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2018年高中数学课下能力提升(十六)离散型随机变量的方差和标准差苏教版选修2_3

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课下能力提升(十六)
一、填空题 1.已知 X 的概率分布为

离散型随机变量的方差和标准差

X P
则 V(X)=________.

1

2 0.1

3 0.6

a

1 2. 一批产品中, 次品率为 , 现有放回地连续抽取 4 次, 若抽的次品件数记为 X, 则 V(X) 4 的值为________. 3.已知 X~B(n,p),且 E(X)=7,V(X)=6,则 p=________. 4.已知随机变量 X 的概率分布为

X P

0 1 5

1

x
3 10

p

且 E(X)=1.1,则 V(X)的值为________. 5. 篮球比赛中每次罚球命中得 1 分, 不中得 0 分. 已知某运动员罚球命中的概率为 0.7, 则他一次罚球得分的方差为________. 二、解答题 6.有 10 张卡片,其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5,从中随机地抽取 3 张卡片, 设 3 张卡片数字之和为 X,求 E(X)和 V(X).

7.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相 等,而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为:

X P Y P

0 0.3 0 0.1

1 0.3 1 0.5

2 0.2 2 0.4

3 0.2

试评定这两个保护区的管理水平.

1

8.编号为 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位,每位学生坐一个 座位,设与座位编号相同的学生的个数是 X,求 V(X).

答案 1.解析:∵a+0.1+0.6=1,∴a=0.3. ∴E(X)=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3. 2 2 2 ∴V(X)=(1-2.3) ×0.3+(2-2.3) ×0.1+(3-2.3) ×0.6=0.81. 答案:0.81

? 1? 2.解析:由题意,次品件数 X 服从二项分布,即 X~B?4, ?, ? 4?
1 3 3 故 V(X)=np·(1-p)=4× × = . 4 4 4 3 答案: 4 3.解析:∵E(X)=np=7,V(X)=np(1-p)=6, 6 1 ∴1-p= ,即 p= . 7 7 1 答案: 7 1 3 1 4.解析:由随机变量分布列的性质可得 p=1- - = . 5 10 2 1 1 3 1 2 2 又 E(X)=0× +1× +x× =1.1,解得 x=2,可得 V(X)=(0-1.1) × +(1-1.1) 5 2 10 5 1 3 2 × +(2-1.1) × =0.49. 2 10 答案:0.49 5.解析:设一次罚球得分为 X,X 服从两点分布,即

X P

0 0.3

1 0.7

所以 V(X)=p(1-p)=0.7×0.3=0.21. 答案:0.21 6.解:这 3 张卡片上的数字和 X 的可能取值为 6,9,12. X=6 表示取出的 3 张卡片上都标有 2, C8 7 则 P(X=6)= 3 = . C10 15
3

X=9 表示取出的 3 张卡片上两张标有 2,一张标有 5,
C8C2 7 则 P(X=9)= 3 = . C10 15
2 1

X=12 表示取出的 3 张卡片中两张标有 5,一张标有 2,
2

C8C2 1 则 P(X=12)= 3 = . C10 15 所以 X 的分布列如下表:

1 2

X P

6 7 15

9 7 15

12 1 15

7 7 1 所以 E(X)=6× +9× +12× =7.8. 15 15 15

V(X)=(6-7.8)2× +(9-7.8)2× +(12-7.8)2×

7 15

7 15

1 15

=3.36. 7. 解:甲保护区违规次数 X 的均值和方差为 E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3, V(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21. 乙保护区的违规次数 Y 的均值和方差为 E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3, V(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41. 因为 E(X)=E(Y),V(X)>V(Y),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次 数相同, 但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动, 乙保护区内的违规事件次数更加集中 和稳定.相对而言,乙保护区的管理较好一些. 8.解:先求 X 的分布列. X=0,1,2,3. X=0 表示三位学生全坐错了,情况有 2 种, 所以 P(X=0)= 2 1 = ; 3! 3 3 1 = ; 3! 2

X=1 表示只有一位同学坐对了,情况有 3 种,
所以 P(X=1)=

X=2 表示有两位学生坐对,一位学生坐错,这种情况不存在,所以 P(X=2)=0; X=3 表示三位学生全坐对了,情况有 1 种,
所以 P(X=3)= 1 1 = . 3! 6

所以 X 的概率分布如下:

X P

0 1 3

1 1 2

2 0

3 1 6

1 1 1 所以 E(X)=0× +1× +2×0+3× 3 2 6 1 1 = + =1, 2 2

V(X)=(0-1)2× +(1-1)2× +(2-1)2×0+(3-1)2× =1.

1 3

1 2

1 6

3


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