=1;

(Ⅱ)证明:设 Q(x1,y1),R(x2,y2),F1(﹣1,0), 由∠RF1F2=∠PF1Q,可得直线 QF1 和 RF1 关于 x 轴对称, 即有 + =0,即 + =0,

即有 x1y2+y2+x2y1+y1=0,① 设直线 PQ:y=kx+t,代入椭圆方程,可得
2 2 2 (1+2k )x +4ktx+2t ﹣2=0, 2 2 2 2 判别式△=16k t ﹣4(1+2k )(2t ﹣2)>0, 2 2 即为 t ﹣2k <1②

x1+x2=

,x1x2=

,③

y1=kx1+t,y2=kx2+t, 代入①可得,(k+t)(x1+x2)+2t+2kx1x2=0, 将③代入,化简可得 t=2k, 则直线 l 的方程为 y=kx+2k,即 y=k(x+2). 即有直线 l 恒过定点(﹣2,0). 将 t=2k 代入②,可得 2k <1, 解得﹣ <k<0 或 0<k< . ,0)∪(0, ).
2

则直线 l 的斜率 k 的取值范围是(﹣

【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要是离心率的运用,注意运用直线和圆相切的条件,联立直线方程和 椭圆方程,运用韦达定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题和易错题.

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?32 ? 15 ? ? 21.【答案】(1) ? ?? , ? ;(2) a ? ? , 1? ? ? 8? ? ? 4 ?
【解析】 试题分析:(1)由于 a ?
15 ? ? 2 x ?7 ? ?? , ? ;(2)由 2 8? ?
1 ? 2 ?2 2 2

128? . ?1 ,

15 ?原不等式的解集为 8 4 a 4 a , ? a4 x ?1 ? ? 2 x ? 7 ? lg 2 ? ? 4 x ? 1? lg a ? x lg 4 ? lg ? 0 .设 g ? x ? ? x lg 4 ? lg a 128 a 128

? 22 x ?7 ? 2

?

1 ? 4 x ?1? 2

? 2 x ? 7 ? ? ? 4 x ? 1? ? x ?

1 2

3 ? ?32 ? 2 ? g ?1? ? 0 原命题转化为 ? , 1 ? ? a ? 128 ?又 a ? 0 且 a ? 1 ? a ? ? ? ? 4 ? 4 ? ? ? ? g ? 0? ? 0

128? . ?1 ,

考 点:1、函数与不等式;2、对数与指数运算. 【方法点晴】 本题考查函数与不等式、 对数与指数运算, 涉及函数与不等式思想、 数形结合思想和转化化高新, 以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力与能力,综合性较强,属于较难题型. 第一小题利用函数与 1 15 不等式思想和转化化归思想将原不等式转化为 2 x ? 7 ? ? ? 4 x ? 1? ,解得 x ? ;第二小题利用数学结合思想 2 8 3 ? ?32 ? 2 ? g ?1? ? 0 和转化思想,将原命题转化为 ? , 1 128? . ? ? a ? 128 ,进而求得: a ? ? ? ? 4 ? ?1 , 4 ? ? ? ? g ? 0? ? 0 22.【答案】C 【解析】

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23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵椭圆 C: + =1(a>b>0)的短轴长为 2 ,且离心率 e= ,



2 2 ,解得 a =4,b =3,

∴椭圆 C 的方程为

=1. ),

(Ⅱ)设直线 MN 的方程为 x=ty+1,(﹣ 代入椭圆 ∴
2 2 ,化简,得(3t +4)y +6ty﹣9=0,





设 M(x1,y1),N(x2,y2),又 F1(﹣1,0),F2(1,0), 则直线 F1M: ∴ 令 μ= ∵y= = | ∈[1, = ),则 在[1, ,令 x=4,得 P(4, |=15×| =180× )上是增函数, )min= . , ),同理,Q(4, |=180×| ), |,

∴当 μ=1 时,即 t=0 时,(

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意韦 达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用. 24.【答案】 【解析】解:(1)设切点 由 . ,

,知抛物线在 Q 点处的切线斜率为 .

故所求切线方程为

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2 即 y= x0x﹣ x0 .

因为点 P(0,﹣4)在切线上. 所以 , ,解得 x0=±4.

所求切线方程为 y=±2x﹣4. (2)设 A(x1,y1),C(x2,y2). 由题意知,直线 AC 的斜率 k 存在,由对称性,不妨设 k>0. 因直线 AC 过焦点 F(0,1),所以直线 AC 的方程为 y=kx+1. 点 A,C 的坐标满足方程组 得 x ﹣4kx﹣4=0, 由根与系数的关系知 |AC|= , =4(1+k2),
2



因为 AC⊥BD,所以 BD 的斜率为﹣ ,从而 BD 的方程为 y=﹣ x+1. 同理可求得|BD|=4(1+ SABCD= |AC||BD|= 当 k=1 时,等号成立. 所以,四边形 ABCD 面积的最小值为 32. 【点评】本题考查抛物线的方程和运用,考查直线和抛物线相切的条件,以及直线方程和抛物线的方程联立, 运用韦达定理和弦长公式,考查基本不等式的运用,属于中档题. ), =8(2+k2+ )≥32.

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