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2018版高中数学必修二同步学习讲义(打包39份) 人教课标版20(优秀教案)

空间中直线与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系
学习目标 .掌握直线与平面的三种位置关系,会判断直线与平面的位置关系.学会用图形语言、 符号语言表示三种位置关系.掌握空间中平面与平面的位置关系.
知识点一直线和平面的位置关系 思考如图所示,在长方体—中线段所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关 系?

答案三种位置关系:()直线在平面内;()直线与平面相交;()直线与平面平行.

梳理直线与平面 α 的位置关系

()直线在平面 α 内(?α).

()直线在平面 α 外??α?

知识点二两个平面的位置关系

思考观察前面问题中的长方体,平面与长方体的其余各个面,两两之间有几种位置关系?

答案两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行.

梳理平面 α 与平面 β 的位置关系

位置关系

图示

表示法

公共点个数

两平面平行

α∥β



两平面相交

α∩β= 无数个点(共线)

类型一直线与平面的位置关系

例下列四个命题中正确命题的个数是() ①如果,是两条直线,∥,那么平行于经过的任何一个平面; ②如果直线和平面 α 满足∥α,那么与平面 α 内的任何一条直线平行; ③如果直线,和平面 α 满足∥,∥α,?α,那么∥α; ④如果与平面 α 上的无数条直线平行,那么直线必平行于平面 α. .... 答案 解析如图,在正方体-′′′′中,′∥′,′在过′的平面′′内,故命题①不正确;′∥ 平面′′,?平面′′,但′不平行于,故命题②不正确;③中,假设与 α 相交,因为∥, 所以与 α 相交,这与∥α 矛盾,故∥α,即③正确;④显然不正确,故答案为.
反思与感悟空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内,直线与平面相交,直线与 平面平行.本题借助几何模型判断,通过特例排除错误命题.对于正确命题,根据线、面位 置关系的定义或反证法进行判断,要注意多种可能情形. 跟踪训练下列命题(其中,表示直线,α 表示平面):①若∥,?α,则∥α;②若∥α,∥α, 则∥;③若∥,∥α,则∥α;④若∥α,?α,则∥.其中正确命题的个数是() .... 答案 解析如图所示,在长方体—′′′′中,∥,?平面,但?平面,故①错误; ′′∥平面,′′∥平面,但′′与′′相交,故②错误; ∥′′,′′∥平面,但?平面,故③错误; ′′∥平面,?平面,但′′与异面,故④错误.
类型二平面与平面之间的位置关系
例 α、β 是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是() .平面 α 内有两条直线、都与平面 β 平行,那么 α∥β .平面 α 内有无数条直线平行于平面 β,那么 α∥β .若直线与平面 α 和平面 β 都平行,那么 α∥β

.平面 α 内所有的直线都与平面 β 平行,那么 α∥β 答案 解析、都不能保证 α、β 无公共点,如图所示;中当∥α,∥β 时,α 与 β 可能相交,如图所 示;只有说明 α、β 一定无公共点.
反思与感悟判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意 识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断. 跟踪训练已知两平面 α、β 平行,且?α,下列四个命题: ①与 β 内的所有直线平行;②与 β 内无数条直线平行; ③直线与 β 内任何一条直线都不垂直;④与 β 无公共点. 其中正确命题的个数是() .... 答案 解析①中不能与 β 内的所有直线平行而是与无数条直线平行,有一些是异面;②正确;③中 直线与 β 内的无数条直线垂直;④根据定义与 β 无公共点,正确.
例()画出两平行平面; ()画出两相交平面. 解 两个平行平面的画法:画两个平行平面时,要注意把表示平面的平行四边形画成对应边 平行,如图所示. 两个相交平面的画法:第一步,先画表示平面的平行四边形的相交两边,如图所示;第二步, 再画出表示两个平面交线的线段,如图所示;第三步,过中线段的端点分别引线段,使它们 平行且等于图中表示交线的线段,如图所示;第四步,画出表示平面的平行四边形的第四边(被 遮住部分线段可画成虚线,也可不画),如图所示.
引申探究 在图中画出一个平面与两个平行平面相交.


跟踪训练试画出相交于一点的三个平面. 解如图所示(不唯一).
.下列图形所表示的直线与平面的位置关系,分别用符号表示正确的一组是()
.?α,∩α=,∥α.?α,∩α=,∥α .?α,∩α=,∥α.∈α,∩α=,∥α 答案 解析直线在平面内用“?”,故选. .如图所示,用符号语言可表示为()
.α∩β=.α∥β,∈α.∥β,?α.α∥β,?α 答案 .若直线不平行于平面 α,且?α,则() .α 内的所有直线与异面 .α 内不存在与平行的直线 .α 内存在唯一的直线与平行 .α 内的直线与都相交 答案

解析由题意知,直线与平面 α 相交,则直线与平面 α 内的直线只有相交和异面两种位置关系, 因而只有选项是正确的. .经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是. 答案或 解析若平面外两点所在直线与平面相交时,经过这两点与已知平面平行的平面不存在.若平 面外两点所在直线与已知平面平行时,此时,经过这两点有且只有一个平面与已知平面平行. .如图,在正方体-中,分别指出直线,与正方体六个面所在平面的关系.
解 根据图形,直线?平面,直线∥平面,与其余四个面相交,直线与正方体六个面均相交.
.弄清直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助于空 间想象能力进行细致的分析. .长方体是一个特殊的图形,当点、线、面关系比较复杂时,可以寻找长方体作为载体,将 它们置于其中,立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们 给它以“百宝箱”之称.
课时作业
一、选择题 .已知直线在平面 α 外,则() .∥α .直线与平面 α 至少有一个公共点 .∩α= .直线与平面 α 至多有一个公共点 答案 解析因已知直线在平面 α 外,所以与平面 α 的位置关系为平行或相交,因此断定∥α 或断定 与 α 相交都是错误的,但无论是平行还是相交,直线与平面 α 至多有一个公共点是正确的, 故选. .与同一个平面 α 都相交的两条直线的位置关系是() .平行.相交 .异面.以上都有可能

答案 解析 直线,和平面 α,有如下情况:
故选. .若平面 α∥平面 β,?α,则与 β 的位置关系是() .与 β 相交.与 β 平行 .在 β 内.无法判定 答案 解析∵α∥β,∴α 与 β 无公共点. ∵?α,∴与 β 无公共点,∴∥β. .下列命题中的真命题是() .若点∈α,点?α,则直线与平面 α 相交 .若?α,?α,则与必异面 .若点?α,点?α,则直线∥平面 α .若∥α,?α,则∥ 答案 解析若?α,?α,则与平行、相交或异面,故不正确.对直线上两点,虽然都不在 α 内,但 直线与平面 α 可能有公共点,故直线与平面 α 也可能相交,故不正确. ?∥或,异面,故不正确. .下列命题中,正确的有() ①平行于同一直线的两条直线平行; ②平行于同一个平面的两条直线平行; ③平行于同一条直线的两个平面平行; ④平行于同一个平面的两个平面平行. .个.个.个.个 答案 解析②中,也有可能是相交或异面,故②错误;③中,存在平行于两个相交平面的交线,且 不在两个平面内的直线,故③错误. .若三个平面两两相交,则它们的交线条数是() ...或. 答案

解析三个平面两两相交,类似于三条直线两两相交,它们的交线有条或条. .下列命题正确的是() ①两个平面平行,这两个平面内的直线都平行; ②两个平面平行,其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面; ③两个平面平行,其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行; ④两个平面平行,各任取两平面的一条直线,它们不相交. .①.②③④ .①②③.①④ 答案 解析①不正确,因为有的直线可能是异面;②③④都正确,可根据线面平行的定义或面面平 行的定义或观察几何体模型进行判断. .在长方体—的六个表面与六个对角面(面、面、面、面、面及面)所在的平面中,与棱平行的 平面共有()
.个.个.个.个 答案 解析如图所示,结合图形可知∥平面,∥平面,∥平面. 二、填空题 .如图,在正方体—中判断下列位置关系:
()所在直线与平面的位置关系是; ()平面与平面的位置关系是. 答案()平行()相交 解析()所在的直线与平面没有公共点,所以平行;()平面与平面有公共点,故相交. .若,是两条异面直线,且∥平面 α,则与 α 的位置关系是. 答案?α,∥α 或与 α 相交 解析与 α 有如下情况:

故答案为?α,∥α,或与 α 相交. .互不重合的三个平面最多可以把空间分成个部分. 答案 解析互不重合的三个平面将空间分成五种情形:当三个平面互相平行时,将空间分成四部分; 当两个平面平行,第三个平面与它们相交时,将空间分成六部分;当三个平面相交于同一条 直线时,将空间分成六部分;当三个平面相交于三条直线时,且三条交线交于同一点时,将 空间分成八个部分;当三个平面相交于三条直线,且三条交线互相平行时,将空间分成七部 分.即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分.所以最多将空 间分成部分. .若不共线的三点到平面 α 的距离相等,则该三点确定的平面 β 与 α 之间的关系是. 答案平行或相交 解析当三点在平面 α 的同侧时,如图所示,由点,,到平面 α 的距离相等,设到 α 的点为,,, 则有构成三个长方形,,,于是就有∥,∥,因为两相交直线平行,所以 α∥β.当三点在平面 β 的异侧时,如图所示也成立.
三、解答题 .如图所示,在长方体-中,直线与长方体的六个面之间的位置关系如何?
解在平面内,与平面,,,都相交,与平面平行. 四、探究与拓展 .直线∥平面 α,直线∥平面 α,则直线与的位置关系为() .相交.平行 .异面.平行或异面或相交 答案

解析∵∥α,∴与 α 无公共点.∵∥α,∴与 α 也无公共点,∴∥或与异面或与相交. .如图,在正方体—中,是的中点,画出过,,的平面与平面的交线,并说明理由.
解如图,取的中点,连接,,.
∵是的中点,∴∥. 在正方体—中, ∥,=, ∴四边形是平行四边形. ∴∥,∴∥. ∴,,,四点共面. ∵∈平面,∈平面, ∈平面,∈平面, ∴平面∩平面=, ∴过,,的平面与平面的交线为.
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语的 婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁能表 达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样;从书中 找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起相关的重 要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。


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