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朔城区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

朔城区实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知函数 f(x)的定义域为[a,b],函数 y=f(x)的图象如下图所示,则函数 f(|x|)的图象是( )

姓名__________

分数__________

A.

B.

C.

D.

2. 已知两点 M(1, ),N(﹣4,﹣ ),给出下列曲线方程: ①4x+2y﹣1=0;
2 2 ②x +y =3;

③ ④

+y2=1;
2 ﹣y =1.

在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是( A.①③ B.②④ C.①②③ 3. O 为坐标原点, F 为抛物线 A.1 B. C. D.2
2 2



D.②③④ P 是抛物线 C 上一点, 的焦点, 若|PF|=4, 则△ POF 的面积为 ( ) D.等腰三角形或直角三角形 )

4. 在 ?ABC 中, tan A sin B ? tan B sin A ,那么 ?ABC 一定是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形
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5. 设集合 A={x|x<a},B={x|x<3},则“a<3”是“A?B”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



6. 四棱锥的八条棱代表 8 种不同的化工产品,由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没 有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存 放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( A.96
x

) D.0 ) D.0<a<1 且 b<0

B.48

C.24

7. 若函数 y=a ﹣(b+1)(a>0,a≠1)的图象在第一、三、四象限,则有( A.a>1 且 b<1 B.a>1 且 b>0 C.0<a<1 且 b>0 相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )

8. 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离

D1 A1

C1 B1 P

D A
A.直线

C B
B.圆 C.双曲线 D.抛物线 ) D. )

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识,意在考查空间想象能力. 9. 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是,,,已知 8b ? 5c , C ? 2 B ,则 cos C ? ( A.

7 25

B. ?

7 25
C.(﹣1,+∞)

C. ?

7 25

24 25

10.设集合 M={x|x≥﹣1},N={x|x≤k},若 M∩N≠¢,则 k 的取值范围是( A.(﹣∞,﹣1] 11.已知 A.﹣1
2

B.[﹣1,+∞)

D.(﹣∞,﹣1) ) D.3 )

,其中 i 为虚数单位,则 a+b=( B.1
4

C.2 D. ,

12.函数 f(x)=cos x﹣cos x 的最大值和最小正周期分别为( A. ,π B. , C . ,π

二、填空题

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13.台风“海马”以 25km/h 的速度向正北方向移动,观测站位于海上的 A 点,早上 9 点观测,台风中心位于其 东南方向的 B 点;早上 10 点观测,台风中心位于其南偏东 75°方向上的 C 点,这时观测站与台风中心的距离 AC 等于 km. (填点的坐标) 14.函数 y=ax+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点

15.对于映射 f:A→B,若 A 中的不同元素有不同的象,且 B 中的每一个元素都有原象,则称 f:A→B 为一 一映射,若存在对应关系 Φ,使 A 到 B 成为一一映射,则称 A 到 B 具有相同的势,给出下列命题: ①A 是奇数集,B 是偶数集,则 A 和 B 具有相同的势; ②A 是平面直角坐标系内所有点形成的集合,B 是复数集,则 A 和 B 不具有相同的势; ③若区间 A=(﹣1,1),B=R,则 A 和 B 具有相同的势. 其中正确命题的序号是 .

16.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为 cm3.

17.在矩形 ABCD 中,

=(1,﹣3),

,则实数 k=
2



18.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ,则 y ? f ( x ) 在 R 上的解析式为

三、解答题
19.已知函数 f(x)=4x﹣a?2x+1+a+1,a∈R. (1)当 a=1 时,解方程 f(x)﹣1=0; (2)当 0<x<1 时,f(x)<0 恒成立,求 a 的取值范围; (3)若函数 f(x)有零点,求实数 a 的取值范围.

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20.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些 图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设 第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(Ⅰ)求出 f(5); (Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求 f(n) 的表达式.

21.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x﹣6y﹣7=0 垂直, 导函数 f′(x)的最小值为﹣12. (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在[﹣1,3]上的最大值和最小值.

22.如图,在四棱柱 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证: 平面 ; ;

中,

底面









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(Ⅲ)若

,判断直线

与平面

是否垂直?并说明理由.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程: 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线 l 的极坐
2 标方程为 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 2 p cos? ( p ? 0) .

2 t ,求直线 l 的参数方程; 2 2 (2)已知直线 l 与曲线 C 交于 P, Q ,设 M (?2, ?4) ,且 | PQ | ?| MP | ? | MQ | ,求实数 p 的值.
(1)设 t 为参数,若 x ? ?2 ?

24.△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边之长依次为 a,b,c,且 cosA= (Ⅰ)求 cos2C 和角 B 的值; (Ⅱ)若 a﹣c= ﹣1,求△ ABC 的面积.

2 2 2 ,5(a +b ﹣c )=3

ab.

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朔城区实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:∵y=f(|x|)是偶函数, ∴y=f(|x|)的图象是由 y=f(x)把 x>0 的图象保留, x<0 部分的图象关于 y 轴对称而得到的. 故选 B. 【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力,注意区别函数 y=f(x)的图象和函数 f(|x|)的图象之间的关 系,函数 y=f(x)的图象和函数|f(x)|的图象之间的关系;体现了数形结合和运动变化的思想,属基础题.

2. 【答案】 D 【解析】解:要使这些曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|,需曲线与 MN 的垂直平分线相交. MN 的中点坐标为(﹣ ,0),MN 斜率为 ∴MN 的垂直平分线为 y=﹣2(x+ ), ∵①4x+2y﹣1=0 与 y=﹣2(x+ ),斜率相同,两直线平行,可知两直线无交点,进而可知①不符合题意.
2 2 2 ②x +y =3 与 y=﹣2(x+ ),联立,消去 y 得 5x ﹣12x+6=0,△=144﹣4×5×6>0,可知②中的曲线与 MN 的

=

垂直平分线有交点, ③中的方程与 y=﹣2(x+ ),联立,消去 y 得 9x ﹣24x﹣16=0,△>0 可知③中的曲线与 MN 的垂直平分线 有交点,
2 ④中的方程与 y=﹣2(x+ ),联立,消去 y 得 7x ﹣24x+20=0,△>0 可知④中的曲线与 MN 的垂直平分线有 2

交点, 故选 D 3. 【答案】C 【解析】解:由抛物线方程得准线方程为:y=﹣1,焦点 F(0,1), 又 P 为 C 上一点,|PF|=4, 可得 yP=3, 代入抛物线方程得:|xP|=2 ,

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∴S△POF= |0F|?|xP|= 故选:C. 4. 【答案】D 【解析】



试题分析:在 ?ABC 中, tan A sin B ? tan B sin A ,化简得
2 2

sin A sin B sin 2 B ? sin 2 A ,解得 cos A cos B

sin B sin A n i2 A s n i? 2 ? ? sin A cos A ? sin B cos B , 即s cos A cos B
A? B ?

B, 所以 2 A ? 2 B 或 2 A ? ? ? 2 B , 即A? B或

?

2

,所以三角形为等腰三角形或直角三角形,故选 D.

考点:三角形形状的判定. 【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定,其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角 三角函数基本关系的运用, 其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键, 着重考查了学生分析问题和解答 问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解答中得出 sin 2 A ? sin 2 B ,从而得到 A ? B 或 A ? B ? 题的一个难点,属于中档试题. 5. 【答案】A 【解析】解:若 A?B,则 a≤3, 则“a<3”是“A?B”的充分不必要条件, 故选:A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据集合关系是解决本题的关键. 6. 【答案】 B 【解析】 排列、组合的实际应用;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的, 没有公共点的两条棱代 表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品, 求安全存放的不同方法的种数.首先需要把四棱锥个顶点设出来,然后分析到四棱锥没有公共点的 8 条棱分 4 组,只有 2 种情况.然后求出即可得到答案. 【解答】解:8 种化工产品分 4 组,设四棱锥的顶点是 P,底面四边形的个顶点为 A、B、C、D.

?
2

是试

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分析得到四棱锥没有公共点的 8 条棱分 4 组,只有 2 种情况, (PA、DC;PB、AD;PC、AB;PD、BC)或(PA、BC;PD、AB;PC、AD;PB、DC)
4 那么安全存放的不同方法种数为 2A4 =48.

故选 B. 【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用,其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断,把空间 几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖. 7. 【答案】B
x 【解析】解:∵函数 y=a ﹣(b+1)(a>0,a≠1)的图象在第一、三、四象限, 0 ∴根据图象的性质可得:a>1,a ﹣b﹣1<0,

即 a>1,b>0, 故选:B 8. 【答案】D.

第Ⅱ卷(共 110 分) 9. 【答案】A

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【解析】

考 点:正弦定理及二倍角公式. 【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化,同角三角函数间的基本关系及二倍角公式, 如 sin 理
2

? ? cos2 ? ? 1, cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定

a b c ? ? ? 2 R ,余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 实现边与角的互相转化. sin A sin B sin C

10.【答案】B 【解析】解:∵M={x|x≥﹣1},N={x|x≤k}, 若 M∩N≠¢, 则 k≥﹣1. ∴k 的取值范围是[﹣1,+∞). 故选:B. 【点评】本题考查了交集及其运算,考查了集合间的关系,是基础题. 11.【答案】B 【解析】解:由 另解:由 故选 B. 【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算,是基础题. 12.【答案】B
2 4 2 2 2 2 2 【解析】解:y=cos x﹣cos x=cos x(1﹣cos x)=cos x?sin x= sin 2x=

得 a+2i=bi﹣1,所以由复数相等的意义知 a=﹣1,b=2,所以 a+b=1 得﹣ai+2=b+i(a,b∈R),则﹣a=1,b=2,a+b=1.



故它的周期为 故选:B.

=

,最大值为 = .

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二、填空题
13.【答案】 25 【解析】解:由题意,∠ABC=135°,∠A=75°﹣45°=30°,BC=25km, 由正弦定理可得 AC= 故答案为:25 . =25 km,

【点评】本题考查三角形的实际应用,转化思想的应用,利用正弦定理解答本题是关键. 14.【答案】 (0,2)

0 【解析】解:令 x=0,得 y=a +1=2 x ∴函数 y=a +1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点 (0,2)

故答案为:(0,2). 【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点,解题的关键是熟练掌握指数函数的性质,确定指数为 0 时,求 函数的图象必过的定点 15.【答案】 ①③ .

【解析】解:根据一一映射的定义,集合 A={奇数}→B={偶数},不妨给出对应法则加 1.则 A→B 是一一映 射,故①正确; 对②设 Z 点的坐标(a,b),则 Z 点对应复数 a+bi,a、b∈R,复合一一映射的定义,故②不正确; 对③,给出对应法则 y=tan ③正确. 故选:①③ 【点评】本题借助考查命题的真假判断,考查一一映射的定义,属于基础题型,考查考生对新定义题的理解与 应用能力. 16.【答案】 6 x,对于 A,B 两集合可形成 f:A→B 的一一映射,则 A、B 具有相同的势;∴

【解析】解:过 A 作 AO⊥BD 于 O,AO 是棱锥的高,所以 AO= 所以四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为 V= =6.

=



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故答案为:6. 17.【答案】 4 .

【解析】解:如图所示,

在矩形 ABCD 中, ∴ ∴ = ? ﹣

=(1,﹣3),



=(k﹣1,﹣2+3)=(k﹣1,1),

=1×(k﹣1)+(﹣3)×1=0,

解得 k=4. 故答案为:4. 【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题,是基础题目.
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 18.【答案】 y ? ? 2 ? ? ? x ? 2 x, x ? 0

【解析】
2 试题分析:令 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,所以 f ? ? x ? ? ? ? x ? ? 2 ? ? x ? ? x ? 2 x ,又因为奇函数满足 2

2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 。 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,所以 f ? x ? ? ?x ? 2x ? x ? 0? ,所以 y ? f ? x ? 在 R 上的解析式为 y ? ? 2 ? ? ? x ? 2 x, x ? 0

2

考点:函数的奇偶性。

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)a=1 时,f(x)=4x﹣22x+2, f(x)﹣1=(2x)2﹣2?(2x)+1=(2x﹣1)2=0, ∴2x=1,解得:x=0; (2)4x﹣a?(2x+1﹣1)+1>0 在(0,1)恒成立, a?(2?2x﹣1)<4x+1, ∵2x+1>1, ∴a> ,

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x 令 2 =t∈(1,2),g(t)=

, =0,

则 g′(t)=

=

t=t0,∴g(t)在(1,t0)递减,在(t0,2)递增, 而 g(1)=2,g(2)= , ∴a≥2; (3)若函数 f(x)有零点, 则 a= 有交点, ,

由(2)令 g(t)=0,解得:t= 故 a≥ .

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数零点问题,是一道中档题. 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(2)﹣f(1)=4=4×1. f(3)﹣f(2)=8=4×2, f(4)﹣f(3)=12=4×3, f(5)﹣f(4)=16=4×4 ∴f(5)=25+4×4=41.… (Ⅱ)由上式规律得出 f(n+1)﹣f(n)=4n.… ∴f(2)﹣f(1)=4×1, f(3)﹣f(2)=4×2, f(4)﹣f(3)=4×3, … f(n﹣1)﹣f(n﹣2)=4?(n﹣2), f(n)﹣f(n﹣1)=4?(n﹣1)… ∴f(n)﹣f(1)=4[1+2+…+(n﹣2)+(n﹣1)]=2(n﹣1)?n,
2 ∴f(n)=2n ﹣2n+1.…

21.【答案】 【解析】解:(1)∵f(x)为奇函数,

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3 3 ∴f(﹣x)=﹣f(x),即﹣ax ﹣bx+c=﹣ax ﹣bx﹣c,∴c=0. 2 ∵f′(x)=3ax +b 的最小值为﹣12,∴b=﹣12.

又直线 x﹣6y﹣7=0 的斜率为 ,则 f′(1)=3a+b=﹣6,得 a=2, ∴a=2,b=﹣12,c=0;
3 2 (2)由(1)知 f(x)=2x ﹣12x,∴f′(x)=6x ﹣12=6(x+

)(x﹣

), ( ,+∞) + 增

列表如下: x f′(x) f(x)

(﹣∞,﹣ ) + 增 )=﹣8

﹣ 0 极大 ,f(3)=18,

(﹣ ) ﹣ 减 )和(

, 0 极小 ,+∞). )=﹣8 .

所以函数 f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣ ∵f(﹣1)=10,f(

∴f(x)在[﹣1,3]上的最大值是 f(3)=18,最小值是 f( 22.【答案】 【解析】【知识点】垂直平行 【试题解析】(Ⅰ)证明:因为 所以 因为 所以 又因为 所以平面 又因为 所以 平面 平面 . 底面 , 底面 平面 , 平面 , 平面 , . . 平面 . , 平面 , , 平面



平面



(Ⅱ)证明:因为 所以 又因为 所以 又因为 所以 . , 平面 底面 . .







(Ⅲ)结论:直线

与平面

不垂直.

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证明:假设 由 由棱柱 可得 又因为 所以 所以 又因为 所以 所以 这与四边形 故直线 平面 . 平面 . , 平面

平面 ,得

, . 中, , 底面 ,

, ,

, ,

为矩形,且 与平面 不垂直.

矛盾,

23.【答案】 【解析】【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程 的几何意义的应用,意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力,以及方程思想、转化思想的应 用.

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24.【答案】 【解析】解:(I)由∵cosA= ∴sinA=
2 2 2 ∵5(a +b ﹣c )=3

,0<A<π,

=

, ab,

∴cosC= ∵0<C<π, ∴sinC=

=



=



2 ∴cos2C=2cos C﹣1= ,

∴cosB=﹣cos(A+C)=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣ ∵0<B<π,

×

+

×

=﹣

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∴B= (II)∵ ∴a= ∵a﹣c= ∴a=

. = = c, ,

﹣1,

,c=1, ×1× = .

∴S= acsinB= ×

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用,两角和与差的正弦公式等知识.考查学生对基础知 识的综合运用.

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