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山东省临沂市临沭县2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

山东省临沂市临沭县 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 A.B=A∩C B.B∪C=C 的是() C. D.y=cos4x 的角},那么 A、B、C 关系是() D.A=B=C

C.A?C

2.下列函数中,最小正周期为 A.

B.y=sin2x

3.与角﹣420°终边相同的角是() A. B. C. D.

4.已知平面向量 =(1,2) , =(﹣2,m) ,且 ∥ ,则 A.(﹣5,﹣10) B.(﹣4,﹣8) C.(﹣3,﹣6)

=() D.(﹣2,﹣4)

5.如果点 P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,那么角 θ 所在象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.一个扇形的弧长与面积都是 5,则这个扇形圆心角的弧度数为() A.2rad B. rad C.1rad D. rad

7.已知平面上四点 A,B,C 满足 A.等腰三角形 C. 直角三角形 8.为了得到函数 () A.向右平移 B.向右平移

,则△ ABC 的形状是() B. 等边三角形 D.等腰直角三角形 的图象,只需要把函数 y=3sin2x 的图象上所有的点

C.向左平移

D.向左平移

9.已知 sina+cosa=

,且 a∈(0,π) ,则 sinacosa 的值为()

A.﹣

B.

C. ±

D.﹣

10.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) 且 f(﹣x)=f(x) ,则() A.f(x)在 C. f(x)在(0, 单调递减 )单调递增 B. f(x)在( D.f(x)在( , ,

的最小正周期为 π,

)单调递减 )单调递增

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11.已知| |=1,| |=3,它们的夹角为 120°,那么| ﹣ |=.

12.已知 tana= ,则 sin2a=.

13.化简 2



=.

14.求值:tan20°+tan40°+ 15.函数 f(x)=3sin(2x﹣ ①图象 C 关于直线 x=

tan20°tan40°=. )的图象为 C,下列命题:

π 对称; , )内是增函数;

②函数 f(x)在区间(﹣ ③将 y=sin(2x﹣ 象 C; ④图象 C 关于点(

)的图象上的点横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 3 倍即可得到图

,0)对称.

其中,正确命题的编号是. (写出所有正确命题的编号)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (1)已知角 a 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(﹣3, ) , 求 的值.

(2)在△ ABC 中,sinA=

,cosB= ,求 cosC 的值.

17.已知: 、 、 是同一平面内的三个向量,其中 =(1,2) (1)若| |=2 (2)若| |= ,且 ∥ ,求 的坐标; ,且 +2 与 2 ﹣ 垂直,求 与 的夹角 θ.

18.如图,在△ OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点, (1)若 (2)若 ,求 x,y 的值; , , ,且 与 的夹角为 60°时,求



的值.

19.如图,设 A 是单位元和 x 轴正半轴的交点,P、Q 是单位圆上的两点,O 是坐标原点, ∠AOP= ,∠POQ=α,α∈(0,π) .

(1)求 P 点坐标; (2)若 Q( , ) ,求 cosα 的值.

20.已知函数 y=3sin( x﹣



(1)用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象; (2)求此函数的振幅、周期和初相; (3)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

21.设函数 f(x)=

cos ωx+sinωxcosωx+a(其中 ω>0,a∈R) ,且 f(x)的图象在 y 柱 .

2

右侧的第一个最高点的横坐标为 (1)求 ω 的值; (2)如果 f(x)在区间[0,

]上有两个实数解,求 a 的取值范围.

山东省临沂市临沭县 2014-2015 学年高一下学期期中数 学试卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 A.B=A∩C B.B∪C=C 的角},那么 A、B、C 关系是() D.A=B=C

C.A?C

考点: 任意角的概念;集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 先明确第一象限角的定义,锐角的定义,小于 通过举反例、排除等手段,选出应选的选项. 解答: 解:∵A={第一象限角}={θ|2kπ<θ<2kπ+ C={小于 的角}={θ|θ< },B={锐角}= ,k∈Z}, , 的角的定义,结合所给的选项,

∴B∪C=C, 故选:B. 点评: 本题考查任意角的概念, 集合间的包含关系的判断及应用, 准确理解好定义是解决 问题的关键.

2.下列函数中,最小正周期为 A.

的是() C. D.y=cos4x

B.y=sin2x

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的周期性和求法, 求得各个选项中的函数的最小正周期, 从而得出结 论. 解答: 解:由于 的周期为 =2π,不满足条件,故排除除.

由于函数 y=sin2x 的周期为 由于函数 y=cos 的周期为

=π,不满足条件,故排除除. =8π,不满足条件,故排除除.

由于函数 y=cos4x 的周期为

=

,满足条件,

故选 D. 点评: 本题主要考查三角函数的周期性与求法,属于基础题. 3.与角﹣420°终边相同的角是() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

终边相同的角. 三角函数的求值. 根据终边相同的角的表示方法,结合角度制与弧度制的关系,即可得出结论. 解:与﹣420°角终边相同的角为:n?360°﹣420°(n∈Z) , (n∈Z) , .

化为弧度制为:2nπ﹣ 当 n=2 时,2nπ﹣ =

故选:D. 点评: 本题是基础题,考查终边相同的角的表示方法及角度制和弧度制的转化.

4.已知平面向量 =(1,2) , =(﹣2,m) ,且 ∥ ,则 A.(﹣5,﹣10) B.(﹣4,﹣8) C.(﹣3,﹣6)

=() D.(﹣2,﹣4)

考点: 平面向量坐标表示的应用. 分析: 向量平行的充要条件的应用一种做法是根据平行求出向量的坐标, 然后用向量线性 运算得到结果;另一种做法是针对选择题的特殊做法,即排除法.

解答: 解:排除法:横坐标为 2+(﹣6)=﹣4, 故选 B. 点评: 认识向量的代数特性.向量的坐标表示,实现了“形”与“数”的互相转化.以向量为 工具,几何问题可以代数化,代数问题可以几何化. 5.如果点 P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,那么角 θ 所在象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 三角函数值的符号. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的点在第三象限,写出这个点的横标和纵标都小于 0,根据这两个都小于 0,得到角的正弦值大于 0,余弦值小于 0,得到角是第二象限的角. 解答: 解:∵点 P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限, ∴sinθcosθ<0 2cosθ<0, ∴sinθ>0, cosθ<0 ∴θ 是第二象限的角. 故选 B 点评: 本题考查三角函数的符号, 这是一个常用到的知识点, 给出角的范围要求说出三角 函数的符号,反过来给出三角函数的符号要求看出角的范围. 6.一个扇形的弧长与面积都是 5,则这个扇形圆心角的弧度数为() A.2rad B. rad C.1rad D. rad

考点: 扇形面积公式;弧长公式. 专题: 三角函数的求值. 分析: 首先根据扇形的面积求出半径,再由弧长公式得出结果. 解答: 解:根据扇形的面积公式 S= lr 可得: 5= ×5r, 解得 r=2cm, 再根据弧长公式 l= 解得 n= 扇形的圆心角的弧度数是 = rad. =5cm,

故选:D. 点评: 本题主要是利用扇形的面积公式先求出扇形的半径,再利用弧长公式求出圆心角. ,则△ ABC 的形状是()

7.已知平面上四点 A,B,C 满足

A.等腰三角形 C. 直角三角形 考点: 专题: 分析: 解答: 则2 ∵( ∴2 ? = +

B. 等边三角形 D.等腰直角三角形

三角形的形状判断;平面向量数量积的运算. 计算题;解三角形. 取 AC 的中点 D,连接 BD,利用向量的和的几何意义可判断△ ABC 的形状 解:取 AC 的中点 D,连接 BD, + )? =0, , =0,

∴|AB|=|BC|, ∴△ABC 为等腰三角形. 故选 A. 点评: 本题考查三角形的形状判断, 考查平面向量数量积的运算, 理解向量的和的几何意 义是关键,属于中档题.

8.为了得到函数 () A.向右平移 B.向右平移

的图象,只需要把函数 y=3sin2x 的图象上所有的点

C.向左平移

D.向左平移

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 函数 变换规律,得出结论. 解答: 解:为了得到函数 y=3sin2x 的图象上所有的点向右平移 =3sin2(x﹣ 个单位即可, )的图象,只需要把函数 =3sin2(x﹣ ) ,再根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象

故选 B. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题. 9.已知 sina+cosa= A.﹣ ,且 a∈(0,π) ,则 sinacosa 的值为() B. C. ± D.﹣

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值.

分析: 已知等式两边平方, 利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简, 整理即可 求出 sinαcosα 的值. 解答: 解:把 sinα+cosα= ﹣ , 则 sinαcosα=﹣ , 故选:A. 点评: 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. ,两边平方得: (sinα+cosα) =1+2sinαcosα= ,即 2sinαcosα=
2

10.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) 且 f(﹣x)=f(x) ,则() A.f(x)在 C. f(x)在(0, 单调递减 )单调递增 B. f(x)在( D.f(x)在( , ,

的最小正周期为 π,

)单调递减 )单调递增

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用辅助角公式将函数表达式进行化简,根据周期与 ω 的关系确定出 ω 的值,根 据函数的偶函数性质确定出 φ 的值,再对各个选项进行考查筛选. 解答: 解:由于 f(x)=sin(ωx+?)+cos(ωx+?)= 由于该函数的最小正周期为 T= 又根据 f(﹣x)=f(x) ,得 φ+ 因此,f(x)= 若 x∈ 若 x∈( , ,得出 ω=2, = +kπ(k∈Z) ,以及|φ|< cos2x, ,则 2x∈(0,π) ,从而 f(x)在 ) ,则 2x∈( , ) , 单调递减, ,得出 φ= . ,

该区间不为余弦函数的单调区间,故 B,C,D 都错,A 正确. 故选 A. 点评: 本题考查三角函数解析式的确定问题, 考查辅助角公式的运用, 考查三角恒等变换 公式的逆用等问题, 考查学生分析问题解决问题的能力和意识, 考查学生的整体思想和余弦 曲线的认识和把握.属于三角中的基本题型. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11.已知| |=1,| |=3,它们的夹角为 120°,那么| ﹣ |= .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知得到向量的数量积,将所求平方展开,转化为向量的数量积和平方的关系, 计算即可. 解答: 解:| ﹣ | =| | +| | 2 ? =1+9+2| || |cos120°=13,所以| ﹣ |=
2 2 2



故答案为: . 点评: 本题考查了向量的模的求法;一般的,要求向量的模,根据向量平方与模的平方相 等,先求其平方,计算后,再开方求模.

12.已知 tana= ,则 sin2a= .

考点: 二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由万能公式即可求值. 解答: 解:∵tana= ,

∴sin2α=

=

= .

故答案为: . 点评: 本题主要考查了万能公式的应用,属于基本知识的考查. 13.化简 2 ﹣ =2cos4.

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 将被开方数利用三角函数关系式、倍角公式分别分解因式,化简求值. 解答: 解:原式=2 ﹣ =2 =2

(cos4﹣sin4)+2sin4=2cos4. 故答案为:2cos4. 点评: 本题考查了利用三角函数的基本关系式、倍角公式化简三角函数式;注意 sin4< cos4<0. 14.求值:tan20°+tan40°+ tan20°tan40°= .

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题;压轴题.

分析: 利用 60°=20°+40°,两角和的正切公式,进行变形,化为所求式子的值. 解答: 解:tan60°=tan= =

tan20°+tan40°+ tan20°tan40 故答案为: 点评: 本题考查两角和的正切函数公式的应用, 考查计算化简能力, 观察能力, 是基础题.

15.函数 f(x)=3sin(2x﹣ ①图象 C 关于直线 x=

)的图象为 C,下列命题:

π 对称; , )内是增函数;

②函数 f(x)在区间(﹣ ③将 y=sin(2x﹣ 象 C; ④图象 C 关于点(

)的图象上的点横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 3 倍即可得到图

,0)对称.

其中,正确命题的编号是①②③. (写出所有正确命题的编号) 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象的对称性可得①正确, ④不正确. 根据函数 y=Asin (ωx+φ)的单调性可得②正确,根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变化规律可得③正确. 解答: 解:∵函数 f(x)=3sin(2x﹣ )的图象为 C,当 x= π 时,f(x)=3sin =

﹣3,取得最小值,故①图象 C 关于直线 x= 令 2kπ﹣ kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,求得 kπ﹣

π 对称,故①正确. ≤x≤kπ+ ,k∈z,故函数的增区间为[﹣ ,

],k∈z, , )内是增函数,故②正确.

故 f(x)在区间(﹣ 将 y=sin(2x﹣ =3sin(2x﹣ 由于当 x=

)的图象上的点横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 3 倍即可得到 f(x) )的图象 C,故③正确.

时,f(

)=3sin

=

≠0,故函数 f(x)的图象 C 不关于点(

,0)对

称,故④不正确, 故答案为:①②③.

点评: 本题主要考查函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象的对称性、 单调性, 函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象变换规律,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (1)已知角 a 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(﹣3, ) , 求 (2)在△ ABC 中,sinA= 的值. ,cosB= ,求 cosC 的值.

考点: 三角函数的化简求值;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)根据题意分别求得 sinα,cosα 和 tanα 的值,利用诱导公式进行化简,进而求 得答案. (2)求得 sinB,cosA 的值,进而利用两角和公式求得答案. 解答: 解: (1)因为角 α 的终边经过点 P(﹣3, ) 所以 r=|OP|= 所以 sinα= ,cosα=﹣ 原式= = ,tanα=﹣ ﹣ =2 , ,

= ﹣2=﹣

(2)因为在△ ABC 中,sinA= 所以 sinB= > , .

,cosB=

所以 B>A,得出 cosA=

∴cosC=﹣cos(A+B)=sinAsinB﹣cosAcosB=

× ﹣

× =﹣



点评: 本题主要考查了诱导公式, 同角三角函数关系化简求值. 解题过程中特别注意三角 函数符号的判断.

17.已知: 、 、 是同一平面内的三个向量,其中 =(1,2) (1)若| |=2 (2)若| |= ,且 ∥ ,求 的坐标; ,且 +2 与 2 ﹣ 垂直,求 与 的夹角 θ.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量共线(平行)的坐标表示;数量积 表示两个向量的夹角.

专题: 计算题. 分析: (1)设 坐标. (2)由 ,知 ,整理得 ,故 ,由| |=2 ,且 ∥ ,知 ,由此能求出 的

,由此能求出 与 的夹角 θ.

解答: 解: (1)设 ∵| |=2 ∴ ,且 ∥ , ,…



解得



,…

故 (2)∵ ∴ 即 ∴ 整理得

或 , , ,… , ,…

.…



,…

又∵θ∈[0,π],∴θ=π.… 点评: 本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用, 是基 础题.解题时要认真审题,仔细解答. 18.如图,在△ OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点, (1)若 (2)若 ,求 x,y 的值; , , ,且 与 的夹角为 60°时,求 的值.



考点: 平面向量数量积的运算;向量的加法及其几何意义;向量的三角形法则;数量积表 示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: (1) ,据相等向量的定义及向量的运算法则:三角形法则求出 基本定理求出 x,y 的值 (2) 利用向量的运算法则将 用 表示, 利用向量数量积的运算律将 用 ,利用平面向量

的模及它们的数量积表示求出值. 解答: 解: (1)∵ ∴ ∴ (2)∵ ∴ ∴ ∴ , ,即 ,即 , ,即 , , ,

= = 点评: 本题考查向量的加法、减法的运算法则;向量的数量积及其运算律; 利用运算法则将未知的向量用已知向量表示, 从而将未知向量的数量积, 用已知向量的数量 积表示. 19.如图,设 A 是单位元和 x 轴正半轴的交点,P、Q 是单位圆上的两点,O 是坐标原点, ∠AOP= ,∠POQ=α,α∈(0,π) .

(1)求 P 点坐标; (2)若 Q( , ) ,求 cosα 的值.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)设 P(x,y)则由题意可得 x=cos 标. (2)由 Q 的坐标求得 cos(α+ 求 cosα 的值. 解答: 解: (1)设 P(x,y) ,则 x=cos 所以 P( , )… )= ,sin(α+ )cos )= … )sin = … = ,y=sin = , )= ,sin(α+ )= ,利用 cosα=cos(α+ ﹣ ) , = ,y=sin = ,即可求出点 P 的坐

(2)因为 Q( , ) ,所以 cos(α+ 所以 cosα=cos(α+ ﹣ )=cos(α+

+sin(α+

点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角差的余弦公式的应用,属于中档题.

20.已知函数 y=3sin( x﹣



(1)用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象; (2)求此函数的振幅、周期和初相; (3)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

考点: 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象.

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)用五点法求出对应的点的坐标,即可在坐标系中作出函数一个周期的图象; (2)根据三角函数的定义和性质即可求此函数的振幅、周期和初相; (3)结合三角函数的性质即可求出此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解答: 解 (1)列表: x 0 3sin 0 3 π 0 2π ﹣3 0

描点、连线,如图所示: (2)周期 T= = =4π,振幅 A=3,初相是﹣ .

(3)令

=

+kπ(k∈Z) ,

得 x=2kπ+ π(k∈Z) ,此为对称轴方程. 令 x﹣ =kπ(k∈Z)得 x= +2kπ(k∈Z) . (k∈Z) .

对称中心为

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质, 要求熟练掌握五点作图法, 以及熟练掌握三 角函数的有关概念和性质. 21.设函数 f(x)= cos ωx+sinωxcosωx+a(其中 ω>0,a∈R) ,且 f(x)的图象在 y 柱 .
2

右侧的第一个最高点的横坐标为 (1)求 ω 的值; (2)如果 f(x)在区间[0,

]上有两个实数解,求 a 的取值范围.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)=sin(2ωx+ + +a,由 2ω? + = 即可解得 ω 的值. ∈[ , ],由 g(x)=sin(x+ )+ 与函数 y=﹣a )

(2)由 x∈[0,

]时,可得 x+

的图象有两个交点,即可求得 a 的取值范围. 解答: 解: (1)f(x)= =sin(2ωx+ 依题意得 2ω? )+ + cos2ωx+ sin2ωx+ +a….

+a…4 分 = 解得 ω= …. )+ , +a ]… )+ 与函数 y=﹣a 的图象

(2)由(1)知 f(x)=sin(x+ 又当 x∈[0, ]时,设 x+ ∈[

f(x)=0 在[0, 有两个交点.…

]上有两个实数解,即函数 g(x)=sin(x+

由函数 g(x)的图象得 a 的取值范围是(﹣1﹣

,﹣

]…

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用, 正弦函数的图象和性质, 属于基本知 识的考查.


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