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【同步练习】高中数学北师大版必修5 第二章3 解三角形的实际应用举例 作业2 Word版含解析

, [学生用书单独成册]) [A.基础达标] 1.如图, 为了测量隧道两口 A、B 之间的长度,对给出的四组数据, 计算时要求最简便,测量 时要求最容易,应当采用的一组是( ) A.a,b,γ B.a,b,α C.a,b,β D.α ,β ,a 解析:选 A.根据实际情况,α ,β都是不易测量的数据,在△ABC 中,a,b 可以测得, 角 γ 也可测得,根据余弦定理能直接求出 AB 的长. 2.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( ) 17 6 A. 海里/小时 B.34 6海里/小时 2 17 2 C. 海里/小时 D.34 2海里/小时 2 解析:选 A. 如图所示,在△PMN 中, PM MN = , sin 45° sin 120° 68× 3 所以 MN= =34 6, 2 MN 17 所以 v= = 6(海里/小时). 4 2 3.如图所示, 为测一树的高度,在地面上选取 A,B 两点,从 A,B 两点分别测得树尖的仰角为 30°, 45°,且 A,B 两点间的距离为 60 m,则树的高度为( ) A.(30+30 3)m B.(30+15 3)m C.(15+30 3)m D.(15+15 3)m 解析:选 A.在△PAB 中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60,sin 15°=sin(45°-30°)= sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°= 6- 2 2 3 2 1 PB AB × - × = , 由正弦定理得 = , 2 2 2 2 4 sin 30° sin 15° 所以 PB= m. 1 ×60 2 6- 2 4 =30( 6+ 2), 所以树的高度为 PBsin 45°=30( 6+ 2)× 2 =(30+30 3) 2 4.渡轮以 15 km/h 的速度沿与水流方向成 120°角的方向行驶,水流速度为 4 km/h, 则渡轮实际航行的速度约为(精确到 0.1 km/h)( ) A.14.5 km/h B.15.6 km/h C.13.5 km/h D.11.3 km/h 解析: 选 C.由物理学知识, 画出示意图,AB=15, AD=4,∠BAD=120°. 在?ABCD 中,D=60°, 在△ADC 中,由余弦定理得 AC= = ≈13.5. 5. AD2+CD2-2AD· CDcos D 16+225-4×15= 181 如图,从气球 A 测得正前方的济南全运会东荷、西柳两个场馆 B、C 的俯角分别为 α、 β,此时气球的高度为 h,则两个场馆 B、C 间的距离为( ) hsin α sin β hsin(β-α) A. B. sin(α-β) sin α sin β hsin α hsin β C. D. sin β sin(α-β) sin α sin(α-β) h AC 解析:选 B.在 Rt△ADC 中,AC= ,在△ABC 中,由正弦定理得 BC= ·sin(β sin β sin α hsin(β-α) -α)= . sin α sin β 6.海上的 A、B 两个小岛相距 10 km,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角,那么 B 岛和 C 岛间的距离是________km. 解析: 如图所示,则 C=180°-(60°+75°)=45°. 在△ABC 中, AB BC 由正弦定理 = ,得 sin C sin A ABsin A 10·sin 60° BC= = =5 6(km). sin C sin 45° 答案:5 6 7.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点, 在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲观测点连线 及甲、乙两观测点连线所成的角为 120°,甲、乙两观测点相距 500 m,则电视塔在这次测 量中的高度是________. 解析:由题意画出示意图, 设高 AB=h, 在 Rt△ABC 中, 由已知 BC=h, 在 Rt△ABD 中, 由已知 BD= 3h, 在△BCD 中,由余弦定理 BD2=BC2+CD2-2BC· CD· cos∠BCD 得,3h2=h2+5002+h· 500,解得 h= 500 m(负值舍去). 答案:500 m 8.一蜘蛛沿东北方向爬行 x cm 捕捉到一只小虫,然后向右转 105°,爬行 10 cm 捕捉 到另一只小虫,这时它向右转 135°爬行回它的出发点,那么 x=________. 解析:如图所示, 设蜘蛛原来在 O 点,先爬行到 A 点,再爬行到 B 点,易知在△AOB 中,AB=10 cm,∠ OAB=75°,∠ABO=45°, 则∠AOB=60°,由正弦定理知: AB·sin∠ABO 10×sin 45° 10 6 x= = = . 3 sin∠AOB sin 60° 10 6 答案: 3 9.如图, 某军舰艇位于岛屿 A 的正西方 C 处,且与岛屿 A 相距 120 海里.经过侦察发现,国际 海盗船以 100 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿北偏东 30°方向逃窜,同时,该军舰艇从 C 处出发沿北偏东 90°-α 的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用 2 小时追上. (1)求该军舰艇的速度. (2)求 sin α 的值. 解:(1)依题意知,∠CAB=120°,AB=100×2=200,AC=120,∠ACB=α, 在△ABC 中, 由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠CAB =2002+1202-2×200×120cos 120° =78 400,解得 BC=280. BC 所以该军舰艇的速度为 =140 海里/小时. 2 AB BC (2)在△AB

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