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高中数学 3.2.2复数代数形式的乘除运算课件 新人教A版选修2-2_图文

成才之路 ·数学 人教A版 ·选修2-2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第三章 数系的扩充与复数的引入 第三章 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 课 时 作 业 自主预习学案 掌握复数的乘法、除法的运算法则,并能熟练准确地运用 法则解决相关的问题.理解共轭复数的概念. 重点:复数的乘除运算及共轭复数的概念. 难点:复数的除法运算. 复数代数形式的乘法 思维导航 1 .两个实数的积、商是一个实数,那么两个复数的积、 商是怎样的?怎样规定两个复数的乘、除运算,才能使在复数 集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容?复数的加减 运算把i看作一个字母,相当于多项式的合并同类项,那么复数 乘法可否像多项式乘法那样进行呢? 新知导学 1.复数的乘法、乘方 复数的乘法与多项式的乘法是类似的,运算过程中把i看作 -1 ,并且把 一个字母,但必须在所得的结果中把 i2 换成________ 合并 .在复数范围内,完全平方公式、平 实部与虚部分别________ 方差公式等仍然成立. 正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立.须特别注 意:|z|2≠z2(z为虚数). 设z1=a+bi、z2=c+di是任意两个复数,那么它们的积(a (ac-bd)+(ad+bc)i a 、 + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = ____________________( b、c、d∈R). 2.复数乘法的运算律 对于任意z1、z2、z3∈C,有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3.in(n∈z)具有周期性 ? ? -1 ? n i =? -i ? ? ? 1 z2 · z1 z1·z2=________ z1 · (z2 · z3 ) (z1·z2)·z3=__________ z1z2+z1z3 z1(z2+z3)=_________ i n=4k+1, n=4k+2, n=4k+3, n=4k. 其中 k∈Z. 牛刀小试 1.如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数 m 等于( A.1 C. 2 [答案] B ) B.-1 D.- 2 [ 解析 ] m∈R, ∵ (m2 + i)(1 + mi) = (m2 - m) + (m3 + 1)i 是实数, ∴由a+bi(a、b∈R)是实数的充要条件是b=0, 得m3+1=0,即m=-1. 共轭复数 新知导学 4.共轭复数的概念 相等 ,虚部互为相反数的这两个复数叫 一般地,实部________ - 做互为共轭复数.通常记复数 z 的共轭复数为 z . - 相等 5.由复数的模及共轭复数的定义知,|z|与| z |________,z - - 虚数 实数 + z 是________,z- z 是纯虚数的充要条件是 z 为________. 6.在复平面内,互为共轭复数的两个复数对应的点关于 实轴 对称. ________ 牛刀小试 - 2. (2014~2015· 鱼台一中高二期中)已知 z 是 z 的共轭复数, - 若 z· z i+2=2z,则 z=( A.1+i C.-1+i [答案] A ) B.1-i D.-1-i [解析] - - 设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,代入 z· zi +2=2z 中得,(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi), ∴2+(a2+b2)i=2a+2bi, 由复数相等的条件得, ? ?2a=2, ? 2 2 ? a + b =2b, ? ? ?a=1, ∴? ? ?b=1. ∴z=1+i,故选 A. 复数的除法 思维导航 2 .由共轭复数的定义和复数乘法的运算知,一个虚数与 其共轭复数的乘积是一个实数. 在实数运算中,当分母是无理式时,我们进行过分母有理 化的运算,那么在复数除法运算中,可不可以定义除法是乘法 的逆运算,然后进行分母实数化(即乘以分母的共轭复数)呢? 新知导学 7.复数的除法 复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数,将分 母实数化,再化简. a+bi ?a+bi??c-di? 即 (a + bi)÷ (c + di) = = = c+di ?c+di??c-di? ac+bd bc-ad 分母实数化 2 2+ 2 2 i,复数除法运算的实质是______________. c +d c +d 8.两个复数的平方和为零是这两个复数同时为零的 必要不充分 ________________ 条件. 牛刀小试 2+i 3.(2014· 云南景洪市一中期末)复数 的实部为( 1-2i A.0 C.-1 B.1 D.2 ) [答案] A 2+i ?2+i??1+2i? 2+i+4i-2 [解析] ∵ = = =i, 5 1-2i ?1-2i??1+2i? ∴实部为 0,选 A. 4. (2015· 龙海市漳州程溪中考高二期中)设复数 z 的共轭复 1 - 数是 z ,z=3+i,则 等于( - z A.3+i 3 1 C.10i+10 [答案] D ) B.3-i 3 1 D.10+10i 3+i 1 1 - [解析] ∵z=3+i,∴ z =3-i,则 = = - 3-i ?3-i??3+i? z 3+i 3 i = 10 =10+10.故选 D. 5.(2015·辽宁葫芦岛市一模)已知复数z满足(1+2i)z=4+ 3i,则z=( ) A.2+i C.1+2i [答案] B B.2-i D.1-2i [解析] 解法 1:设 z=a+bi(a,b∈R),则 (1+2i)(a+bi)=(a-2b)+(2a+b)i, 由已知及复数相等的条件得, ? ?a-2b=4, ? ? ?2a+b=3, ? ?a=2, 解之得? ? ?b=-1, 故选 B. 4

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