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江西省吉安市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科)

江西省吉安市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.“p 或 q 为假”是“p 且 q 为假”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据充分必要条件的性质结合复合命题的性质进行判断即可. 解答: 解:若 p 或 q 为假,则 p 假 q 假,则 p 且 q 为假,是充分条件, 若 p 且 q 为假,则 p 假或 q 假,推不出 p 或 q 为假,不是必要条件, 故选:A. 点评:本题考查了充分必要条件,考查了复合命题的判断,是一道基础题. 2.直线 mx﹣y﹣2=0 与直线 2x+y+2=0 垂直的充要条件是( A.m= B.m=﹣ C.m=2 ) D.m=﹣2

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题:直线与圆;简易逻辑. 分析:根据充分条件和必要条件的定义结合直线垂直的等价条件进行求解即可. 解答: 解:直线 mx﹣y﹣2=0 与直线 2x+y+2=0 的斜率分别是 m,和﹣2, 若两直线垂直则﹣2m=﹣1, 解得 m= , 当 m= 时,满足两直线垂直, 故直线 mx﹣y﹣2=0 与直线 2x+y+2=0 垂直的充要条件 m= , 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据直线垂直的等价条件是解决本题的关 键. 3.函数 y=2esinx 在点 x=0 处的瞬时变化率为( ) A.2 B.﹣2 C.2e 考点:变化的快慢与变化率. 专题:计算题;导数的概念及应用.

D.﹣2e

分析:函数 y=2esinx 在点 x=0 处的瞬时变化率为函数 y=2esinx 在点 x=0 处的导数,所以求 出函数 y=2esinx 在点 x=0 处的导数即可. 解答: 解:y′|x=0=2ecosx|x=0=2e 故选:C. 点评:让学生理解导数的物理意义,会求函数在某一点的导数. 4.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面 考点:平面与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析:利用两个平面平行的判定定理判断即可. 解答: 解:对于 A,一个平面内的一条直线平行于另一个平面,这两个平面可能相交. 对于 B,一个平面内的两条直线平行于另一个平面,如果这两条直线平行,则这两个平面可 能相交. 对于 C,一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,如果这无数条直线平行,则这两个平 面可能相交. 对于 D, 一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面, 满足平面与平面平行的判定定理, 所以正确. 故选:D. 点评:本题考查平面与平面平行的判定定理的应用,基本知识的考查. 5.下列四个命题中,其中真命题为( ) A.若函数 y=f(x)在一点的导数值为 0,则函数 y=f(x)在这点处取极值 B.命题“若 α= ,则 tanα=1”的否命题是“若 tanα≠1,则 a≠ ”

C.已知 a,b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的充分不必要条件 D.函数 f(x)= 既是偶函数又在区间(﹣∞,0)上单调递增

考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析:A.函数 y=f(x)在一点的导数值为 0,是函数 y=f(x)在这点处取极值的必要不充 分条件; B.命题“若 α= ,则 tanα=1”的否命题是“若 a≠ ,则 tanα≠1”,即可判断出不正确;

C.“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的充要条件,即可判断出不正确; D.利用幂函数的性质即可判断出正确. 解答: 解:A.函数 y=f(x)在一点的导数值为 0,是函数 y=f(x)在这点处取极值的必 3 要不充分条件,例如函数 f(x)=x ,f′(0)=0,但是函数 f(x)在 x=0 处无极值;

B.命题“若 α=

,则 tanα=1”的否命题是“若 a≠

,则 tanα≠1”,因此不正确;

C.“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的充要条件,因此不正确; D.函数 f(x)= 既是偶函数又在区间(﹣∞,0)上单调递增,正确.

故选:D. 点评:本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力,属于基础题. 6. 三棱锥 P﹣ABC 的侧棱 PA, PB, PC 两两互相垂直, 且 PA=PB=PC=2, 则三棱锥 P﹣ABC 的外接球的体积是( ) A.2 π B.4 π C. π D.8 π

考点:球的体积和表面积;球内接多面体. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱,作长方体如图,则长方体的外接球同时也 是三棱锥 P﹣ABC 外接球.算出长方体的对角线即为球直径,结合球的表面积公式,可算 出三棱锥 P﹣ABC 外接球的体积. 解答: 解:以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱,作长方体如图 则长方体的外接球同时也是三棱锥 P﹣ABC 外接球. ∵长方体的对角线长为 2 , ∴球直径为 2 ,半径 R= , 因此,三棱锥 P﹣ABC 外接球的体积是 πR = π×( 故选:B.
3

) =4

3

π

点评:本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直,求它的外接球的表面积,着重考查了长方体对 角线公式和球的表面积计算等知识,属于基础题.

7.已知双曲线 C:



=1 的点到焦点的最短距离为 2,点 P(3,4)在双曲线 C 的渐 ) =1 C. =1 D.

近线上,则双曲线 C 的方程为( A. B. ﹣

考点:双曲线的标准方程. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:利用双曲线 C: ﹣ =1 的点到焦点的最短距离为 2,点 P(3,4)在双曲线 C 的

渐近线上,可得 c﹣a=2, = ,求出 a,b,即可求出双曲线 C 的方程. 解答: 解:由题意,c﹣a=2, = , ∴a=3,b=4,c=5 ∴双曲线 C 的方程为 ,

故选:B. 点评:本题考查双曲线的方程,考查双曲线的性质,求出 a,b 是关键. 8.若函数 f(x)满足 f(x)=elnx+x f(1)+x,则 f(1)的值为( A.﹣2e﹣1 B.﹣e﹣1 C.﹣1 D.e+1 考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:求出函数的导数,代入 x=1,化简求解即可. x 2 解答: 解:函数 f(x)满足 f(x)=e lnx+x f′(1)+x, 可得 f′(x)=e lnx+
x 2

)

+2xf′(1)+1,

∴x=1 时,f′(1)=0+e+2f′(1)+1, 解得 f′(1)=﹣e﹣1. 故选:B. 点评:本题考查函数的导数的运算,考查计算能力. 9.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是抛物线 y =2x 的内接等腰直角三角形,则这 个平面图形的面积( ) A. B.4 C .8 D.16 考点:简单空间图形的三视图. 专题:数形结合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析:根据抛物线与等腰直角三角形的对称性, 得出抛物线 y =2x 的内接等腰直角三角形如 图所示, 画出图形,结合图形,求出等腰直角△ AOB 的面积,利用直观图与原图形的面积关系,求 出原平面图形的面积. 2 解答: 解:根据图形的对称性,画出该抛物线 y =2x 的内接等腰直角三角形,如图所示; 设直线 OA 的方程为 y=x,
2

则由



解得 x=2,y=2; 等腰直角△ AOB 的面积为 S△ AOB= ×|AB|×|x|= ×4×2=4, ∴原平面图形的面积为 4×2 故选:C. =8 .

点评: 本题考查了抛物线的对称性应用问题, 也考查了平面直观图与原图形的面积比的应用 问题,是综合性基础题目.

10.设 F1,F2 是椭圆

+

=1(a>b>0)的左右焦点,过点 F1,F2 作 x 轴的垂线交椭圆 ) D.

四点构成一个正方形,则椭圆的离心率 e 为( A. B. C.

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由题意推出椭圆上的点的坐标,代入椭圆方程,得到 abc 的关系,然后求解椭圆的离 心率即可. 解答: 解:F1,F2 是椭圆 + =1(a>b>0)的左右焦点,过点 F1,F2 作 x 轴的垂线

交椭圆四点构成一个正方形,所以(c,c)是椭圆上的点,可得:




2 2 4 2 2 4


2 2

a c ﹣c +a c =a ﹣a c ,

可得 e ﹣3e +1=0.解得 e=

4

2

=



故选:B. 点评:本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的离心率的求法,考查计算能力. 11.直线 l:y=kx﹣1 与圆 x +y =1 相交于 A、B 两点,则△ OAB 的面积最大值为( A. B. C .1 D.
2 2

)

考点:直线与圆的位置关系. 专题:直线与圆. 分析:由题意可得,△ OAB 的面积为 sin∠AOB,再根据正弦函数的值域,求得它的最大 值. 解答: 解: 由题意可得 OA=OB=1, △ OAB 的面积为 OA?OB?sin∠AOB= sin∠AOB≤ , 故△ OAB 的面积最大值为 , 故选:B. 点评:本题主要考查直线和圆的位置关系,正弦函数的值域,属于基础题.

12. 已知函数 f (x) =

的最小值为 f (0) , 则 a 的取值范围是(

)

A.[﹣1, ]

B.[﹣1,0]

C.[0, ]

D.[0,2]

考点:分段函数的应用. 专题:计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:由分段函数可得当 x=0 时,f(0)=4a ,由于 f(0)是 f(x)的最小值,则(﹣∞, 0]为减区间,即有 a≥0,则有 4a ≤x+ +a+1,x>0 恒成立,运用基本不等式,即可得到右边 的最小值 5+a,解不等式 4a ≤5+a,即可得到 a 的取值范围.
2 2 2

解答: 解:由于 f(x)=
2



则当 x=0 时,f(0)=4a , 由于 f(0)是 f(x)的最小值, 则(﹣∞,0]为减区间,即有 a≥0, 则有 4a ≤x+ +a+1,x>0 恒成立,
2

由 x+ ≥2
2

=4,当且仅当 x=2 取最小值 4,

则 4a ≤5+a,解得﹣1≤a≤ . 综上,a 的取值范围为[0, ]. 故选:C. 点评: 本题考察了分段函数的应用, 考查函数的单调性及运用, 同时考查基本不等式的应用, 是一道中档题,也是易错题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知曲线 y=2x 及点 P(1,2) ,则在点 P 处的曲线 y=2x 的切线方程为 y=4x﹣2. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析:欲求在点(﹣1,3)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在 x=﹣1 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 解答: 解:∵y=2x ,∴y′=4x, ∴x=1 时,y′=4, 2 ∴曲线 y=2x 在点 P(1,2)处的切线方程为:y﹣2=4×(x﹣1) ,即 y=4x﹣2, 故答案为:y=4x﹣2. 点评:本题主要考查直线的斜率、直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点 切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于中档题.
2 2 2 2

14.若直线 ax+y+b﹣1=0(a>0,b>0)过抛物线 y =4x 的焦点 F,则

的最小值是 4.

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 2 分析:由抛物线 y =4x,可得焦点 F(1,0) ,代入直线方程 ax+y+b﹣1=0 可得:a+b=1.再 利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 2 解答: 解:由抛物线 y =4x,可得焦点 F(1,0) , 代入直线方程 ax+y+b﹣1=0 可得:a+b=1. 又 a>0,b>0, ∴ ∴ =(a+b) 的最小值是 4. =2+ =4,当且仅当 a=b= 时取等号.

故答案为:4. 点评:本题考查了抛物线的性质、“乘 1 法”与基本不等式的性质,属于基础题. 15.已知圆 C:x +y ﹣2x﹣5y+4=0,以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和 顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 y ﹣
2 2 2

=1.

考点:双曲线的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由题意求得双曲线的顶点、焦点的坐标,可得 b 的值,再根据双曲线的标准方程的特 征求出双曲线的标准方程. 2 2 解答: 解:根据圆 C:x +y ﹣2x﹣5y+4=0,可得它与坐标轴的交点分别为 A(0,1) ,B (0,4) , 故要求的双曲线的顶点为 A(0,1) ,焦点为 B(0,4) , 故 a=1,c=4 且焦点在 y 轴上,∴b= 故要求的双曲线的标准方程为 y ﹣ 故答案为:y ﹣
2 2

= =1,



=1.

点评: 本题主要考查双曲线的定义和标准方程, 以及双曲线的简单性质的应用, 属于基础题. 16.若函数 f(x)=2lnx+ae 在区间[1,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围是(﹣∞,﹣ ].
x

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:求出原函数的导函数,使导函数在[1,+∞)上恒小于等于 0,列式求解 a 的范围. 解答: 解:由函数 f(x)=2lnx+ae , (x>0) 则 f′(x)= +ae =
x x x



令 g(x)=axe +2,因为 f(x)在[1,+∞)上是减函数, 所以,f′(x)在[1,+∞)上小于等于 0 恒成立, 则 g(x)=axe +2 在[e,+∞)上小于等于 0 恒成立, 即 axe +2≤0,所以 a≤﹣ 故答案为: (﹣∞,﹣ ]. 点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系. 考查了在某一区间内不等 式恒成立的问题,此题属中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.如图是无上底的几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的图形,外边界是矩形, 它的底边长为 4,宽为 3,俯视图是半径为 2 的圆,求该几何体的表面积和体积.
x x

.因为 y=﹣

在 x∈[1,+∞)是增函数,所以 a≤﹣ .

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由三视图由两部分组成,上面是一个圆柱里面挖取一个倒立的圆锥,下面是一个圆 柱.利用表面积与体积计算公式即可得出. 解答: 解:由三视图由两部分组成,上面是一个圆柱里面挖取一个倒立的圆锥,下面是一 个圆柱. 其表面积 S=π×2 +2π×2×3+ 体积 V= = .
2

=



点评:本题考查了圆锥与圆柱的表面积与体积计算公式,属于基础题. 18.已知圆 C 的方程为(x﹣1) +(y﹣1) =2,点 A(2,2) . (1)直线 l1 过点 A,且与圆 C 相交所得弦长最大,求直线 l1 的方程; (2)直线 l2 过点 A,与圆 C 相切分别交 x 轴,y 轴于 D、E.求△ ODE 的面积.
2 2

考点:直线与圆的位置关系;直线的一般式方程. 专题:计算题;直线与圆. 分析: (1)由题意,直线 l1 过点 A,且与圆 C 相交所得弦长最大时,过 A,C 的直线为所 求,方程为 y=x;

(2)直线 DE 的斜率为﹣1,可得 DE 的方程,求出 D(4,0) ,E(0,4) ,即可求出△ ODE 的面积. 解答: 解: (1)由题意,过 A,C 的直线为所求,方程为 y=x; (2)直线 DE 的斜率为﹣1,方程为 y﹣2=﹣(x﹣2) ,即 x+y﹣4=0. ∴D(4,0) ,E(0,4) , ∴△ODE 的面积为 =8.

点评:本题考查直线方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,比较基础. 19.设命题 p:存在 x∈R,使得 a≥2sinx+1;命题 q:任意 x∈(0,+∞) ,不等式 a≤ +x 恒成 立, (1)写出“非 p”命题,并判断“非 p”是 q 成立的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条 件、充要条件、既不充分又不必要条件) ; (2)若“p 或 q”为真“p 且 q”为假,求实数 a 的取值范围. 考点:复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析: (1)求出命题¬p 时 a 的取值范围与命题 q 为真时 a 的取值范围,即可判断¬p 是 q 成立的什么条件; (2)“p 或 q”为真、“p 且 q”为假时,得 p 真 q 假,或 p 假 q 真,从而求出 a 的取值范围. 解答: 解: (1)∵命题 p:存在 x∈R,使得 a≥2sinx+1, ∴命题¬p:?x∈R,都有 a<2sinx+1; ∴a<(2sinx+1)min=﹣2+1,即 a<﹣1; 又∵命题 q:任意 x∈(0,+∞) ,不等式 a≤ +x 恒成立, ∴a≤ =2,即 a≤2;

∴¬p 是 q 成立的充分不必要条件; (2)当“p 或 q”为真、“p 且 q”为假时, 得 p 真 q 假,或 p 假 q 真两种情况; ∴p 真 q 假时, ,解得 a>2;

p 假 q 真时,

,解得 a<﹣1;

∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) . 点评: 本题考查了复合命题真假的判断问题, 也考查了命题的否定以及充分与必要条件的判 断问题,是综合性题目. 20.如图,已知直三棱锥 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=2,且 AC⊥BC,点 D 是 A1B1 中点. (1)求证:平面 CC1D⊥平面 A1ABB1; (2)若异面直线 CD 与 BB1 所成角的正切值为 ,求点 C1 到平面 A1CD 的距离.

考点:点、线、面间的距离计算;异面直线及其所成的角;平面与平面垂直的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)根据已知条件,利用直线与平面垂直的判定定理,能推导出 C1D⊥面 A1ABB1, 由此能够证明平面 CC1D⊥平面 A1ABB1; (2)设点 C1 到平面 A1CD 的距离为 h,则由等体积可求点 C1 到平面 A1CD 的距离. 解答: (1)证明:在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∵AA1⊥面 A1B1C1,C1D?面 A1B1C1, ∴C1D⊥AA1, ∵AC=BC=2,∴A1C1=B1C1=2, ∵点 D 是 A1B1 中点,∴C1D⊥A1B1, ∵AA1∩A1B1=A1, ∴C1D⊥面 A1ABB1, ∵C1D?平面 CC1D, ∴平面 CC1D⊥平面 A1ABB1. (2)解:∵C1C∥B1B,异面直线 CD 与 BB1 所成角的正切值为 ∴tan∠C1CD= , ,

∵AC=BC=2,且 AC⊥BC, ∴C1D= , ∴CD=2,C1C= ,A1C= ∴cos∠A1DC= ∴∠A1DC=135°, ∴ = =﹣

, ,

=1, = × ,

设点 C1 到平面 A1CD 的距离为 h,则由等体积可得 ∴h= , .

∴点 C1 到平面 A1CD 的距离为

点评:本题考查平面与平面垂直的证明,考查点 C1 到平面 A1CD 的距离,解题时要注意空 间思维能力的培养,合理运用等体积法求点 C1 到平面 A1CD 的距离.

21.已知函数 f(x)=e (x ﹣ x ﹣3x+a) . (1)若曲线 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程为 x+y﹣2=0,求实数 a 的值; (2)若函数 f(x)有三个极值点,求实数 a 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)首先利用函数在某点导数,即求出切线的斜率,进一步求出参数的值. (Ⅱ)根据函数有几个极值点,即函数的导数有几个实数根,进一步建立不等式组,解不等 式组求出参数的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)已知函数 f(x)=e (x ﹣ x ﹣3x+a) . 则:f′(x)=e ( =e (x +
x 3 x x 3 2

x

3

2

)+e (3x ﹣3x﹣3)

x

2

﹣6x+a﹣3)

f′(0)=a﹣3 由于直线方程为 x+y﹣2=0 的斜率为﹣1, 所以:a﹣3=﹣1 解得:a=2. (Ⅱ)函数 f(x)有三个极值点,即 f′(x)=e (x + 设 k(x)=f′(x)=e (x + 由于 e >0, 所以:只需满足 g(x)=(x +
2 3 x x 3 x 3

﹣6x+a﹣3)有三个不同的实数根.

﹣6x+a﹣3)

﹣6x+a﹣3)有三个不同的实数根即可.

g′(x)=3x ﹣3x﹣6=3(x﹣2) (x+1) 令 g′(x)=0,解得:x=2 或﹣1. ①当 x<﹣1 时,g′(x)>0,所以 g(x)为增函数. ②当﹣1<x<2 时,g′(x)<0,所以函数 g(x)为减函数. ③当 x>2 时,g′(x)>0,所以函数 g(x)为增函数. 所以当 x=﹣1 时,函数 g(x)取极大值, 当 x=2 时,函数 g(x)取极小值. 即 ,

解不等式组得:



即:实数 a 的取值范围为:



点评: 本题考查的知识要点: 利用函数的导数求切线的斜率, 及函数的极值和导数的关系. 即 函数有几个极值点,即函数的导数有几个实数根.及不等式的解法.

22.已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 F 是双曲线: 点; (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 F 任作直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点. ①求 ?

2



=1 的一个焦

的值;②由点 A,B 分别向(x﹣2) +y =1 各引一条切线切点分别为 P、Q,

2

2

记 α=∠AFP,β=∠BFQ,求 cosα+cosβ 的值. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程;抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由已知条件推导出双曲线的焦点 F1(﹣2,0) ,F2 (2,0) ,抛物线 C 焦点坐标 F( ,0) ,从而得到 =2,由此能求出抛物线的 C 的方程.

(2)①根据抛物线方程可得焦点 F 的坐标,设出直线的方程与抛物线方程联立消去 x,设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) (x2,y2)根据韦达定理可求得 y1y2 进而求得 x1x2 的值进而 可得答案. ②对直线 l 的斜率分存在和不存在两种情况:把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根 与系数的关系及抛物线的定义即可得出. 解答: 解: (1)双曲线 C′: ∵a = ,b = ,∴c=2, ∴双曲线的焦点 F1(﹣2,0) ,F2 (2,0) , ∵抛物线 C:y =2px(p>0)与双曲线 C′:
2 2 2 2



=1 中,



=1 的一个焦点相同,

且抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点坐标 F( ,0) , ∴ =2,解得 p=4, ∴抛物线的 C 的方程是 y =8x. 2 (2)①根据抛物线方程 y =8x 可得 F(2,0) 2 设直线 l 的方程为 x=my+2,将其与 C 的方程联立,消去 x 得 y ﹣8my﹣16=0 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) (x2,y2) 则 y1y2=﹣16 因为 ? =8x1, =8x2,所以 x1x2=4,
2

=x1x2+y1y2=﹣12.

②当 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) , 代入抛物线方程得 k x ﹣(4k +8)x+4k =0, 2 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=2k +4,x1x2=4 ∵cosα+cosβ= + = = = = ,
2 2 2 2

当 l 与 x 轴垂直时,cosα+cosβ= , 综上,cosα+cosβ= . 点评:熟练掌握点到直线的距离公式、圆的标准方程及切线的性质、分类讨论的思想方法、 直线的方程与抛物线的方程联立并利用根与系数的关系及抛物线的定义是解题的关键.


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