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2015年全国高考文科数学试题—全国卷Ⅱ


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2015 年全国高考文科数学试题—全国卷Ⅱ
1.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | 0 ? x ? 3} ,则 A ? B ? ( A. ( ?1, 3) 答案:A 分析:因为 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | 0 ? x ? 3} ,所以 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,故选 A . B. ( ?1, 0) C. (0, 2) ) D. (2,3)

2.若 a 为实数, A. ?4 答案:D

2 ? ai ? 3 ? i 且,则 a ? ( 1? i

) D. 4

B. ?3

C. 3

分析:由题意可得 2 ? ai ? (1 ? i)(3 ? i) ? 2 ? 4i ? a ? 4 ,故选 D .

3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图.以下结论 不正确的是( )

A. 逐年比较, 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B. 2007 年我国治理二氧化硫排放显现

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C. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案:D 分析:由柱形图得,从 2006 年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份 负相关,故选 D .

? ? ? ? ? 4.已知 a ? (1, ?1) , b ? (?1, 2) ,则 (2a ? b ) ? a ? (

) D. 2

A. ?1 答案:C

B. 0

C. 1

? ? ? ? ? ? ? ? ? 分析:由题意可得 a 2 ? 2 , a ? b ? ?3 ,所以 (2a ? b ) ? a ? 2a 2 ? a ? b ? 4 ? 3 ? 1.故选 C .

5.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? ( A. 5 答案:A 分析: a1 ? a3 ? a5 ? 3a3 ? 3 ? a3 ? 1 , S5 ? B. 7 C. 9 D. 11



5(a1 ? a5 ) ? 5a3 ? 5 .故选 A . 2

6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部 分体积的比值为( )

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A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

答案:D 分析:由三视图得,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,截去四面体 A ? A1 B1 D1 ,如图所示,设正 方体棱长为 a ,则 VA? A B D ? ? a3 ? a3 ,故剩余几何体体积为 a3 ? a3 ? a3 ,所以截去部
11 1

1 1 3 2

1 6

1 6

5 6

分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选 D .

1 5

7.已知三点 A(1,0), B(0, 3), C(2, 3) ,则 ?ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( A.
5 3



B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

答案:B 分析: ?ABC 外接圆圆心在直线 BC 垂直平分线上即直线 x ? 1 上,设圆心 D(1, b) ,由

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DA ? BD 得 | b |? 1 ? (b ? 3) 2 ? b ?

2 2 2 21 2 2 ) ? ,所以圆心到原点的距离 d ? 12 ? ( . 3 3 3

8.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” .执行该程 序框图,若输入 a , b 分别为 14 , 18 ,则输出的 a 为( )

A. 0 答案:B

B. 2

C. 4

D. 14

分析:程序在执行过程中, a ,b 的值依次为 a ? 14 ,b ? 18 ;b ? 4 ; a ? 10 ; a ? 6 ; a ? 2 ;
b ? 2 ,此时 a ? b ? 2 程序结束,输出 a 的值为 2 ,故选 B .

9.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? A. 2 答案:C B. 1

1 , a3 a5 ? 4(a4 ? 1) ,则 a2 ? ( 4



C.

1 2

D.

1 8

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a4 1 ? 8 ? q ? 2 ,故 a2 ? a1q ? , a1 2

分析:由题意可得 a3 a5 ? a42 ? 4(a4 ? 1) ? a4 ? 2 ,所以 q 3 ? 选C .

10.已知 A ,B 是球 O 的球面上两点,?AOB ? 90? ,C 为该球面上的动点, 若三棱锥 O ? ABC 体积的最大值为 36 ,则球 O 的表面积为( A. 36? 答案:C 分析:如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O ? ABC 的体积最大, 设球 O 的半径为 R ,此时 VO ? ABC ? VC ? AOB ? ? R2 ? R ? R3 ? 36 ,故 R ? 6 ,则球 O 的表面 积为 S ? 4? R 2 ? 144? ,故选 C .
1 1 3 2 1 6

) C. 144? D. 256?

B. 64?

11.如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2 , BC ? 1 ,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC ,CD 与 DA 运动,记 ?BOP ? x .将动 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ( x) ,则 y ? f ( x) 的图

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像大致为(



A.

B.

C.

D.

答案:B 分析:由已知得,当点 P 在 BC 边上运动时,即 0 ? x ? 当点 P 在 CD 边上运动时,即
x?

?
4

时, PA ? PB ? tan 2 x ? 4 ? tan x ;

?
4

?x?

1 1 3? ? 1) 2 ? 1 ? ( ? 1) 2 ? 1 ,当 时, PA ? PB ? ( tan x tan x 4

?
2

时 , PA ? PB ? 2 2 , 当 点 P 在 AD 边 上 运 动 时 , 即
P? B t a 2n

3? ? x ?? 时 , 4

P A ?

? x 4 ? t ,从点 a n x P 的运动过程可以看出,轨迹关于直线 x ?

?
2

对称,且

f ( ) ? f ( ) ,且轨迹费线型,故选 B . 4 2

?

?

12.设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? A. ( ,1) 答案:A
1 3

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是( 1 ? x2 1 3



B. (??, ) ? (1, ??)

C. (? , )

1 1 3 3

D. (??, ? ) ? ( , ??)

1 3

1 3

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分 析 : 由 f ( x) ? ln(1? | x |) ?

1 可 知 f ( x) 是 偶 函 数 , 且 在 [0, ??) 是 增 函 数 , 所 以 1 ? x2 1 ? x ? 1 .故选 A . 3

f ( x) ? f (2 x ? 1) ? f (| x |) ? f (| 2 x ? 1|) ?| x |?| 2 x ?1|?

13.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x 的图像过点 ( ?1, 4) ,则 a ? _________. 答案: ?2 分析:由 f ( x) ? ax3 ? 2 x 可得 f (?1) ? ?a ? 2 ? a ? ?2 .

?x ? y ? 5 ? 0 ? 14.若 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为_______. ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?

答案: 8
?x ? y ? 5 ? 0 ? 分析: 不等式 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 表示的可行域是以 (1,1), (2,3), (3, 2) 为定点的三角区域:z ? 2 x ? y 的 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?

最大值必须在顶点处取的,经验算: x ? 3, y ? 2 时 zmax ? 8 .

1 15.已知双曲线过点 (4, 3) ,且渐近线方程为 y ? ? x ,则该双曲线的标准方程为_______. 2

答案:

x2 ? y2 ? 1 4

1 x2 分析:根据双曲线渐近线方程为 y ? ? x ,可设双曲线的方程为 ? y 2 ? m ,把 (4, 3) 代入 2 4
x2 x2 ? y 2 ? m 得 m ? 1 ,所以双曲线的方程为 ? y 2 ? 1 . 4 4

16.已知曲线 y ? x ? ln x 在点 (1,1) 处的切线与曲线 y ? ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 相切, 则 a ? __________. 答案: 8

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分析: 由 y? ? 1 ? 可得曲线 y ? x ? ln x 在点 (1,1) 处的切线斜率为 2 , 故切线方程为 y ? 2 x ? 1 , 与 y ? ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 联立得 ax 2 ? ax ? 2 ? 0 ,显然 a ? 0 ,所以由 ? ? a 2 ? 8a ? 0 ? a ? 8 .

1 x


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