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北京市会考2012北京市数学春季高中会考试题









北京市 2012 年春季普通高中会考(新课程)
第一部分 选择题(每小题 3 分,共 60 分) 在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ?0,1, 2? , B ? ?1, 4? ,那么集合 A ? B 等于( ) (A) ?1? (B) ?4? (C) ?2,3? 2.在等比数列 ? an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? 4 ,那么 a5 等于 (A)6 (B)8 (C)10 (D)16 3.已知向量 a ? (3,1), b ? (?2,5) ,那么 2a +b 等于( A.(-1,11) B. (4,7) C.(1,6) ) D(5,-4) (D) ?1, 2,3, 4?

4.函数 y ? log 2 (x +1) 的定义域是( ) (A)

? 0, ?? ?

(B) ( ? 1, +?)

(C)( ??) (D) ? ?1, ?? ? 1,

5.如果直线 3x ? y ? 0 与直线 mx ? y ? 1 ? 0 平行,那么 m 的值为( ) (A) ?3 (B)

?

6.函数 y =sin ? x 的图象可以看做是把函数 y = sin x 的图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原

1 3

(C)

1 3

(D) 3

1 倍而得到,那么 ? 的值为( ) 2 1 (A) 4 (B) 2 (C) (D) 3 2 x 3 7.在函数 y ? x , y ? 2 , y ? log 2 x , y ? x 中,奇函数的是( )
来的 (A) y ? x 8. sin
3

(B)

y ? 2x

(C)

y ? log 2 x

(D)

y? x

11? 的值为( ) 6 2 1 1 (A) ? (B) ? (C) 2 2 2 2 9.不等式 x ? 3x +2 ? 0 的解集是( )
A.

(D)

2 2

? x x ? 2?

B.

? x x >1?

C..

? x 1 ? x ? 2?

D.

? x x ? 1, 或x ? 2?

10.实数 lg 4+2lg5 的值为( ) (A) 2 (B) 5 (C) 10 (D) 20 11.某城市有大型、中型与小型超市共 1500 个,它们的个数之比为 1:5:9.为调查超市每日的零售额情 况,需通过分层抽样抽取 30 个超市进行调查,那么抽取的小型超市个数为( ) (A) 5 (B) 9 (C) 18 (D) 20 12.已知平面 ? ∥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,那么直线 m 与平面 ? 的关系是( ) A.直线 m 在平面 ? 内 C.直线 m 与平面 ? 垂直 B.直线 m 与平面 ? 相交但不垂直 D.直线 m 与平面 ? 平行 )

13.在 ?ABC 中, a ? 3 , b ? 2 , c ? 1 ,那么 A 的值是( A.

? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

14.一个几何体的三视图如右图
第 1 页 共 5 页

所示,该几何体的表面积是( ) A. 3? B. 8? C. 12? D. 14? 15.当 x >0 时, 2 x ?

A. 1 B. 2 16.从数字 1,2,3,4,5 中随机抽取两个数字(不允许重复) ,那么这两个数字的和是奇数的概率为( )

1 的最小值是( 2x C. 2 2 D. 4



2 1 D. 5 5 ?y ?1 ? 17.当 x, y 满足条件 ? x ? y ? 0 时,目标函数 z ? x ? y 的最小值是( ) ?x ? 2 y ? 6 ? 0 ? (A) 2 (B) 2.5 (C) (D)4 3.5 x ?2 , x ≥ 0, 18.已知函数 f ( x) ? ? 如果 f ( x0 ) ? 2 ,那么实数 x0 的值为( ) ?? x, x ? 0. A. 4 B. 0 C. 1 或 4 D. 1 或 ?2
A. C. (A) 4 (B) 0 (C) 1 或 4 (D) 1 或-2 19.为改善环境,某城市对污水处理系统进行改造。三年后,城市污水排放量由原来每年排放 125 万吨降 到 27 万吨,那么污水排放量平均每年降低的百分率是( ) (A) 50% (B) 40% (C) 30% (D) 20% 20.在△ ABC 中,(BC ? BA) ? AC ? | AC| ,那么△ABC 的形状一定是( ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 第二部分 非选择题(共 40 分)李国波录于 2012-9-13 一、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 21.已知向量 a ? (2,3), b ? (1, m) ,且 a ? b ,那么实数 m 的值为 . 22.右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况 S乙 (填<,>,=) 的茎叶图.那么甲、乙两人得分的标准差 S甲 23.某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 a 的最大值为 . 24. 数学选修课中, 同学们进行节能住房设计, 在分析气候和民俗后, 设计出房屋的剖面图 (如下图所示) 屋 . 顶所在直线的方程分别是 y = 横坐标是 .

4 3 B. 5 5

??? ??? ???? ? ?

???? 2

1 1 x +3 和 y = ? x +5 ,为保证采光,竖直窗户的高度设计为 1m 那么点 A 的 2 6
开始

y(m)

屋顶

n=1

a=15

竖直窗户

输出 a

n=n+1 O A x(m) 否 n>3 是
第 2 页 共 5 页 结束

二、解答题: (共 4 小题,共 28 分) 25.(本小题满分 7 分) 在三棱锥 P-ABC 中,侧棱 PA⊥底面 ABC,AB⊥BC,E,F 分别是 BC,PC 的中点. (I)证明:EF∥平面 PAB; (II)证明:EF⊥BC.

26.(本小题满分 7 分) 已知向量 a =(2sin x, 2sin x) , b=(cos x, ? sin x) ,函数 f (x)=a ? b+1 . (I)如果 f (x)=

1 ,求 sin 4x 的值; 2

(II)如果 x ? (0,

?

2

) ,求 f (x) 的取值范围.

27.(本小题满分 7 分) 已知图 1 是一个边长为 1 的正三角形, 三边中点的连线将它分成四个小三角形, 去掉中间的一个小三角形, 得到图 2, 再对图 2 中剩下的三个小三角形重复前述操作, 得到图 3, 重复这种操作可以得到一系列图形. 记 第 n 个图形中所有剩下的小三角形的面积之和为 an ,所以去掉的三角形的周长之和为 bn . ..... ..... (I) 试求 a4 , b4 ; (II) 试求 an , bn .

28.(本小题满分 7 分) 已知圆 C 的方程是 x +y ? 2 y +m=0 .
2 2

(I) 如果圆 C 与直线 y =0 没有公共点,求实数 m 的取值范围; (II) 如果圆 C 过坐标原点,直线 l 过点 P(0,) (0≤ a ≤2),且与圆 C 交于 A,B 两点,对于每一个确定的 a , 当△ABC 的面积最大时,记直线 l 的斜率的平方为 u ,试用含 a 的代数式表示 u ,试求 u 的最大值.

第 3 页 共 5 页

参考答案: 1、B 2、C 3、B 4、B 5、A 6、B 7、A 8、B 9、C B 15、B 16、B 17、A 18、D 19、B 20、C 21、 ?

10、A

11、C

12、D

13、B

14、

25、(I)证明:∵E,F 分别是 BC,PC 的中点,∴EF∥PB.∵EF ? 平面 PAB, PB ? 平面 PAB,∴EF∥平面 PAB; (II)证明:在三棱锥 P-ABC 中,∵侧棱 PA⊥底面 ABC,PA⊥BC.∵AB⊥BC, 且 PA∩AB=A,∴BC⊥平面 PAB.∵PB ? 平面 PAB,∴BC⊥PB. 由(I)知 EF∥PB,∴EF⊥BC. 26、 (I)解:∵ a =(2sin x, 2sin x) , b=(cos x, ? sin x) ,∴ f (x)=a ? b+1 =2sin x cos x ? 2sin 2 x+1

2 ; 22、> ;23、45;24、 4.5 ; 3

1 1 1 1 =sin 2x ? cos 2x .∵ f (x)= ,∴ in 2 x ? cos 2 x= ,∴ 1+2sin 2 x cos 2 x = .∴ sin 4 x= . 2 2 4 4 2 2 ? ? sin 2 x + cos 2 x) = 2(sin 2 xcos +cos2 sin ) (II)解:由(I)知 f (x)=sin 2 x ?cos2 x = 2( x 2 2 4 4 2 ? ? ? ? ? 5? < sin (2 x + ) ? 1 . ∴ = 2 sin (2 x + ) .∵ x ? (0, ) ∴ <2 x+ < 2 4 4 2 4 4 4 ∴ f (x) 的取值范围为 ( ? 1, 2] .
27、 (I)解: a4 =

27 3 57 ,b4= . 256 8

(II)解:由图易知,后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的 3 倍,∴第 n 个图形中剩下的三角形个数为

3n?1 .又∵后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的

1 倍,∴第 n 个图形中每个剩下的三角形边长是 2

3 1 n?1 3 3 n ?1 1 ( ) .∴ an = ( ) . ( ) n?1 ,面积是 4 4 4 4 2 设第 n 个图形中所有剩下的小三角形周长为 cn ,由图可知, cn ? bn =3 . 1 1 n?1 因为后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的 倍,∴第 n 个图形中每个剩下的三角形边长是 ( ) , 2 2 1 n?1 3 n ?1 3 n?1 周长是 3( ) .∴ cn =3( ) ,从而 bn =cn ? 3=3( ) ? 3 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 28、 (I)解:由 x +y ? 2 y +m=0 可得: x +(y ? 1)=1 ? m .∵ x +(y ? 1)=1 ? m 表示圆, ∴ 1 ? m>0 ,即 m<1 .又∵圆 C 与直线 y =0 没有公共点,∴ 1 ? m<1 ,即 m>0 . 综上,实数 m 的取值范围是 0<m<1 . 2 2 (II)解:∵圆 C 过坐标原点,∴ m=0 .∴圆 C 的方程为 x +(y ? 1)=1 ,圆心 C(0,1) ,半径为 1. 当 a=1 时,直线 l 经过圆心 C,△ABC 不存在,故 a ?[0,1) ? (1,2] . 由题意可设直线 l 的方程为 y =kx +a ,△ABC 的面积为 S. 1 1 则 S= |CA|·|CB|·sin∠ACB= sin∠ACB.∴当 sin∠ACB 最大时,S 取得最大值. 2 2 |a ? 1| 2 2 ? = 要使 sin∠ACB= ,只需点 C 到直线 l 的距离等于 .即 . 2 2 2 k +1 2
整理得 k =2(a ? 1) ? 1 ? 0 .解得 a ? 1 ?
2 2

2 2 或 a ? 1+ . 2 2

① 当 a ? [0,1 ?

2 2 ] ? [1+ ,2] 时,sin∠ACB 最大值是 1.此时 k 2 =2a 2 ? 4a+1 ,即 u =2a 2 ? 4a +1. 2 2

第 4 页 共 5 页

② 当 a ? (1 ? ∵ y = sin x 是 (

?

2 2 ? ,1) ? (1,1+ ) 时,∠ACB ? ( ,? ) . 2 2 2

2

,? ) 上的减函数,∴当∠ACB 最小时,sin∠ACB 最大.
1 ∠ACB.∴当∠ACD 最大时,∠ACB 最小. 2

过 C 作 CD⊥AB 于 D,则∠ACD= ∵sin∠CAD=

|CD| ? =|CD|,且∠CAD ? (0, ) ,∴当|CD |最大时,sin∠ACD 取得最大值,即∠CAD 最大. | CA | 2 ∵|CD|≤|CP|,∴当 CP⊥ l 时,|CD|取得最大值|CP|. ∴当△ABC 的面积最大时,直线 l 的斜率 k =0 .∴ u =0 . ? 2 2 2 ] ? [1+ ,2] ? 2a ? 4a +1,a ? [0,1 ? ? 2 2 综上所述, u = ? . 2 2 ?0, a ? (1 ? ,1) ? (1,1+ ) ? ? 2 2 2 2 ] ? [1+ ,2] , u =2a 2 ? 4a +1 =2(a ? 1)2 ? 1 ,当 a =2 或 a =0 时, u 取得最大值 1. i) a ? [0,1 ? 2 2 2 2 ,1) ? (1,1+ ) , u =0 . ii) a ? (1 ? 2 2 由 i) ,ii)得 u 的最大值是 1.

李国波录于 2012-09-13

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