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【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题:第1章 常用逻辑用语1.1.2、3 Word版含解析


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选修 1-1

第一章

1.1

1.1.2、3

一、选择题 1.设 a、b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是 导学号 92600042 ( A.若 a≠-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b [答案] D [解析] 将原命题的条件改为结论,结论改为条件,即得原命题的逆命题. 2.命题:“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是 导学号 92600043 ( A.若 x2≥1,则 x≥1,或 x≤-1 B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1,或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1,或 x≤-1,则 x2≥1 [答案] D [解析] -1<x<1 的否定为 x≤-1 或 x≥1, x2<1 的否定为 x2≥1, 故逆否命题为“若 x≤-1 或 x≥1,则 x2≥1”,故选 D. 3.命题“若 c<0,则方程 x2+x+c=0 有实数解”,则 导学号 92600044 ( A.该命题的逆命题为真,逆否命题也为真 B.该命题的逆命题为真,逆否命题也假 C.该命题的逆命题为假,逆否命题为真 D.该命题的逆命题为假,逆否命题也为假 [答案] C [解析] 如:当 c=0 时,方程 x2+x+c=0 有实数解, 该命题的逆命题“若方程 x2+x+c=0 有实数解,则 c<0”是假命题; 若 c<0,则 Δ=1-4c>0,命题“若 c<0,则方程 x2+x+c=0 有实数解”是真命题,故 其逆否命题是真命题. ) ) B.若 a=-b,则|a|≠|b| D.若|a|=|b|,则 a=-b )

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4. 已知一个命题与它的逆命题、 否命题、 逆否命题, 在这四个命题中 导学号 92600045 ( ) A.真命题个数一定是奇数 B.真命题个数一定是偶数 C.真命题个数可能是奇数,也可能是偶数 D.以上判断都不对 [答案] B [解析] 因为原命题是真命题,则它的逆否命题一定是真命题,一个命题的逆命题是真 命题,则它的否命题一定是真命题,故选 B. 5.对于实数 a、b、c,下列命题中是真命题的是 导学号 92600046 ( A.若 a>b,则 ac>bc C.若 a>b,则 ac2>bc2 [答案] B [解析] ∵ac2>bc2,∴c2>0,∴a>b. 6.有下列四个命题: (1)“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的否命题; (2)“对顶角相等”的逆命题; (3)“若 x≤-3,则 x2-x-6>0”的否命题; (4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题. 其中真命题的个数是 导学号 92600047 ( A.0 C.2 [答案] B [解析] (1)“若 x+y≠0,则 x 与 y 不是相反数”是真命题. (2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题. (3)原命题的否命题是“若 x>-3,则 x2-x-6≤0”,解不等式 x2-x-6≤0 可得- 2≤x≤3,当 x=4 时,x>-3 而 x2-x-6=6>0,故是假命题. (4)“若一个三角形的两锐角互为余角,则这个三角形是直角三角形”,真命题. ) B .1 D.3 B.若 ac2>bc2,则 a>b 1 1 D.若 a>b,则 < a b )

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二、填空题 7 . 命 题 “ 若 a>1 , 则 a>0” 的 逆 否 命 题 是 ______ 命 题 ( 填 “ 真 ” 或 “ 假 ”). 导学号 92600048 [答案] 真 [解析] ∵原命题为真,∴其逆否命题为真. 8.命题“若 x=3,y=5,则 x+y=8”的逆命题是____________________;否命题是 __________________,逆否命题是____________________. 导学号 92600049 [答案] 逆命题:若 x+y=8,则 x=3,y=5; 否命题:若 x≠3 或 y≠5,则 x+y≠8; 逆否命题:x+y≠8,则 x≠3 或 y≠5. 9.命题“若 a>b,则 2a>2b”的否命题是________,为________(填“真”或“假”)命 题. 导学号 92600050 [答案] 若 a≤b,则 2a≤2b 真

[解析] 指数函数 y=2x 在 R 上为增函数,所以其否命题为真. 三、解答题 10.写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题. (1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于这个平面; (2)如果 x>10,那么 x>0; (3)当 x=2 时,x2+x-6=0. 导学号 92600051 [解析] (1)逆命题:如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的 两条相交直线; 否命题: 如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线, 那么这条直线不垂直于这个平 面; 逆否命题: 如果一条直线不垂直于一个平面, 那么这条直线不垂直于这个平面内的两条 相交直线. (2)逆命题:如果 x>0,那么 x>10; 否命题:如果 x≤10,那么 x≤0; 逆否命题:如果 x≤0,那么 x≤10.

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(3)逆命题:如果 x2+x-6=0,那么 x=2; 否命题:如果 x≠2,那么 x2+x-6≠0; 逆否命题:如果 x2+x-6≠0,那么 x≠2.

一、选择题 1. 命题“如果 a、 b 都是奇数, 则 ab 必为奇数”的逆否命题是 导学号 92600052 ( A.如果 ab 是奇数,则 a、b 都是奇数 B.如果 ab 不是奇数,则 a、b 不都是奇数 C.如果 a、b 都是奇数,则 ab 不是奇数 D.如果 a、b 不都是奇数,则 ab 不是奇数 [答案] B [解析] 命题“如果 a、b 都是奇数,则 ab 必为奇数”的逆否命题是“如果 ab 不是奇 数,则 a、b 不都是奇数”. 2.若命题 p 的否命题为 r,命题 r 的逆命题为 s、p 的逆命题为 t,则 s 是 t 的 导学号 92600053 ( A.逆否命题 C.否命题 [答案] C [解析] 解法一:特例:在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c, p:若∠A=∠B,则 a=b, r:若∠A≠∠B,则 a≠b, s:若 a≠b,则∠A≠∠B, t:若 a=b,则∠A=∠B.故 s 是 t 的否命题. 解法二:如图可知,s 与 t 互否. ) B.逆命题 D.原命题 )

3.命题:“若 a2+b2=0(a、b∈R),则 a=0 且 b=0”的逆否命题是 导学号 92600054 ( )

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A.若 a≠b≠0(a、b∈R),则 a2+b2≠0 B.若 a=b≠0(a、b∈R),则 a2+b2≠0 C.若 a≠0 且 b≠0(a、b∈R),则 a2+b2≠0 D.若 a≠0 或 b≠0(a、b∈R),则 a2+b2≠0 [答案] D [解析] 命题中的条件及结论的否定分别是 a2+b2≠0,a≠0 或 b≠0(a、b∈R),所以命 题的逆否命题是“若 a≠0 或 b≠0(a、b∈R),则 a2+b2≠0”. 4.(2016· 山东济南高二检测)原命题“圆内接四边形是等腰梯形”,则下列说法正确的 是 导学号 92600055 ( A.原命题是真命题 C.否命题是真命题 [答案] C [解析] 原命题可改写为:若一个四边形是圆内接四边形,则该四边形是等腰梯形,为 假命题;逆命题为:若一个四边形是等腰梯形,则该四边形是圆内接四边形,是真命题;原 命题的否命题是真命题,逆否命题为假命题,故选 C. 二、填空题 5.(2016· 山东枣庄高二检测)有下列三个命题: 导学号 92600056 ①“全等三角形的面积相等”的否命题; ②“若 q≤1,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆命题; ③“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题. 其中所有真命题的序号为________. [答案] ② [解析] 命题①可考虑“全等三角形的面积相等”的逆命题:“面积相等的三角形是全 等三角形”,是假命题,因此命题①是假命题;命题②是“若 x2+2x+q=0 有实根,则 q≤1”,是真命题;命题③是假命题. 6.已知命题“若 m-1<x<m+1,则 1<x<2”的逆命题为真命题,则 m 的取值范围为 ______. 导学号 92600057 [答案] [1,2] [解析] 由已知得,若 1<x<2 成立,则 m-1<x<m+1 也成立.
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) B.逆命题是假命题 D.逆否命题是真命题

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?m-1≤1 ? ∴? ,∴1≤m≤2. ? ?m+1≥2

三、解答题 7.(2016· 山东菏泽高二检测)设原命题为“已知 a、b 是实数,若 a+b 是无理数,则 a、 b 都是无理数”.写出它的逆命题、否命题和逆否命题,并分别说明它们的真 假. 导学号 92600058 [解析] 逆命题:已知 a、b 为实数,若 a、b 都是无理数,则 a+b 是无理数. 如 a= 2,b=- 2,a+b=0 为有理数,故为假命题. 否命题:已知 a、b 是实数,若 a+b 不是无理数,则 a、b 不都是无理数. 由逆命题为假知,否命题为假. 逆否命题:已知 a、b 是实数,若 a、b 不都是无理数,则 a+b 不是无理数. 如 a=2,b= 2,则 a+b=2+ 2是无理数,故逆否命题为假. 8.(2016· 山西太原高二检测)在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 Sm,Sm+2,Sm+1 成 等差数列,则 am,am+2,am+1 成等差数列. 导学号 92600059 (1)写出这个命题的逆命题、否命题、逆否命题; (2)判断这个命题的逆命题何时为假,何时为真,并给出证明. [解析] (1)这个命题的逆命题是在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am,am+2,am+1 成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列. 否命题是:在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 Sm,Sm+2,Sm+1 不成等差数列,则 am,am+2,am+1 不成等差数列. 逆否命题是:在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am,am+2,am+1 不成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 不成等差数列. (2)设等比数列{an}的公比为 q,则当 q=1 时,这个命题的逆命题为假,证明如下: 易知 am=am+2=am+1=a1≠0,若 am,am+2,am+1 成等差数列,则 Sm+2-Sm=2a1,Sm+1 -Sm+2=-a1,显然 Sm+2-Sm≠Sm+1-Sm+2. 当 q≠1 时,这个命题的逆命题为真,证明如下: 因为 am=a1qm 1,am+2=a1qm 1,am+1=a1qm,
- +

若 am,am+2,am+1 成等差数列,则 a1qm 1+a1qm=2a1qm 1,
- +

即 1+q=2q2,也就是 1-q2=q2-q,
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a1?1-qm 2? a1?1-qm? a1?1-q2?qm 又 Sm+2-Sm= - = , 1-q 1-q 1-q


a1?1-qm 1? a1?1-qm 2? Sm+1-Sm+2= - 1-q 1-q
+ +



a1?q2-q?qm a1?1-q2?qm = , 1-q 1-q

即 Sm+2-Sm=Sm+1-Sm+2.

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