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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科预测卷及答案(湖北卷)


2015 年全国高考湖北卷(理科)数学模拟

2015 年湖北省高考数学(理科)模拟试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形 码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两 位。 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题 卡上 书写,要求字体工整、笔迹清晰。作 .. .. 图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出, 确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。 必须在题号 ... 所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效 ,在试题卷 、草稿纸上答题无效 。 ......... .... ........ 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 ) 1. (2015?长沙模拟)设复数 z 满足 A.﹣2+i B.﹣2﹣i ,则 =( C.2+i ) D.2﹣i
2

2. (2015?株洲一模)给出下列四个命题:命题 p1:“a=0,b≠0”是“函数 y=x +ax+b 为偶函数”的必 要不充分条件;命题 p2:函数 A. p1∧p2 B.p1∨?p2
2

是奇函数,则下列命题是真命题的是( C.p1∨p2 D.p1∧?p2



3. (2015?怀化一模)已知集合 A={x|x ﹣x﹣2<0},B={x|y=lg 数 x,则 x∈A∩B 的概率为( A. B. ) C.

},在区间(﹣3,3)上任取一实

D.

4. (2015?武汉模拟)已知 m、n 是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面,则下列命题正确 的是( ) A.若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β B. 若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β C.若 m∥n,m∥a,则 n∥α D. 若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则 α∥β 5. (2015?湖北模拟)以下四个命题中: ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样 的抽样是分层抽样; ②若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1; ③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的; ④若某项测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) ,且 P(ξ ≤4)=0.9,则 P(ξ ≤﹣2)=0.1. 其中真命题的个数为( ) A. 1 B.2 C.3 D.4 6. (2015?武汉模拟)10 件产品中有 3 件次品,不放回地抽取 2 次,在第 1 次抽出的是次品的前提下, 则第 2 次抽出正品的概率是( ) A. B. C. D.
2

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7. (2015?永州二模)过双曲线



=1(a>0,b>0)的上顶点 A 作斜率为 1 的直线,该直线与双

曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C,若 A. B.

=2

,则双曲线的离心率是( C. D.



8. (2015?湖北模拟)已知函数若 x,y 满足约束条件

,目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)

处取得最小值,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣4,2) B. (﹣4,1) C. (﹣∞,﹣4)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣4)∪(1,+∞) 9. (2011?江西校级模拟)已知一个四位数其各个位置上的数字是互不相等的非负整数,且各个数字之 和为 12,则这样的四位数的个数是( ) A. 108 B.128 C.152 D.174 10. (2015?黄冈模拟)定义:如果函数 f(x)在[a,b]上存在 x1,x2(a<x1<x2<b) ,满足 f′(x1) =
3

, f′ (x2) =
2

, 则称函数 f (x) 是[a, b]上的“双中值函数”. 已 )

知函数 f(x)= x ﹣x +a 是[0,a]上“双中值函数”,则实数 a 的取值范围是( A. (1,3) B.( ,3) C.(1, )

D.(1, )∪( ,3)

二.填空题(共 6 小题) 11. (2015?湖北模拟) 已知 tanβ = , sin (α +β ) = , 且α , β ∈ (0, π) , 则 sinα 的值为 .

12. (2015?湖北模拟)执行如图所示的程序框图,若输出结果是 i=3,则正整数 a0 的最大值 为 .

13. (2015?武汉模拟) (1+x) (1﹣x)

10

展开式中 x 的系数为

3



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2015 年全国高考湖北卷(理科)数学模拟

14. (2015?湖北模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1, 2,3,5,8,13,?,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一 列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”. 那么 第 项. 是斐波那契数列中的

15. (2015?湖北模拟) 直线 l 的参数方程是

(其中 t 为参数) , 圆 c 的极坐标方程为 ρ =2cos

(θ +

) ,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是 ) 到直线 l: ρ sin (θ ﹣

. ) =1 的距离是 .

16. (2015?武汉模拟) 在极坐标系中, 点P (2, ﹣

三.解答题(共 7 小题) 17. (2015?黄冈模拟)设函数 f(x)=sin x+cos(2x+ (Ⅰ)求函数 f(x)的最大值及此时 x 的取值集合; (Ⅱ)设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,若 cosB= ,f( )=﹣ ,且 C 为锐角,求 sinA 的值.
2



18. (2013?天津)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4; 白色卡 片 3 张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同) . (Ⅰ)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ)再取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

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19. (2015?武汉模拟) 已知{an}是由正数组成的数列, 其前 n 项和 Sn 与 an 之间满足: an+ = 且 n∈N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项 an; (Ⅱ)设 bn=( ) an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
n *

(n≥1

20. (2014 秋?武汉月考)如图,在三棱锥 P﹣ABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ, BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连结 GH. (Ⅰ)求证:AB∥GH; (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正弦值.

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2015 年全国高考湖北卷(理科)数学模拟

21. (2013?莱芜二模)已知定点

(p 为常数,p>O) ,B 为 x 轴负半轴上的一个动点,动点

M 使得|AM|=|AB|,且线段 BM 的中点在 y 轴上. (I)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 EF 为曲线 C 的一条动弦(EF 不垂直于 x 轴) ,其垂直平分线与 x 轴交于点 T(4,0) ,当 p=2 时,求|EF|的最大值.

21. (2015?湖北模拟)已知函数 f(x)=ax+

+(1﹣2a) (a>0)

(1)若 f(x)≥lnx 在[1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (2)证明:1+ + +?+ ≥ln(n+1)+ (3)已知 S=1+ + +?+ (n≥1) ;

,求 S 的整数部分. (ln2014≈7.6079,ln2015≈7.6084)

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2015 年湖北省高考数学(理科)模拟试卷 参考答案
一.选择题(共 10 小题) 题号 答案 1 C 2 C 3 C 4 D 5 C 6 B 7 D 8 A 9 D 10 B

二.填空题(共 6 小题) 11. . 12. 3 . 15. 2 . 13. ﹣75 . 16. 3 .

14. 2016 .

三.解答题(共 6 小题) 17.解: (Ⅰ)f(x)= ∴当 sin2x=﹣1 时, f(x)max= 此时 2x=2kπ ﹣ ; (k∈Z) , ,k∈Z}. ?(6 分) ?(4 分) + cos2x﹣ sin2x= ﹣ sin2x,?(2 分)

∴x 的取值集合为{x|x=kπ ﹣ (Ⅱ)∵f( )= ﹣ ∴sinC= ,

sinC=﹣ ,

∵C 为锐角, ∴C= ,?(8 分) = , . ?(12 分)

由 cosB= 得 sinB= ∴sinA=sin( ﹣B)=

cosB+ sinB=

18.解: (I)设取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片为事件 A,则 P(A)= =

所以,取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率为 (II)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4 P(X=1)= P(X=2)=

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2015 年全国高考湖北卷(理科)数学模拟

P(X=3)=

=

P(X=4)=

=

EX= X 的分布列为 x 1 2 P

=

3

4

19.解: (I)∵an+ = ∴ 当 n≥2 时, ∴an=Sn﹣Sn﹣1=

(n≥1 且 n∈N ) ,两边平方化为 ,a1>0,解得 a1=1. , ﹣ ,

*



化为(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1)=0, ∵an+an﹣1>0,∴an﹣an﹣1=1, ∴数列{an}为等差数列, ∴an=1+(n﹣1)×1=n. (II)bn= ?an= , +?+ ,

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=



=

+?+





=

+

+?+





∴Tn=1+

+?+



=



=



20. (Ⅰ)证明:∵D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,?(1 分) ∴EF∥AB,DC∥AB,?(2 分) ∴EF∥DC. 又 EF?平面 PCD,DC?平面 PCD, ∴EF∥平面 PCD. ?(3 分) 又 EF?平面 EFQ,平面 EFQ∩平面 PCD=GH,?(4 分) ∴EF∥GH. 又 EF∥AB, ∴AB∥GH.?(6 分) (Ⅱ)解:在△ABQ 中,∵AQ=2BD,AD=DQ,∴∠ABQ=90°,即 AB⊥BQ. 又 PB⊥平面 ABQ,∴BA,BQ,BP 两两垂直. 以 B 为坐标原点,分别以 BA,BQ,BP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,
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建立如图所示的空间直角坐标系.设 BA=BQ=BP=2, 则 B(0,0,0) ,Q(0,2,0) ,D(1,1,0) , C(0,1,0) ,P(0,0,2) , ∴ =(﹣1,﹣1,2) , =(0,﹣1,2) .?(8 分)

设平面 PCD 的一个法向量为 =(x,y,z) , 由 ? =0, ? =0,得 ,取 z=1,得 =(0,2,1) .?(10 分)



=(0,2,0)为平面 PAB 的一个法向量, >= = .

∴cos<n,

设平面 PAB 与平面 PCD 所成角为 θ , 则 sinθ = = . .?(12 分)

故平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正弦值为

21.解:如图,

(Ⅰ)设 M(x,y) ,则 BM 的中点 G 的坐标为 又 A( ) ,故

,B(﹣x,0) . .

由题意知 GA⊥GM,所以



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2015 年全国高考湖北卷(理科)数学模拟

所以 y =2px. 2 当 M 点在 x 轴上时不满足题意,故曲线 C 的方程为 y =2px(p>0,x≠0) ; (Ⅱ)设弦 EF 所在直线方程为 y=kx+b,E(x1,y1) ,F(x2,y2) . 由 ,得:k x +(2kb﹣4)x+b =0①
2 2 2

2





则线段 EF 的中点为

,即



线段 EF 的垂直平分线方程为



令 y=0,x=4,得

,得 bk=2﹣2k ,所以

2



所以

=

= 再由①,△=(2kb﹣4) ﹣4k b =4k b ﹣16kb+16﹣4k b =16﹣16kb 2 2 =16﹣16(2﹣2k )=32k ﹣16>0. 得: 所以,当 ,即 0< ,即 k= .
2 2 2 2 2 2 2



时,|EF| 取得最大值,最大值等于 36,即|EF|的最大值为 6.

2

22.解: (1)∵函数 f(x)=ax+

+(1﹣2a) ,

f(x)≥lnx 在[1,+∞)上恒成立, 设 g(x)=f(x)﹣lnx,则 g(x)=f(x)﹣lnx≥0 在[1,+∞)上恒成立, ∴g(x)min≥0, 又∵g′(x)=a﹣ 而当 ①当 ﹣ = ,

=1,即 a= 时, ≤1 即 a 时,

g′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立, ∴g(x)min=g(1)=0≥0;

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②当

>1 即 0<a< 时, ;

g′(x)=0 时 x= 且 1≤x< 当 x>

时,g′(x)<0, 时,g′(x)>0; )≥0①,

则 g(x)min=g( 又∵g(

)≤g(1)=2a﹣1<0 与①矛盾,不符题意,故舍.

∴综上所述,a 的取值范围为:[ ,+∞) .

(2)证明:由(1)可知 a

时,f(x)≥lnx 在[1,+∞)上恒成立,

则当 a= 时, (x﹣ )≥lnx 在[1,+∞)上恒成立, 令 x 依次取 , , ,?, 则有 ×( ? ﹣ )≥ln ×( ﹣ 时, , ×( )≥ln ﹣ )≥ln , ,

由同向不等式可加性可得 [( 即 也即 + + +?+ )﹣( + + +?+ )]≥ln(n+1) , )]≥ln(n+1) ,

[(1+ + +?+ +n)﹣(n﹣ ﹣ ﹣ ﹣?﹣ [2(1+ + +?+ )+ ﹣1]≥ln(n+1) , (n≥1) .

也即 1+ + +?+ >ln(n+1)+

(3)由(2)的结论,可得,S=1+ + +?+ 又 S=1+ + +?+ > dx=lnx|

≥ln2015+ =ln2014≈7.6,

∈(8,9) ,

则有 S 的整数部分为 9.

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