fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2007年上海市TI杯高二年级数学竞赛


2  8

中 等 数 学 

20 年上海市 T 杯高二年级数学竞赛  07 I
1< P < 2. C  

个 人 赛 


2<p c 2<3

. 



填空题 ( 1 4 第 ~ 题每小题 6 , 5 分 第  
n<   <n + 1  



8 每小 题 9分 , 6 ) 题 共 0分  

1 连 分 数 3+——— 一 . 1  
7+  

的值 为

的解 集 非 空 . 正 整 数 n 的 最 大 值 为  则
● 
. .......,   . .,   ,. . 一

说明: 解答 以下三 题应 写 出必要步 骤 .  

二 、 0 求正整数  , ( 分) 2 使得 
— —

( 精确 到 1  ) 0 .  

[g 1 +[ g2 +… +[ g n =207  13 ] 1e ] o  o  13 ]   , o  0

2计算: .  

=一

( 确 至  精 J I

其中, 表示不超过实数  的最大整数 . [  ]   三 、2 ) 图 1正 方形 A C 内接 于  (0分 如 , BD
椭 圆 , 方形  正
‘ V 

3利用 “ 普勒第 三定 律 : 星公转 周 期  . 开 行

E G 昶 正  FH

,——一   ) ——\



,  

的平方和它们离太阳的平均距离的立方成正  比”可以计算太阳系中行星绕太阳一周所需  ,
要 的时 间 ( 即公 转 周 期 ) 如 果 设 地球 离 太 阳  .

方 形 I K 中  J H 的 顶 点 E、  
F、 ,在 椭 圆  上 , 点  、 顶   H、G 在 边 

/   J~    n   \  G   D  F —  / _ 7
C—、   J B 

的平均距 离 a =1个 天文 单 位 , . 已知 地 球 绕 
太 阳的公转周 期 T =3 52 . 6 .6天 , 星离太 阳  火

的平 均 距 离 a  :154个 天 文 单 位 , 火 星  .2 则 的公转 周 期 T 2=— — 天 ( 确 到 00  精 .1

A 上 , 点  B 顶

图 1  

.在边 H , E上 . 已知 正 方 形 A C 与 正 方 形  BD E G 的面积 比为 4 1求 正 方 形 I K与 正  FH :. J H 方 形 E G 的面积 比( FH 精确 到 00 1. .0 )   四 、2 分 ) 们 知道 ,9 z (0 我      4



天)合— — 年( , 精确到 00i . . 年) 0  
4 使得  .

— —

是完 全平 方数 的正 整数 n  

, 

但 

个.  

5 直线 Y= 与 在 区 间 ( c0及 ( ,) .   一7 ) 0 7  , c

按 方法  , 然也 得  . 居 试求 出所有 分子 和分 

上函数 Y ct 的图像分别交于点 A B 则  =o   、. 线段  的长等于一 — ( — 精确到 00 ) .1 .  
6计 算 : .  

母都是十进制两位正整数 , 分子的个 位数与  
分母 的十位 数 相 同 , 具 有 上述 “ 怪 ” 质  且 奇 性

的真分数 .  

( + a  ) 3 t  o √ +a  o √ t 1 ( 十 a 2 …( t 2 ) 3 n 。√ n: ) 3 n 9 
7 底 面直径 为 4 高 为 1 . 、 8的封 闭 圆柱 , 装  半径 为 1的球 , 多能装 — — 个 . 至   8 不等式 组  .

团 体 赛 
说 明 : 答 时 , 写 出必 要步 骤或计 算 器  解 应 的算 法 .  




(0分 ) 2 求下 面关 于  、 Y混合 组 的解 

20 年第 1 08 2期 

一—: 一 s +)     c, , #   t ), 一 o ,    
1 0  ≤ y≤ _ O t 0e l r O
_
,  

4 , ,2,  ( m Emt   )(   n )

其 中 , 2782 , 一3 115 . e .1 8 7 .4 9  【 二 、2 分 ) 出所 有 满 足 如 下条 件 的 十  (0 求 进制 正整 数  : n是 0位 数 , 0 =n  且 。 . 三 、2 ) 12 … , 0 (0分 将 , , 207这 207个   0 数 任 意排 列 可 得 207 个 不 同数 列 .  0  1 问其 中  是 否 存在 4个数 列 :  
0 , 2 … , 2∞ ; l 6 , , 2昕; ln , 。  6 , 2 … b 0   0
l 2, , 2o dl d2, , 2 , … 。  7; , 0 … d 啷 

{  
① ×4一② 消去 口得 6    = .  

② ①  
③ 

② X4一① 消去 6得 0    =5    m. 于 是 , 圆的方 程可 以写为  椭


5 —




使得 n b +口 6 +… +n0 60   1 22 J     272   0 昕  




+5 _ :1    . 2+ — ,  1  ?


2 c d +c d +… +Co d 0 ? (l l 2 2 2昕 2  ) 

设 正方 形 I K的边 长 为 t则  J H .

证 明你 的结论 .  

,   詈 . ( m +  )
将点 , 的坐 标代 人 式③ 得 

参 考 答 案 
个 人 赛 




1.3. 41 9   5   1  5 2 6 3

2.8 3 6 0. 4  

3.  

— 掣 一’  十   —    


6 7. 9: 8   4.   5. 4   6. 3   7 91   8 1 1. 81 4 2. 3 5 6 8 0  2 7. 4 8.   2  4



5t  +6 t一3 m m =0.  

解得  二 

m 负值舍去 ) ( .  

二、 因为 

[ g 1 +[ g2 _0  1 s ] 13 ] , o  o  [   3 +[ g 4 +… +[o3 ] 1 ] 13 ] 0 o  1   g8


于是 , 方形 IH 的面积 为  正 JK

(  
为 0.4 1  14: .

m-?2. )o m 2- 2    

6 × 1= 6.  

[ g 9 +[ g 1] 1 s ] 1 3 0 +… +[ g2 ] o  o  1 3 6  o 
=1 8×2=3 . 6 

故 正 方 形 I K与 正 方 形 E G 的 面 积  J H FH

[ g 2 ] 1 3 8 + +[ g 8 ] 1 3 7 +[ g 2 ] … o  o  1 3 O  o 


四 、 真分 数  具 有 题给 性质 . 设 则 
6  c

5 4×3= 1   62.

[o3 1 +[ g 8 ] ]   ] 1 3 2 +… +[ g 22  g8 o  13 4] o 


0 6<6 且   :旦 <1 c.
. 

1 62X4=6   48.

6  c

c  



[o3 4 ] 1 3 4 ] 1   3 +[o   4 +… +[ g 78  g2 g2 1 32] o 
=48 6×5=2 4 0>2 O 7.  3  0  

于是 ,  

=a  ̄ a g c:b 1 n-c . (o )  




所 以 ,4 7 2 . 2 3</<7 8 于是 , ,  
6 6 6 +68 /一2 2 × =2(7  +3 +12 4 +(, 4 ) 5 7 1 . 0

若 9 (O I1a—c ,0 I0一c , l 一c )贝  ( 9 )但 口  
<9 所 以 , , 0一c=0 矛 盾 . ,  

解 得 凡=4 3  7.

故 9不整 除 la—c 因此 ,  . O , 3    I 6

因此 , 满足 题 意 的正整 数 n=43  7. 三 、 椭 圆 的方 程 为  + =1正 方 形  设   ,

() b 3 则 3 c O —c 1若 = , a =la .  
于是 一   =3+   .  

3  0

中 等 数 学 

所 以 ,3 ( a+1 ( )I a一3 . ) 

即 

≤  ≤  

.  

而l   a一3 <3 l a+1故 只能是 a=3  , .
从 而 , =3 矛盾 . c ,  
解得 4 .2  ≤4 .6  29 ≤ 96 .
故  =4 ,4 … ,9  34 , 4 .

() b , 3 c (0 ) 2若 =6则 a =2 1 一c .  
于是 一   =6   + .  

所 以 , 合组 的解 为  混

』 1  = ,  
【 Y=( k+17一1( 2 ) c  :4 ,4 … ,9 . 34 , 4 )  

当 0>6时 , <2 0 a一1 2<3 a+2此 时 。  , c 不是 整数 ;  
当 Ⅱ=6时 , =6 矛盾 ; C ,  
当 a<6时 ,2—2 ≥3 1 a a+2 所 以 ,   , a≤

二、 因为 1 =1所 以 , :1 。 ,   满足题 意 .   当 a=234567时 , ,,, ,, 因为 
2 : ,。 74 = 5 , =315  2 4 3 =2 ,4 2 6 5    2 ,
6 6=4   5 7 6 6 6.  = 8 3 5 3. 2 4  

2而 当 o:1时 , :4 此 时 , 足题 意 的 真  , c , 满

分 为 ,n2 , 5 时满 题   位 数 . 数 喾当 =时c , , 意 =此 足  
的真z 姒 '2  "   6  
.  

所 以, 不 可能 是 两 位 数 , 位 数 , , n 三 … 七  而 当 a=89时 , ,  
8  : 1   7   6. 9=3 7 4 0 4 9. 6 7 7 21 9 8 2 8  

() b , 。 O 3 若 =9则 c=la—c  .
于是 ’ = c  =l 一 0  .  

则 这两 个数 满足条 件 .  
当 a≥1 , 0时 有 
n= a 。≥ 1 “: 1 0… 0> n. 0 0  
a l    

所 以 , a+1 I0 故 a:14 9 ( )1 ,   ,,.  

3 t :   一

当 n=l c , 时, =5 此时 , 满足题意 的真 
分数 为  ;   当 n=4时 , =8 此 时 , 足题 意 的 真  c , 满 分数 为  ;  
当 a=9时 , 9 矛盾 . c= ,  

不可 能 .  

所以, 满足条 件 的正整 数为 
l 1   7   6, 8   2   8   , 6 7 7 21 3 7 4 0 4 9.

三、 由排序 不等式 得 
aI l+ a2 2+ … + a2o b    b   b  7 2 0  ≤ l×l+2×2+ … +2 0 7×2 0 7  0  0  
:   :

综上 所述 , 满足 题意 的真分 数 为 
1  2  1  4   6 6 9 9
,   ,   ,   ‘  

2 6 6 7 9 1 0,   9  7  4  

c  l dl+c   2 d2+ … + c  7 2   2o d ∞7 0  ≥ 1×2 0 7+2×2 0 6+ … +2 0 7× l  0  0  0  

团 体 赛 





由第 一个 方程得 


∑ k   8  =  8 k ∑ k (0 一 ) 20∑ 一   20 0


1  

k=I  

k=l  

(  一1  ) +2=一2o( cs  +Y . )   因为 ( 一1   )  +2 , cs +Y ≤2  ≥2 一2o (   ) , 所 以 , =1且 CS +Y =一1   , O(   ) .   由 CS I ) O( +Y =一I得  ,
l +y=( k+I丌( ∈Z) 2 ) k .  

20   08×— 0 7x 2 0 8 2 0    0
— — — — — —





26 67 9 10   9   7  4  



l 3 9 3 7 08     4   9   4.

故 2 c d +Cd +… +c  20   (l l 2 2     27   ) o d0 0 7
≥ 2 6 87 4 1     9   9   68 > aJ  bl+ a2 2+ … + a2o b        b 07 2昕.   0

故  =l Y=( k+1 7—l( ∈Z) ①  , 2 ) c k .

将式①代人第二个不等式得 
lO ≤( k ) O e 2 +1 一1 0 丁  ≤10c ,

由此可见 , 满足条件的四个数列不存在 .   ( 命题人 : 顾鸿达 李大元  熊 斌 忻  
重义 黄  华 )  


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图