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鄂州市第二中学2011-2012学年上学期高三期中考试高三数学试卷(理科)

鄂州市第二中学 2011-2012 学年上学期高三期中考试

高三数学试卷(理科)
满分 150 分 命题人:潘内阁 审题人: 王志勇

考试时间:2011 年 11 月 15 日 上午 8:00-10:00
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的 四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. 若复数 z ? ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A. ?1 B. 0 2. 给出下列命题,其中正确命题的个数是( ①已知 a , b , m 都是正数,
x y

) D. ?1 或 1

C. 1 )

a?m a ? b? m b
a

,则 a ? b ;
a

②已知a ? 1, 若a ? a ? 1, 则x ? y ; ③“ x ? 1 ,且 y ? 1 ”是“ x ? y ? 2 ”的充分不必要条件; ④命题“ ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 1 ? 0 ”. A.1 B.2 C.3 D.4
2 2

3. 已知向量 a ? (2,1) , a ? b ? 10, a ? b ? 5 2, 则 b 等于 ( A. 5 4. 函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? B. 10 C. 5

?

? ?

?

?

?

) D.25

) ) 的图象为 C .有以下结论,其中正确的个数为( 3 11 ①图象 C 关于直线 x ? ? 对称; 12 ? 5? ②函数 f ( x)在区间(? , )内是增函数; 12 12 ? ③由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C . 3 A.0 B.1 C.2 D.3 8 1 1 5. 已知实数 x、y 仅 满足 x?y >0,且 ) ? ? ? 1 ,则xy 取值的范围是( xy x y ??? A. ? 4, ?? ? B. ?16, ?? ? C. ?16, ?? ? D. ? 0, 4? ? ?16, ?? ?

?

?? log 1 x, x ? 0, ? 2 6. 数 f ( x) ? ? 若 f (a) ? f (?a) ,则实数 a 的取值范围是( log 1 (? x), x ? 0, ? ? 2
A. (-1,0)∪(0,1) C. (-1,0)∪(1,+∞)



B. (-∞,-1)∪(1,+∞) D. (-∞,-1)∪(0,1)

7. 为了测量一古塔的高度,某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为 45 ,沿着A向北 偏东 30 前进100米到达B地 (假设A和B在海拔相同的地面上) ,在B地测得塔尖的仰角为
?

?

30? ,则塔高为(
A.100 米

) B. 50 米 C.120 米 D.150 米

8. 若函数 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,当 x ? ? 0,1? 时, f ( x) ? x ,若在区间 ? ?1,1? 内恰有一个零点,

g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 则实数 m 的取值范围是(

)

A . ? 0, 1 ? ? ? 2? ?

B . ? 1 , ?? ? ? ?2 ? ?

C . ? 0, ?? ?

D . ? 0, 1 ? ? ? ? 2?

9. 已知各项均不为零的数列 {an } ,定义向量 cn ? (an , an ?1 ) ,bn ? (n, n ? 1) ,n ? N* . 下列命 题中真命题是 ( )

A. 若 ?n ? N* 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 B. 若 ?n ? N* 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 C. 若 ?n ? N* 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 D. 若 ?n ? N* 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 (第 10 题图)

10.如图,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一点P 到第i条边的距离为hi(i=1,2,3,4),若

a1 a2 a3 a4 = 2 = 3 = 4 =k,则 1

?
i=1

4

(ihi)= k

2S

.类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4),此三棱
4 S1 S2 S3 S4 = 2 = 3 = 4 =K,则 ? 1 i=1

锥内任一点Q到第i个面的距离记为hi(i=1,2,3,4),若

(ihi)=(

) 4V A. K

3V B. K

2V C. K

V D. K

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上) 11. 若正数 a,b,c 满足 a ? b ? 4c ? 1 ,则 a ? b ? 2c 的最大值为 .

12.不等式 x ? a ? 3 x ? 0 的解集为 A,不等式 的解集为 B,若 B ? A,则 a 的取值集合是 13. 某程序框图如右图所示,

2x ? 3 ?1 x ?1


该程序运行后输出的 k 的值是


2

14. 用 max{a,} 表示 a,b 两个数中的最大数,设 f ( x) ? max{x , x } ( x ? 0) ,那么由 b 函数 y ? f 是

? x ? 的图象、x 轴、直线 x ? ?2 和直线 x ? 2 所围成的封闭图形的面积之和
1 x



15. 具有性质: f ( ) ? ? f ( x) 的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:

x, (0 ? x ? 1)

1 1 ? y ? x? ;? y ? x ? ;? y ? ln x( x ? 0) x x

? y=

0, ( x ? 1) ? 1 ( x ? 1) x

其中满足“倒负”变换的函数是



三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. ( 本题满分 12 分)已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . (1)当 a // b 时,求 cos x ? sin 2 x 的值;
2

?

3 ? 4

? ?

(2)设函数 f ( x) ? 2(a ? b) ? b , 求 f ? x ? 的值域. ? 其中x ? (0,

? ? ?

? ?

7? ? )? 24 ?

17. ( 本题满分 12 分)已知等差数列 ?an ?的前n项和为Sn , 满足a1 =1,S6 =36 .数列 ?bn ? 是 等比数列且满足 b1 ? b2 ? 3, b4 ? b5 ? 24. (1)求数列 ?an ? 和?bn ?的通项公式; (2) 设cn ? 1 ? an ? bn , 求cn 的前n 项和Tn .

18.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e ? ln( x ? 1) . 是自然对数的底数) (e
x

(1)判断 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上是否是单调函数,并写出 f ( x) 在该区间上的最小值;
1 1 1

(2)证明: e ? e 2 ? e 3 ? ? ? e n ? ln(n ? 1) ? n. (n ? N * ).

19. (本题满分 12 分)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入
1 成本为 C(x),当年产量不足 80 千件时,C(x)= x2+10x(万元);当年产量不小于 80 千 3 10000 件时,C(x)=51x+ -1450(万元).通过市场分析,若每件售价为 500 元时,该厂 x 当年生产的该产品能全部销售完. (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一产品的生产中所获利润最大,最大利润是多少?

20. (本小题满分 13 分)在 数列?an ?中,a1 ? 1, a2 ? m, an ?1 ? ? an ? ? an ?1. (n ? 2)
(1)若 m ? 2, ? ? 2, ? ? ?1, 求an ;

? 1 ? n (2)接(),设S n是数列 ? 1 ?的前n 项和,Tn = n ,探讨S n与Tn的大小,并予以证明; an ? an ?1 ? 2 ?1 ?

(3)若 m ? 0, ? ? , ? ? ,基于事实:如果 d 是 a与b 的公约数,那么 d 必定是 a ? b 的 1 1 约数,问是否存在正整数 k 和 n,使得 kan ? 2 ? an与kan ?3 ? an ?1 有大于 1 的公约数, 如果存在求出 k 和 n,如果不存在,请说明理由。

1? x 21. (本题满分 14 分)已知函数 f (x) = ax ? ln x ? 1(a ? R) , g ( x) ? xe .

(1)求函数 g (x) 在区间 (0, e] 上的值域 T; (2)是否存在实数 a ,对任意给定的集合 T 中的元素 t,在区间 [1, e] 上总存在两个不同 的 xi (i ? 1,2) ,使得 f ( xi ) ? t 成立.若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明 理由; (3) 函数f ( x)图象上是否存在两点A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ),使得割线AB的斜率

恰好等于函数f ( x)在AB中点M( x0 , y0 )处切线的斜率?请写出判断过程.

鄂州市第二中学 2011-2012 学年上学期高三期中考试

高三数学(理科)答案
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的 四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. A 2. C 3. A 4. C 5.D 6. C 7. B 8. A 9. D 10.B

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上) 11.

10 2

12. a ?4 ? a ? 2

?

?

13.4

14. 6

15. ?③④

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 解: (1)? a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ?

? ?

3 4

3 4
……………….6 分

cos 2 x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 cos x ? sin 2 x ? ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5
2

(2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 所以最大值是 ?

? ? ?

? 3 2 sin(2 x ? ) + 4 2

,? x ? (0,

7? ? ? 5? ) ? 2x ? ? ( , ) , 24 4 4 6

? 2 3 3? ? , 2 ? ? ……………….12 分 ? 2 2 2? ?
3

17. 解: (1)? S6 ? 36 ? d ? 2 ? an ? 2n ? 1? q ?

b4 ? b5 ? 8 ? q ? 2 ? bn ? 2n ?1 b1 ? b2
…………….6 分

(2) cn ? 1+an ? bn =1+(2n-3) ? 2 ,由错位相减法得Tn ? (2n ? 3) ? 2 ? n ? 3.
n-1 n

…………….12 分 18.解 (1) ? f ( x) ? e ?
' x

1 1 1 ( x ? 0), 法一:令g ( x) ? e x ? , g ' ( x) ? e x ? ?0 x ?1 x ?1 ( x ? 1)2

? g ( x)在 ? 0,? ? 单增,g ( x) ? g (0)=0, f ( x)在 ?0,? ? 单增 + ? + 法二:先证明 e x ? x ? 1, x ? 1 ? 1 1 ?ex ? ? f ( x)在 ? 0,? ? 单增 + x ?1 x ?1

f ( x)在? 0,? ? 单增 ,所以最小值为 f (0) =1………….6 分 +
(2)

500×1000x ?1 2 1 19. 解: (1)当 0<x<80(x∈N)时, L(x)= -?3x +10x?-250=- x2+40x-250. ? 10000 3 50×1000x ? 10000 10000 当 x≥80(x∈N)时,L(x)= -?51x+ x -1450?-250=1200-?x+ x ?, ? ? ? 10000

?-3x +40x-250 ?0<x<80,x∈N ? ∴L(x)=? 10000 ?1200-?x+ x ? ?x≥80,x∈N ? ? ?
1
2 * *

……………………….6 分

1 (2)当 0<x<80,x∈N*时,L(x)=- (x-60)2+950, 3 ∴当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950, 当 x≥80,x∈N*时, 10000 ∵L(x)=120-?x+ x ?≤1200-2 ? ? 10000 x· =1200-200=1000, x

10000 ∴当且仅当 x= ,即 x=100 时,L(x)取得最大值 L(100)=1000>950. x 综上所述,当 x=100 时 L(x)取得最大值 1000,即年产量为 100 千件时,该厂在这一商 品的生产中所获利润最大.……………………….6 分

20. (1) n ?1 ? 2an ? an ?1. (n ? 2),? an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? ? ? a2 ? a1 ? 1,? an ?1 ? an ? 1 解: a

且a2 -a1 =1? an ? n, ……………………….3 分
(2)Sn = n , 只需比较n+1和2n ? 1的大小,即比较n+2与2n的大小. ? n+1 当n=1时,Sn ? Tn ; n=2时,Sn ? Tn ; n=3时,Sn ? Tn , 用数学归纳法或二项式定理证明;
……………………….8 分

(3)假设存在正整数 k , n 使得 kan ? 2 ? an 与 kan ?3 ? an ?1 有大于 1 的公约数 d , 则 d 也是 (kan ?3 ? an ?1 ) ? (kan ? 2 ? an ) 即 k (an ?3 ? an ? 2 ) ? (an ?1 ? an ) 的约数 依题设有 an?3 ? an? 2 ? an?1 , an ?1 ? an ? an ?1 ? d 是 kan ?1 ? an ?1 的约数 从而 d 是 kan ? 2 ? an 与 kan ?1 ? an ?1 的公约数同理可得 d 是 kan ? a n ?2 的约数依次类推,d 是

ka4 ? a2 与 ka3 ? a1 的约数??11 分,
于是 ka4 ? a2 ? k , ka3 ? a1 ? k ? 1,

a1 ? 1, a2 ? 0, 故 a3 ? 1, a4 ? 1,
又∵ k ? 1 ? k ? 1,

从而 d 是 k 与 1 的约数,即 d 为 1 的约数,这与 d ? 1 矛盾故不存在 k , n 使 kan ? 2 ? an 与

kan ?3 ? an ?1 有大于 1 的公约数. ……………………….13 分
21.解: (1)? g ?( x) ? e
1? x

? xe1? x ? e x ?1 (1 ? x)

? g (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,在区间

[1, e) 上单调递减,且 g (0) ? 0, g (1) ? 1 ? g (e) ? e 2?e ………………………….3 分 ? g (x) 的值域 T 为 (0,1] (2)则由(1)可得 t ? (0,1] ,原问题等价于:对任意的 t ? (0,1] f ( x) ? t 在 [1, e] 上 总 有 两 个 不 同 的 实 根 , 故 f (x) 在 [1, e] 不 可 能 是 单 调 函
数 ??????????????5 分

1 1 1 ? f ?( x) ? a ? (1 ? x ? e) ? [ ,1] x x e 当 a ? 1时, f ?( x) ? 0 , f (x) 在区间 [1, e] 上单调递增,不合题意 1 当 a ? 时, f ?( x) ? 0 , f (x) 在区间 [1, e] 上单调递减,不合题意 e 1 1 1 1 当 1 ? ? e 即 ? a ? 1 时, f (x) 在区间 [1, ] 上单调递减; f (x) 在区间 [ , e] 上单 a e a a 1 递增,由上可得 a ? ( ,1) ,此时必有 f (x) 的最小值小于等于 0 且 f (x) 的最大值大于等于 e 1 1 1, 而由 f ( x) min ? f ( ) ? 2 ? ln a ? 0 可得 a ? 2 ,则 a ? ? a e 综上,满足条件的 a 不存在。……………………………………………..8 分 y ?y a( x1 ? x2 ) ? (ln x1 ? ln x2 ) ln x1 ? ln x2 (3) k AB ? 1 2 ? ?a? , 而 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x ? x2 ln x1 ? ln x 2 2 2 f ?( x0 ) ? f ?( 1 )?a? ? ,故有 ……..10 分 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x 2( 1 ? 1) x x 2( x1 ? x 2 ) x2 4 ? 即 ln 1 ? ,令 t ? 1 ? (0,1) ,则上式化为 ln t ? ?2 ? 0, x1 x2 x1 ? x 2 x2 t ?1 ?1 x2
1 4 (t ? 1) 2 4 ?(t ) ? ? ? ? 0 可得 F (t ) 在 (0,1) 上单调 令 F (t ) ? ln t ? ? 2 ,则由 F t (t ? 1) 2 t (t ? 1) t ?1 4 递增,故 F (t ) ? F (1) ? 0 ,即方程 ln t ? ? 2 ? 0 无解,所以不存在。14 分 t ?1


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