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高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析(精品)


高中高考数学易错易混易忘题分类汇总
例1、 设

A ? ? x | x 2 ? 8 x ? 15 ? 0? , B ? ?x | ax ?1 ? 0? ,若 A B ? B ,求实数 a 组成的集合的子集有多少个?


【练 1】已知集合 是 。

A ? ? x | x 2 ? 4 x ? 0?

B ? ? x | x 2 ? 2 ? a ? 1? x ? a 2 ? 1 ? 0? , 若 B ? A , 则 实 数

a 的取值范围

例 2、已知

? x ? 2?

2

?

y2 ? 1 ,求 x 2 ? y 2 的取值范围 4 x2 y 2 ? 2 ? 1 ? b ? 0 ? 上变化,则 x2 ? 2 y 的最大值为() 4 b

【练 2】若动点(x,y)在曲线

? b2 ? b2 b2 ? ? 4 ? 0 ? b ? 4? ? ? 4 ? 0 ? b ? 2? ? 4 (D) 2b (A) ? 4 (B) ? 4 (C) 4 ?2b ? b ? 4 ? ?2b ? b ? 2 ? ? ?
例3、

f ? x? ?

a ? 2x ? 1 ?1 是 R 上的奇函数, (1)求 a 的值(2)求的反函数 f ? x ? x 1? 2

【练 3】函数 A、

f ? x ? ? x ? 1 ? 1? x ? 1? 的反函数是()
B、

y ? x2 ? 2x ? 2 ? x ? 1?
f ? x? ?

y ? x2 ? 2x ? 2 ? x ? 1?

C、

y ? x2 ? 2x ? x ? 1?

D、

y ? x2 ? 2x ? x ? 1?

例 4、已知函数 () A、 g

1 ? 2x ?1 ,函数 y ? g ? x ? 的图像与 y ? f ? x ? 1? 的图象关于直线 y ? x 对称,则 y ? g ? x ? 的解析式为 1? x

? x? ?

3 ? 2x x

B、 g

? x? ?

2? x 1? x
-1

C、 g

? x? ?

1? x 2? x
-1

D、 g

? x? ?

3 2? x

【练 4】已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f (x),则函数 y= f (1-x)的图象是()

例5、

判断函数

f ( x) ?

lg ?1 ? x 2 ? x?2 ?2

的奇偶性。

【练 5】判断下列函数的奇偶性:



f ? x ? ? 4 ? x 2 ? x 2 ? 4 ② f ? x ? ? ? x ? 1?

1 ? sin x ? cos x 1? x ③ f ? x? ? 1 ? sin x ? cos x 1? x
1

例6、 数。

函数

2 x ?2 1 1? ? f ? x ? ? log 2 2 x ?1 ? x ? ? 或x ? ? 的反函数为 f ?1 ? x ? ,证明 f ?1 ? x ? 是奇函数且在其定义域上是增函 2 2? ?

【练 6】 (1 ) (99 全国高考题)已知

f ( x) ?

e x ? e? x 2
B、 D、

,则如下结论正确的是()

A、 C、

f ? x ? 是奇函数且为增函数 f ? x ? 是偶函数且为增函数
f ? x ? ? ax ?

f ? x?

是奇函数且为减函数

f ? x ? 是偶函数且为减函数

b ? a ? 0, b ? 0 ? 的单调性并给出证明。 x 1? x 【练 7】 (1)(潍坊市统考题) f ? x ? ? ax ? (2 ) 设 f ? x? ? a ? 0 ?(1)用单调性的定义判断函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的单调性。 ax
例 7、试判断函数 在0 ?

x ? 1 的最小值为 g ? a ? ,求 y ? g ? a ? 的解析式。

? 1 ?2 ? ? a ? 1? ? 1? ?1 ? 答案: (1)函数在 ? , ?? ? 为增函数在 ? 0, ? 为减函数。 (2 ) y ? g ? a ? ? ? a ? a? ?a ? ?a ? 0 ? a ? 1? ?
(2) 设 a

? 0且

ex a f ? x? ? ? a ex

为 R 上的偶函数。 (1)求 a 的值(2)试判断函数在

? 0, ?? ? 上的单调性并给出证明。

例 8、已知函数

f ? x ? ? ax3 ? 3x2 ? x ?1 上是减函数,求 a 的取值范围。
y ? x2 ? bx ? c ? x ? ? 0, ???? 是是单调函数的充要条件是()
?0
C、 b

【练 8】 (1)函数 A、 b

?0

B、 b

?0

D、 b

?0
) +(b+
2

例 9、 已知:a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+

1 a

1 b

) 的最小值。

2

【练 9】甲、乙两地相距 s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c km/h ,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变 部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(km/h)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元。 (1) (2) 把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

例 10、是否存在实数 a 使函数

f ? x ? ? log a ax

2

?x



? 2, 4? 上是增函数?若存在求出 a 的值,若不存在,说明理由。

【练 10】 (1 ) (黄岗三月分统考变式题)设 a (2)若函数

? 0 ,且 a ? 1 试求函数 y ? loga 4 ? 3x ? x2 的的单调区间。

1 f ? x ? ? log a ? x3 ? ax ? ? a ? 0, a ? 1? 在区间 (? ,0) 内单调递增,则 a 的取值范围是() 2 1 3 9 9 A、 [ ,1) B、 [ ,1) C、 ( , ??) D、 (1, ) 4 4 4 4 1 2 例 11、已知 sin x ? sin y ? 求 sin y ? cos x 的最大值 3
【练 11】 (1 ) (高考变式题)设 a>0,000 求 f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a 的最大值和最小值。 2
2

答案:f(x)的最小值为-2a -2

2

?1 2 (0 ? a ? ) ? 1 ?2 2 2 a- ,最大值为 ? 2 1 2 ? 2 ? 2 a ? 2 2 a ? ( a ? ) ? 2 2 ?

(2)不等式 x >ax+

3 的解集是(4,b),则 a=________,b=_______。 2

例 12、数列

(1)求 a2 , a3 , a4 的值及数列 ?an ? 的通项公式。 ?an ? 前 n 项和 sn 且 a1 ? 1, an?1 ? 3 sn 。

1

【 练 12 】 ( 2004 全 国 理 ) 已 知 数 列 为 例 13、等差数列 【练 13】设 A、 d 。

?an ? 满 足 a1 ? 1,an ? a1 ?

2 a 2? 3 a 3?

? ?n ? 1 2 则 数 列 ?an ? 的 通 项 ? an? 1 ?n ? ?

?an ? 的首项 a1 ? 0 ,前 n 项和 sn ,当 l ? m 时, sm ? sl 。问 n 为何值时 sn 最大?

?an ? 是等差数列, sn 是前 n 项和,且 s5 ? s6 , s6 ? s7 ? s8 ,则下列结论错误的是()
?0
B、 a7
2

?0

C、 s9

? s5

D、 s 6 和 s 7 均为 s n 的最大值。

3 的等差数列,求 a ? b 的值。 4 1 2 2 【练 14】已知方程 x ? 2 x ? m ? 0 和 x ? 2 x ? n ? 0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则 m ? n =() 4 1 3 D、 2 8
例 14、已知关于的方程 x

? 3x ? a ? 0 和 x2 ? 3x ? b ? 0 的四个根组成首项为

A、1

B、

3 4

C、

例 15、数列 {an } 中, a1 (I)求使 an an?1

? 1 , a2 ? 2 ,数列 {an ? an?1} 是公比为 q ( q ? 0 )的等比数列。

(II)求数列 {an } 的前 2 n 项的和 S 2 n . ? an?1an?2 ? an?2 an?3 成立的 q 的取值范围;

【练 15】设等比数列 例 16、 . )已知数列 (1)求数列

?an ? 的公比为 q,前 n 项和 sn ? 0 (1)求 q 的取值范围。

?an ? 是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12
? abn?1 ? bn ? n ? N ? , a ? 0, b ? 0 ? 当 a ? b 时,求数列 ?an ? 的前 n 项和 s n

?an ? 的通项公式(2)令 bn ? an xn ? x ? R? 求数列 ?bn ? 前项和的公式。
? an ? an?1b ? an?2b2 ?
1 1 1 1 ? ?…? . ? ? 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

【练 16】已知 un 例 17、求 S n

22 ? 1 42 ? 1 62 ? 1 (2n) 2 ? 1 【练 17】求和 S n ? 2 + + +…+ . 2 ?1 42 ?1 62 ? 1 (2n) 2 ? 1
例 18、设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. 3 (Ⅰ)若首项 a 1 ? ,公差 d ? 1 ,求满足 S 2 ? (S k ) 2 的正整数 k; 2 k (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 S 【练 18】 (1)已知数列

?cn ? ,其中 cn ? 2n ? 3n ,且数列 ?cn?1 ? pcn ? 为等比数列.求常数 p
3

k2

? (S k ) 2 成立.

例 19、已知双曲线 x

2

? y 2 ? 4 ,直线 y ? k ? x ? 1? ,讨论直线与双曲线公共点的个数
x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 c2 的左右焦点分别为 c1 的左右顶点,而 c2 的左右顶点分别是 c1 的左右焦点。 4

【练 19】 (1)已知椭圆 c1 的方程为

(1)求双曲线的方程(2)若直线 l :

y ? kx ? 2 与椭圆 c1 及双曲线 c2 恒有两个不同的交点,且与 c2 的两个交点 A 和 B 满足

lOA ? OB ? 6 ,其中 O 为原点,求 k 的取值范围。
例 20、已知 tan?

? 2 ,求(1)

cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

; (2) sin

2

? ? sin ? . cos? ? 2 cos2 ? 的值.
?

【练 20】 .已知 6 sin 2 ?

? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? 0, ? ? [ , ? ], 求 sin( 2? ? ) 的值. 2 3

?

例 21、 如果能将一张厚度为 0.05mm 的报纸对拆,再对拆....对拆 50 次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之 间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为 4 ? 10 米)
8

【练 21】从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后 每年投入将比上年减少 上年增加

1 ,本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比 5

1 . 4

(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入 例 21、下列命题正确的是() A、 ? 、 ? 都是第二象限角,若 sin ?

? sin ?

,则 tan ?

? tan ?

B、 ? 、 ? 都是第三象限角,若 cos ? C、 ? 、 ? 都是第四象限角,若 sin ? D、 ? 、 ? 都是第一象限角,若 cos ? 【练 22】已知 sin ? A、 B、 若? 若?

? cos ? ,则 sin ? ? sin ? ? sin ?
,则 tan ?

? tan ?


? cos ? ,则 sin ? ? sin ?

? sin ?

,那么下列命题正确的是()

? ?

、都是第一象限角,则 cos ? 、都是第三象限角,则 cos ?

? cos ? ? cos ?

B、若 ? D、若 ?

? ?

、都是第二象限角,则 tan ? 、都是第四象限角,则 tan ?

? tan ? ? tan ?

例 23.要得到函数

1 ?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图象() 2 3? ?

4

A、 B、 C、 D、

? 个单位。 3 1 ? 先将每个 x 值缩小到原来的 倍,y 值不变,再向左平移 个单位。 4 3 ? 先把每个 x 值扩大到原来的 4 倍,y 值不变,再向左平移个 单位。 6 1 ? 先把每个 x 值缩小到原来的 倍,y 值不变,再向右平移 个单位。 4 6
先将每个 x 值扩大到原来的 4 倍,y 值不变,再向右平移

【练 23】要得到的图象,只需将函数的图象上所有的点的 A、 B、 C、 D、

1 2 1 横坐标缩短为原来的 2
横坐标缩短为原来的

倍(纵坐标不变),再向左平移 ? 个单位长度。 倍(纵坐标不变),再向左平移 ? 个单位长度。

横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平移 ? 个单位长度。 横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平移 ? 个单位长度。

例 24、已知 ? ?

? 0,? ? , sin ? ? cos ? ? 13 求 tan ? 的值。
1 ? cos ? ? ,? ? ? 0, ? ? ,则 cot ? 5
的值是 。

7

【练 24】已知 sin ?

例 25、若 sin ?

?

5 10 ,且 ? 、 ? ,sin ? ? 5 10

均为锐角,求 ?

??

的值。

【练 25】(1)在三角形 ABC 中,已知 sin

3 5 A ? , cos B ? ,求三角形的内角 C 的大小。 5 13
,求 cos(2α +

(2)已知 cos(α +

3 ? ? )= , ≤α 4 5 2



3? 2

? )的值. 4
?
8
对称,那么 a 等于( )A.

例 26、如果函数

y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ?

2

B.-

2

C.1

D.-1

【练 26】 (1)已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 上 R 上的偶函数,其图象关于点 M ( 调函数,求 ? 和ω 的值. 例 27、在 ?ABC 中, B ? 30 【练 27】如果满足 ?ABC A、 8
?

? 3? ,0) 对称,且在区间 [0, ] 上是单 2 4

, AB ? 2 3, AC ? 2 。求 ?ABC 的面积

? 60? , AC ? 2 , BC ? k 的三角表恰有一个那么 k 的取值范围是()
C、 k

3

B、 0

? k ? 12

? 12

D、 0

? k ? 12 或 k ? 8 3

例 28、 (1)已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角 A、B、C 的大小. 2、在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 △ABC 的面积. 【练 28】 (1)在 ?ABC 中,a,b,c 分别是 ?A,?B,?C 的对边长,已知 a,b,c 成等比数列,且 a 的大小及
2

cos B b ?? . cos C 2a ? c

(Ⅰ)求角 B 的大小(Ⅱ)若 b

? 13, a ? c ? 4 ,求

? c 2 ? ac ? bc ,求 ?A

b sin B c

的值。

5

例 29、解关于 x 的不等式

a( x ? 1) >1(a≠1). x?2

【练 29】已知函数

f ( x) ?

x2 (a, b 为常数),且方程 f ( x) ? x ? 12 ? 0 有两个实根为 x1 ? 3, x2 ? 4. ax ? b
(k ? 1) x ? k 2? x

(1)求函数

(2)设 k ? 1 ,解关于 x 的不等式: f ( x ) ? f ( x) 的解析式;

例 30、已知函数 如果函数

2 2 ? f ? x ? ? lg ? (2) ?? m ? 3m ? 2 ? x ? 2 ? m ? 1? x ? 5? (1)如果函数 f ? x ? 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。

f ? x ? 的值域为 R 求实数 m 的取值范围。
f ? x? ?

【练 30】已知函数

?a

2

(1) ? 1? x2 ? 2 ? a ? 1? x ? 2 的定义域和值域分别为 R 试分别确定满足条件的 a 的取值范围。答案:

a ? 1 或 a ? ?3 (2) ?3 ? a ? 1 或 a ? ?1 1 例 31、已知 a>0,b>0,且 a+b=1.求证:(a+ a
【练 31】数列

)(b+

1 25 )≥ . b 4

?x ?由下列条件确定: x
n

1

? a ? 0, xn ?1 ?

1? a? ? xn ? ? ,n? N? ? ? 2? xn ?

(1)

证明:对于 n

? 2 总有 xn ? a ,(2)证明:对于 n ? 2 ,总有 xn ? xn?1 .
对一切实数

例 32、已知二次函数

1 f ( x ) 满足 f ( ?1) ? 0 ,且 x ? f (x ) ? (x 2 ? 1) 2

x 恒成立. (1) 求 f (1) ; (2) 求 f ( x ) 的

解析式; (3) 求证:

? f (k ) ? n ? 2 (n ? N ).
i ?1

n

1

2n

【练 32 】 )已知二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a , b, c ? R) ,满足 f ( ?1) ? 0 ;且对任意实数

x 都有

f ( x ) ? x ? 0 ;当

x ? (0, 2) 时 有 f ( x )?

( x ? 1 2) ,( 1 ) 求 f ( 1 )的 值 ;( 2 ) 证 明 a ? 0 ,c ? 0 ( ; 3 ) 当 x ? [? 1 , 1时 ],函数 4

g ( x ) ? f ( x ) ? mx(m ? R) 是单调的,求证: m ? 0 或 m ? 1.
(1)

f (1) ? 1. (2)运用重要不等式(3)略

例 33、记

f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ,若不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 ?1,3? ,试解关于 t 的不等式 f ? t ? 8 ? ? f ? 2 ? t 2 ? 。
? log4 [a( x ? 2) ? 1] (a ? 1)

【练 33】 (1)解关于 x 的不等式 log2 ( x ? 1) (2) 设函数

f ? x ? ? 2| x ?1|?| x ?1| ,求使 f ? x ? ≥的 2 2 的 x 取值范围。
2

例 34、自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用 xn 表 示某鱼群在第 n 年年初的总量,n∈N*,且 x1 >0。不考虑其它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 x
*

n

成正比,这些比例系数依次为正常数 a,b,c。 (Ⅰ)求 xn ?1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1 ,a,b,c 满足什么条件时,每 年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明) (Ⅲ)设 a=2,b=1,为保证对任意 x1 ∈(0,2) ,都有 xn >0, n ? N ,则捕捞强度 b 的最大允许值是多少?证明你的结论。 6

【练 34】 (Ⅰ)设函数 (Ⅱ)设正数

f ( x) ? x log2 x ? (1 ? x) log2 (1 ? x) (0 ? x ? 1) ,求 f ( x) 的最小值;

p1 , p2 , p3 ,?, p2n 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2n ? 1,证明

p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? p3 log2 p3 ? ? ? p2n log2 p2n ? ?n
例 35、下列命题: ① (a)
2

? (a) 2 ?| a |4
? ?a

② (a ? b) ? c

? (a ? c) ? b ③

| a · b |=| a |·| b |④若 a ∥ b , b ∥ c , 则 a ∥ c ⑤ a ∥ b ,则存在唯一 是平面内两向量,则对于平面内任何一向量 a ,都存在唯一 )

实数λ ,使 b

⑥若 a ? c

? b ? c ,且 c ≠ o ,则 a ? b ⑦设 e1 , e2

一组实数 x、y,使 a A.1

? xe1 ? ye2 成立。⑧若| a + b |=| a - b |则 a · b =0。⑨ a · b =0,则 a = 0 或 b = 0 真命题个数为(
B.2 C.3 D.3 个以上 )

【练 35】 (1)若 a、b、c 为任意向量,m∈R,则下列等式不一定 成立的是( ...

A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b) ·c=a·c+b·c C.m(a+b)=ma+mb D.(a·b)c=a(b·c) (2)设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 2 ①(a·b)c-(c·a)b=0 ②|a|-|b|<|a-b| ③(b·c)a-(c·a)b 不与 c 垂直④(3a+2b) (3a-2b)=9|a| - 2 4|b| 中,是真命题的有( )A.①② B.②③ C.③④ D.②④
例 36、四边形 ABCD 中, 是什么图形? 【练 36】O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( AB ? AC ? ? ? [0,??). 则 P 的轨迹一定

AB =a, BC =b, CD =с

, DA =d,且a·b=b·с =с ·d=d·a,试问四边形 ABCD

| AB |

| AC |

通过△ABC 的





A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心 ) (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点 =

(2)点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则点 O 是 ?ABC 的( (A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点

(3) ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH 例 37、已知 ?ABC 中, a

? m(OA ? OB ? OC) ,则实数 m

? 5, b ? 8, c ? 7 ,求 BC ? CA

【练 37】在 ΔABC 中,有如下命题,其中正确的是() (1)

AB ? AC ? BC ( 2 ) AB ? BC ? CA ? 0 ( 3 )若 AB ? AC ? AB ? AC ? 0 ,则

?

? ?

?

ΔABC 为等腰三角形( 4 )若

AC ? AB ? 0 ,则 ΔABC 为锐角三角形。
A、 (1 ) (2 ) B、 (1 ) (4) C、 (2) (3) D、 (2 ) (3 ) (4 ) 例 38、已知 a、b 都是非零向量,且 a + 3b 与 7a ? 5b 垂直,a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角。 【练 38】 (1)已知向量 a C.120° D.150°

? (1, 2), b(?2, ?4),| c |? 5, 若 ( a ? b) ? c ?

5 , 则 a 与 c 的夹角为( 2

)A.30°

B.60°

(2)已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |,则

a ⊥e (B) a ⊥( a - e ) (C) e ⊥( a - e ) (D) ( a + e )⊥( a - e ) ? ? ? ? ? 例 39、 a ? (1 ? cos? , sin ? ),b ? (1 ? cos ? , sin ? ), c ? (1,0),? ? (0, ? ), ? ? (? ,2? ) , a 与 c 的夹角为θ
(A)

1



? ? b 与 c 的夹角
7

为θ 2,且 ? 1

2 ? ? ? x x ? ? x ? x ? 【练 39】 (1)已知向量 a ? (2 cos , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )) ,令 f ( x ) ? a ? b 是否存在实数 x ? [0, ? ] , 2 2 4 2 4 2 4
使

?? 2 ?

?
3

, 求 sin

???

的值.

f ( x) ? f '( x) ? 0 (其中 f '( x) 是 f ( x) 的导函数)?若存在,则求出 x 的值;若不存在,则证明之

(2)已知向量 m ? (cos? ,sin? ) 和 n ?

?

2 ? sin ? ,cos? ,? ? ?? , 2? ? ,且 m ? n ?

?

?? ? ? 8 2 , 求 cos ? 2 ? 8 ? 的值. ? ? 5

→ → → → → → → → → → 例 40、ΔABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 3OA+4OB+5OC= 0 。①求数量积,OA·OB ,OB·OC ,OC·OA ;②求 ΔABC 的面积。

【练 40】 (1)△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列,且 cosB=

3 4

。 (1)求 cotA+cotC 的值; (2)设

BA ? BC ?

3 ,求 a ? c 的值。 2
→ → 1 2 → →

例 41、已知二次函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(1-x)=f(1+x)成立,设向量 a =(sinx,2), b =(2sinx, ), c =(cos2x,1), d

→ → → → =(1,2),当 x∈[0,π ]时,求不等式 f( a · b )>f( c · d )的解集.
【练 41】若 试在

f ( x) 在定义域(-1,1)内可导,且 f ' ( x) ? 0 ,点 A(1, f ( a ));B( f
2

(- a ),1),对任意 a ∈(-1,1)恒有 OA ? OB 成立,

? ?? , ? ? 内求满足不等式 f (sin x cos x )+ f (cos

x )>0 的 x 的取值范围.

例 42、 (03 年新课程高考)已知常数 a>0,向量 c=(0,a) ,i=(1,0) ,经过原点 O 以 c+λ i 为方向向量的直线与经过定点 A(0,

a)以 i-2λ c 为方向向量的直线相交于点 P,其中λ ∈R.试问:是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出 E、 F 的坐标;若不存在,说明理由.
【练 42】 (1)已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点, OA ? OB 与
2 2 (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB (?, ? ? R) ,证明 ? ? ? 为定 a ? (3,?1) 共线。

值。

MN , PM · PN , NM ·NP 成公差小于零的等差数列(1)点 P 的轨迹是什 (2) 已知两点 M(-1,0) ,N(1,0) ,且点 P 使 MP ·
么曲线?(2)若点 P 坐标为( xo , yo ) ,记 ? 为 PM 与 PN 的夹角,求 tan ? ; (3) (2001 高考江西、山西、天津)设坐标原点为 O,抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点,则 OA? OB 等于( )

A.

3 4

B.-

3 4

C.3

D.-3

x2 y 2 ? ? 1 上动点 P 到定点 M ? m,0? ,其中 0 ? m ? 2 的距离 PM 例 43、已知椭圆 C: 4 2
试问是否存在经过 M 点的直线 l ,使 l 与椭圆 C 的两个交点 A、B 满足条件 在请说是理由。

的最小值为 1. (1) 请确定 M 点的坐标(2)

OA ? OB ? AB

(O 为原点),若存在,求出 l 的方程,若不存

8

【练 43】 已知椭圆的焦点在 x 轴上, 中心在坐标原点, 以右焦点 F2 为圆心, 过另一焦点 F 1 的圆被右准线截的两段弧长之比 2:1, P 为此平面上一定点,且 PF 1

?

2,1

?

? PF2 ? 1 .(1)求椭圆的方程(2)若直线 y ? kx ? 1? k ? 0? 与椭圆交于如图两点 A、B,令

f ? k ? ? AB ? F1 F2 ? k ? 0? 。求函数 f ? k ? 的值域
例 44、函数

y ? x ? e1?cos x

的导数为



[练习 44](2003 年江苏,21)已知 a 例 45、已知函数 求函数

0 ,n 为正整数。设 y ? ? x ? a ?

n

,证明

y? ? n ? x ? a ?

n ?1



,且在点 M(-1,f(-1) )处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ) f ( x) ? x 3 ? bx2 ? ax ? d 的图象过点 P(0,2)

y ? f ( x) 的解析式;

【练 45】 (1)已知函数

f ( x) ?

ax ? 6 的图象在点 M(-1,f(x))处的切线方程为 x+2y+5=0.(Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; x2 ? b
P( t ,0)是函数

(2) (2005 高考湖南卷)设 t

? 0 ,点

f ( x) ? x 3 ? ax与g ( x) ? bx2 ? c 的图象的一个公共点,两函数的图象在

点 P 处有相同的切线.(Ⅰ)用 t 表示 a,b,c; 例 46 、 已 知 函 数

f ? x? ?

4x2 ? 7 2? x



x ??0, 1?

( Ⅰ ) 求

f ? x?

的 单 调 区 间 和 值 域 ;( Ⅱ ) 设

a ?1

, 函 数

1? ,总存在 x0 ? ?0, 1? 使得 g ? x0 ? ? f ? x1 ? 成立,求 a 的取值范围。 g ? x ? ? x2 ? 3a2 x ? 2a,x ??01 , ? ,若对于任意 x1 ??0,
【练 46】 (1) (2005 高考北京卷)已知函数 f(x)=-x +3x +9x+a, (I)求 f(x)的单调递减区间; (II)若 f(x)在区间[-2,2] 上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.
3 2

(2)(2005 全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90°角,
再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

? 2 ? 例 47、 ? x ? ? 3 2 x ? ?

n

展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162,则 x 的一次项为



? 4 1 ? 【练 47】 (潍坊高三质量检测) ? x ? 11 ? x ? ? ? 3 2? 例 48、在 ? x ? 2 ? x ? ?
5
5

n

展开式中第 5 项与第 12 项系数的绝对值相等,则展开式的常数项为



的展开式中, x 的系数为

,二项式系数为



1 ? 1 ? 【练 48】 (2005 高考山东卷)如果 ? 3x ? 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 3 的系数是( ? 3 2 x x ? ?
(A)7 (B) ?7 (C)21 (D) ? 21

n



9

2? ? 例 49、已知 ? x ? 2 ? ? n ? N ? ? 的展开式中,第五项的系数与第三项的系数之比为 10:1 x ? ?
求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。 【练 49】在二项式

n

? x ? 1?

11

的展开式中,系数最小的项的系数为

。 (结果用数值表示)

例 50、有六本不同的书按下列方式分配,问共有多少种不同的分配方式? (1) (2) (3) (4) 分成 1 本、2 本、3 本三组; 分给甲、乙、丙三人,其中 1 人 1 本,1 人两本,1 人 3 本; 平均分成三组,每组 2 本; 分给甲、乙、丙三人,每人 2 本。 ) C、630 种 D、840 种

【练 50】从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师,派到三个班担任班主任(每班一位班主任) ,要求这三位班主任中男、女教师都要 有,则不同的选派方法共有( A、 (1) (2) (3) (4) (5) 么不同排法的种数( A、234 B、346 210 种 B、420 种

例 51、四个男同学和三个女同学站成一排。 三个女同学必须排在一起,有多少种不同的排法? 任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法? 其中甲、乙两同学之间必须恰有 3 人,有多少种不同的排法? 甲、乙两人相邻,但都与丙不相邻,有多少种不同的排法? 女同学从左往右按高矮顺序排,有多少种不同的排法?(三个女生身高互不相等) ) C、350 D、363

【练 52】有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就坐,规定前排中间三个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那

例 53、 (2004 年全国理)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得 100 分,回答不正确得—100 分。 假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响。 (1) (2) 求这名同学回答这三个问题的总得分 ? 的概率分布和数学期望。 求这名同学总得分不为负分(即 ?

? 0 )的概率。
3 4
,遇到红灯(禁止通行)的概率为

【练 53】设一汽车在前进途中要经过 4 个路口,汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为 假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进, ? 表示停车时已经通过的路口数,求: (1) ? 的概率分布列及期望 E? ; (2)停车时最多已通过 3 个路口的概率。 例 54、 灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为 ? (单位: 小时) , 已知 ? 问灯泡的最低使用寿命应控制在 910 小时以上。 【练 54】一总体符合 N

1 4



N ?1000,30 2 ? , 要使灯泡的平均寿命为 1000 小时的概率为 99.7 0 0 ,

? 0,1? ,若 ? ?1? ? a,? ? 2? ? b ,则该总体在(1,2)内的概率为
1 , 那么 a1 的取值范围是( a1



例 55、在等比数列

Sn ? ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 n 项和 Sn ,满足 lim n ??
C、



A、

?1, ???

B、

?1, 2 ?

?1, 2?

D、

?1, 4?
10

【练 55】 lim

3n 3
n ?1

n ??

? ? a ? 1?

n

?

1 ,求 a 的取值范围。 3

例 56、正方体

ABCD -- A1 B1C1 D1 ,E、F 分别是 AA1 、 CC1 的中点,p 是 CC1 上的动点(包括端点) ,过 E、D、P 作正方体的截面,

若截面为四边形,则 P 的轨迹是() A、 线段 C1 F B、线段 CF C、线段 CF 和一点 C1 D、线段 C1 F 和一点 C。

【练 56】 (1)正方体 ABCD—A1 B1 C1 D1 中,P、Q、R、分别是 AB、AD、B1 C1 的中点。那么正方体的过 P、Q、R 的截面图形是() (A)三角形 (2)在正三棱柱 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形

ABC - A1 B1C1 中,P、Q、R 分别是 BC 、 CC1 、 A1C1 的中点,作出过三点 P、Q、R 截正三棱柱的截面并说出该截
? ?

面的形状。例 57、如果异面直线 a、b 所在的角为 50 ,P 为空间一定点,则过点 P 与 a、b 所成的角都是 30 的直线有几条? A、一条 B 二条 C 三条
?

D 四条
?

【练 57】如果异面直线 a、b 所在的角为 100 ,P 为空间一定点,则过点 P 与 a、b 所成的角都是 50 的直线有几条? A、一条 B 二条 C 三条 D 四条 答案:C

【练习 58 如图,在三棱锥 P—ABC 中, AB ? 点 O,D 分别为 AC,PC 的中点, OP ? 平面

BC, AB ? BC ? kPA ,
P D C B

ABC 求证:OD//平面 PAB

A

O

例 59、如图,在正方体

ABCD ? A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 C1C, B1C1, C1D1 的中点,

求证:平面 MNP//平面 A 1BD

【练 59】正方体 ABCD ? A (1)M,N 分别是棱 1B 1C1D 1 中, 分别是棱 B1C1 , C1D1 的中点,求证:①E、F、B、D 共面; ②平面 AMN//平面 EFDB③平面 AB1D1 //平面 C1BD 例 60、在三棱柱 A、 60
0

A1B1 , A1D1 的中点,E、F

ABC ? A1B1C1 中,若 AB ? 2BB1 ,则 AB1与C1B 所成角的大小为(
0



B、 90

C、 105

0

D、 75

0

11

【练 60】设 M,N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点, DE (如图) ,现将 ?ADE 沿 DE 折起,使二面角

? AD 于 E

A ? DE ? B 为 450 ,此时点 A 在平面 BCDE 内的
射影恰为点 B,则 M,N 的连线与 AE 所成的角的 大小等于 。 M, N, P 分别为 A 求异面直线 D1P与AM , CN与AM ABCD ? A1B1C1D1 中, B , BB1 , CC1 的中点。 D 1 1
1

例 61、 如图, 在棱长为 1 的正方体 所成的角。

C1

A1

M

B1 P N

D A B

C

【练 61】 (济南统考题) 已知平行六面体

ABCD -- A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 是边长为 1 的的正方形, 侧棱 AA1 的长为 2, 且侧棱 AA1



AB 与 AD 的夹角都等于 120? , (1)求对角线 AC1 的长(2)求直线 BD1 与 AC 的夹角值。
0 0

例 62、如图,在北纬 45 的纬线圈上有 B 两点,它们分别在东经 70 与东经

1600 的经度上,设地球的半径为 R,求 B 两点的球面距离。

【练 62】设地球的半径为 R ,若甲地位于北纬 45 ? 东经 120? ,乙地位于南纬 75 ? 东经 120? ,则甲、乙两地的球面距离为( 2? ? 5? R (A) 3R (B) R (C) R (D)
6
6



3

【练 63】如图,在三棱锥 P ?

1 时,求直线 PA 与 2 平面 PBC 所成角的大小 ;(III) 当 k 取何值时, O 在平面 PBC 内的射影恰好为
OP ? 底面ABC .(I) 求证 OD ? 底面PAB ; (II) 当 k ?

ABC 中, AB ? BC , AB ? BC ? kPA , 点 O 、 D 分别是 AC 、 PC 的中点,

P
东经120o A B 北纬45o

D

?PBC 的重心?
C D

A

o
南纬75o

C B

例 64、棱长为 a 的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为(



A、

a3 3

B、

a3 4

C、

a3 6

D、

a3 12
12

【练 64】如图四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为 四棱锥 P—ABCD 的体积。

矩形,AB=8,AD= 4

3 ,侧面 PAD 为

等边三角形,并且与底面成二面角为 60 。求

0

例 65、如图,已知正三棱锥 P—ABC 的体积为 72 (1)

3 ,侧面与底面所成的二面角的大小为 60 0 。
证明 PA ?

BC ;

(2)求底面中心 O 到侧面的距离。

【练 65】 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°, 侧棱 AA1=2,D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点, 点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的垂心 G. (Ⅰ)求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (Ⅱ)求点 A1 到平面 AED 的距离.

例 62、 如图所示, 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 已知 AA1=A1C1=a, E 为 BB1 的中点, 若截面 A1EC⊥侧面 AC1. 求 截面 A1EC 与底面 A1B1C1 所成锐二面角度数.

【练 65】如图,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1,侧棱长为 2,底面△ABC 中,

∠B=90°,AB=1,BC=

3 ,D 是侧棱 CC 上一点,且 BD 与底面所成角为 30°.
1

(1)求点 D 到 AB 所在直线的距离.

(2)求二面角 A1-BD-B1 的度数.

13

例 66、过点(0,3)作直线 l,如果它与双曲线 【练 66】如图已知双曲线的中心在原点,

x2 y 2 ? ? 1 只有一个公共点,则直线 l 的条数是( 4 3

)A、1

B、2

C、3

D、4

右顶点为 A(1,0)P、Q 在双曲线的右支上,点 M(m,0)到 直线 AP 的距离为 1。 (1)若直线 AP 的斜率为 1,且

? 3 ? k ?? , 3 ? ,求实数 m 的取值范围。 ? 3 ?

14


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