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江苏省连云港市东海县白塔高级中学高三数学一轮复习 15 第3章 三角函数的图像与性质导学案 理

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高三数学理科复习 15――三角函数的图像与性质
【高考要求】 :正弦、余弦、正切函数的图象和性质(B); 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与性质 (A) 【教学目标】 :了解三角函数的周期性,知道三角函数 y=Asin(ω x+φ ),y=Acos(ω x+φ ) 的周期为 T ?

2?

?

.

能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在 [0,2π ],正切函数在(- 等). 了解三角函数 y=Asin(ω x+φ )的实际意义及其参数 A,ω ,φ 对函数图象变化的 影响;会画出 y=Asin(ω x+φ )的简图,能由正弦曲线 y=sinx 通过平移、伸缩变换得 到 y=Asin(ω x+φ )的图象. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要 函数模型. 【教学重难点】 :正弦、余弦、正切函数的图象和性质;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与性 质. 【知识复习与自学质疑】 一.问题. 1.怎样用五点法作 y=sin x,y=cos x, y=Asin(ω x+φ )的图像?关键点是哪几个? 2.列表研究 y=sin x,y=cos x, y=tan x ,y=Asin(ω x+φ )的图像与性质.(从定义域、 值域、图像、奇偶性、对称性、周期、单调性等几方面分析). 3. 函数 y=Asin(ω x+φ ) ( x ? R, A ? 0, ? ? 0) 的图像可以看作是由 y=sinx 的图像经过怎 样的变换得到? 二.练习. 1.写出下列函数的最小正周期 (1) y ? 3cos(2 x ?
4

π π , )上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点 2 2

?

6 4 (3) y ? cos x ? sin x;
2.求出下列函数的定义域 (1) y ?

);

x ? ); ? 7 (4) y ? 2 tan ax(a为不为零的常数)
; (2) y ?

(2) y ? 2sin(

2

?

sin

x 的定义域 3

sin 2 x 的定义域 cos x

3.判断下列函数的奇偶性 (1) y ? x sin x (3) y ? (2) y ? cos(

3? ? x) 2

sin 2 x (4) y ? lg cos x ?1 sin x 4.(1)函数 y ? 2sin(? x) 的单调递增区间是
(2)函数 y ? 3sin(

?
3

? 2 x) 的单调递减区间是

(3)函数 y ? tan( x ?

?
2

) 的单调递减区间是

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5.先将函数 y ? f ( x) 的图像右移

?
8

个单位,再把图像上每一点的横坐标扩大为原来的两倍,

所得图像恰好与函数 y ? 3sin( x ?

?
6

) 的图像相同,则 f ( x) 的解析式为

6.设 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ?

是 ? ,则 f ? x ? 的图象的一个对称中心是_______________________ 【例题精讲】 例 1.已知函数 y ? 2sin(2 x ?

? ?

?
2

?? ?

??

2? 对称,它的周期 ? 的图象关于 x ? 3 2?

?
3

).

(1)用五点法作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图 (2)说明 y ? 2sin(2 x ?

?
3

) 的图像可由 y ? sin x 的图像经怎样变换而得到。

例 2.已知正弦函数 f1 ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像如右图所示, (1)求出函数的解析式。 (2)求与 f1 ( x) 图像关于直线 x ? 8 对称的曲线的解析式 f 2 ( x) (3)作出函数 y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的图像的简图

例 3.求函数的定义域 (1) y ?

sin x (2) y ? 2 ? log 1 x ? tan x ? 2sin x ? 1 ; tan x 2

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例 4.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? sin 2 x ? x ? tan x (2) f ( x) ?

cos x(1 ? sin x) tan x ? 1 (3) f ( x) ? lg 1 ? sin x tan x ? 1

【矫正反馈】 1.函数 y ? lg sin x ? cos x ?

1 的定义域为 2

2. 若 函 数 f ( x) 具 有 性 质 :( 1 ) f ( x) 为 偶 函 数 ( 2 ) 对 于 任 意

x ? R, 有f ( ? x) ? f ( ? x) ,则函数 f ( x) 的解析式可以是 4 4
(只要写出满足条件的一个即可) 3.函数 y

?

?

? 3sin(2 x ? ) 与 y 轴最近的对称轴是 6
?
8
对称,则 a 的值为

?

4.若函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ? 5.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象, 只需将 y ? cos(2 x ? 个单位即可. 6.函数 y ? 2sin ? 7.把曲线

?

4

) 的图象向_______平移____________

?? ? ? 2 x ? ? x ? ? 0, ? ?? 的单调区间为_________________________ ?6 ?

y cos x ? 2 y ? 1 ? 0 先沿 x 轴向右平移

?
2

个单位,再向下平移一个单位,得到曲

线方程是______________________________ 【迁移应用】 1. f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? 一个最大值点和最小值点为 ( x0 , 2) 和 ( x0 (1)求 f ? x ? 的解析式

? ?

??

? 3? , ?2)

? 的图象在 y 轴上截距为 1 ,在 y 轴右侧的第 2?

(2) 将 y ? f ( x) 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) , 再将所得图像沿 x

1 3

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轴正方向平移

?
3

个单位,得到函数 y ? g ( x ) 的图像,写出 y ? g ( x ) 的解析式并列表画出长度

为一个周期的简图。

2.已知函数

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期

? f ( x) ? a sin x cos x ? b cos 2 x ,且 f (0) ? 2, f ( ) ? 3 6

(2)求函数 f ? x ? 的最大值、最小值及取得最大、最小值时的 x 的值

3.设函数 f ( x) ? 5sin x cos x ? 5 3 cos x ?
2

(1)求 f ? x ? 的最小正周期 (2)确定 f ? x ? 的递增区间

5 3 ,x?R 2

(3) f ? x ? 的图像是由函数 y ? 5sin 2 x 的图像经过如何平移得到的?

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