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Sn和an

Sn 与 an
一、已知 Sn,求 an 已知数列前 n 项和 Sn,得 a n ? ? 1.a1 不适合 n≥2 时的 an (1)一个数列的前 n 项和 Sn=8n-3,则它的通项公式 an= (2)数列{an}中,Sn=n2+n-2,求 an。 .

?S1 (n ? 1) . S n ? S n ?1 (n ? 2) ?

(3)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2-3n+1,则它的通项公式为 (4)已知数列{an}的前 k 项的和 Sk 满足:Sk=(k+2)Sk+1,求通项 an.



(5)设数列 1,2,4,8,…的前 n 项和是 Sn=a+bn+cn2+dn3,求 a、b、c、d 的值和数列的通项.

(6) 已知数列{an}前 n 项的和 Sn 满足条件 lgSn+(n-1)lgb=lg(bn+1+n-2),其中 b>0 且 b?1, 求数列{an}的通项。

2.a1 也适合 n≥2 时的 an (1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n2-2n,求数列的通项公式。

(2)已知数列{an}的前 n 项和 S n ?

n(n ? 1) ,求通项 an。 n ? 2n ? 1
2

(3) 公差为 d 的等差数列的前 n 项和为 Sn=n(1-n),那么(
A.d=2,an=2n-2 B.d=2,an=2n+2



C.d=-2,an=-2n-2
3.已知 Sn,求 an 的某些项

D.d=-2,an=-2n+2

(1) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ?

n2 ? n ? 1 ,求此数列的前 3 项。 n ?1 2n ? 1 (2) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn= ,则 a8= 。 n


(3)数列{an}的前 n 项的和 Sn=2n2+1,则 a1,a5 的值依次为( (A)2,14 (B)2,18 (C)3,4 (D)3,18

1

(4)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn+c,且 S1、S2、S3 依次是-2,0,6, 那么 a100= (A)-1,1,3 。 (B)2,1,3 (C)6,1,3 (D)2,1,6 (5)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-2n+3,那么这个数列的前三项为()

(6a)数列{an}的前 n 项和 Sn=

3n ? 1 ,求 a16+a17+a18+a19+a20 的值。 n

(6b)若数列{an}前 n 项和 S n ? log 1 (1 ? n) ,则 a10+a12+…+a99=
10



4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+

1 a1,求通项 an。 2

5. 两数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn=n(n+4)和 S?n=n(2n-3)
(1)求两数列的通项 an 和 bn; (2)依次将两数列的对应项相加作成新数列{an+bn}.求此数列的通项公式,判断它是 不是等差数列. (3)问:数列{an}和{bn}是否存在相同的项?如果存在,求依次取这些相同的项作成的 新数列的通项公式.

6. 已知等差数列{an}的前 n 项的和 Sn=(p+1)n2-(q+1)n+q-p-3 (1)求此数列的首项和公差; (2)试证:当 p>-1 时,此数列单调递增; (3)试问:当 p= ?

1 时,从第几项开始,此数列的各项都大于零? 4

7. 已知数列{an}中,a1=

S n ?1 1 ,Sn= (n≥2),求 an。 4 2 S n?1 ? 1

二、已知 Sn 与 an 的关系,求 Sn 或 an 1. 利用 an=Sn?Sn-1(n≥2)消去 Sn,转化为 an 的递推关系,其中 a1=S1. (1a) 若数列{an}的前 n 项和 Sn 与通项 an 之间满足关系 Sn=1+pan(p 是不为 0,1 的常数),

2

试求出数列{an}的通项公式,并说明它是什么数列。

(1b) 数列{an}满足:Sn=1+2an,求通项 an. (1c) 已知数列{an}中,若 a1=1,Sn+1=4an+2(n?N),求 an。

(1d)已知数列{an}中,若 a1=1,Sn+1=4an+2(n?N), (I)设 bn=an+1?2an,求 bn; (II)设 Cn ? (III)设 d n ?

1 ,求数列{Cn}的前 n 项和 Tn; an?1 ? 2an
an ,求 d2005。 2n 3 an-3,求这个数列的通项公式。 2

(1e) 如果数列{an}的前 n 项的和 Sn=

(2)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且对于任意正整数 n,Sn=6?an?

3 2 n ?1

,求通项公式 an。

(3)数列{an}的前 n 项的和为 Sn,若 S1=1,S2=2,且 Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n≥2,n?N),求数列 {an}的通项公式。

(4)在数列{an}中,an>0,Sn 是它的前 n 项的和,且 2 S n =an+1(n?N)。 (i)求 Sn 和 an; (ii)求证:

1 1 1 ? ??? ? 2。 S1 S 2 Sn

3

(5)在数列{an}中,已知 a1=1,an=an?1+an?2+…+a2+a1(n≥2,n?N),这个数列的通项公式 是 。 2. 消去 an,得到 Sn 的递推关系 (1) 数列{an}的首项为 1,前 n 项和 Sn 与通项 an 满足 2Sn2=2anSn-an(n≥2),求数列{an}的 通项公式。

(2) 已知数列{an}的首项 a1=2,前 n 项的和满足:Sn+Sn+1=2an+1,求 an 及 Sn。

(3) 数列{an}中,a1=1,前 n 项和为 Sn,且 an=2Sn-1+2n-1(n≥2),求 an.

(4)已知数列{an}中,an>0,且对于任意正整数 n 有 S n ?

1 1 (a n ? ) ,求数列的通项公式。 2 an

三、已知 Sn 的递推关系,求 an 方法 1:先求 Sn,再求 an; 方法 2:利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为 an 的递推关系 1. 设无穷数列{an}前 n 项和为 Sn,已知 a1=2,且当 n?N 时,总有 4Sn+1=3Sn+1,求{an}的 通项公式及前 n 项和 Sn。

2. 在数列{an}中,已知 a1=1,a2=2,前 n 项的和 Sn 满足 Sn=

2 S n ?1 ? S n ?1 (n≥2) 3

(1)求 an 及 Sn;(2)求使 Sn>105 的最小整数 n(取 lg2=0.3010)。

4


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