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2019高中数学离散型随机变量的均值综合测试题(含答案)精品教育.doc.doc

高中数学离散型随机变量的均值综合测试题(含 答案)
选修 2-3 2.3.1 离散型随机变量的均值 一、选择题 1.若 X 是一个随机变量,则 E(X-E(X))的值为() A.无法求 B.0 C.E(X) D.2E(X) [答案] B [解析] 只要认识到 E(X)是一个常数,则可直接运用均值的 性质求解. ∵E(aX+b)=aE(X)+b,而 E(X)为常数, E(X-E(X))=E(X)-E(X)=0. 2.设 E()=10,E()=3,则 E(3+5)=() A.45 B.40 C.30 D.15 [答案] A 3.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目 标的概率分别为 0.9 和 0.85,设发现目标的雷达台数为 X, 则 E(X)=() A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22 [答案] B
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[解析] 设 A、B 分别为每台雷达发现飞行目标的事件,X 的 可能取值为 0、1、2, P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.9)(1-0.85)=0.015. P(X=1)=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.90.15+ 0.10.85=0.22. P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.90.85 =0.765. E(X)=00.015+10.22+20.765=1.75. 4.设随机变量 X 的分布列如下表所示且 E(X)=1.6,则 a- b=() X0123 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 [答案] C [解析] 由 0.1+a+b+0.1=1,得 a+b=0.8,① 又由 E(X)=00.1+1a+2b+30.1=1.6, 得 a+2b=1.3,② 由①②解得 a=0.3,b=0.5,a-b=-0.2,故应选 C. 5.已知随机变量,其中=10+2,且 E()=20,若的分布列 如下表,则 m 的值为() 1234
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P 14 m n 112 A.4760 B.3760 C.2760 D.18 [答案] A [解析] =10+2E()=10E()+220=10)+2)=9595=114 +2m+3n+4112,又 14+m+n+112=1,联立求解可得 m= 4760,故选 A. 6.(2019 浙江)有 10 件产品,其中 3 件是次品,从中任取两 件,若 X 表示取到次品的个数,则 E(X)等于() A.35 B.815 C.1415 D.1 [答案] A [解析] X=1 时,P=C17C13C210;X=2 时,P=C23C210. E(X)=1C17C13C210+2C23C210=73+23C210=35, 故选 A. 7.(2019 福建福州)已知某一随机变量 X 的概率分布列如下 表,E(X)=6.3,则 a 值为() X4a9 P 0.5 0.1 b A.5 B.6 C.7 D.8
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[答案] C [解析] 由分布列性质知:0.5+0.1+b=1,b=0.4,E(X) =40.5+a0.1+90.4=6.3,a=7,故选 C. 8.(2019 新课标全国理,6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再 补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的均值为() A.100 B.200 C.300 D.400 [答案] B [解析] 本题以实际问题为背景,考查的事件的均值问题. 记“不发芽的种子数为”,则~B(1 000,0.1),所以 E()=1 0000.1=100,而 X=2,故 EX=E(2)=2E()=200,故选 B. 二、填空题 9.(2019 上海理,6)随机变量的概率分布列由下图给出: x 7 8 9 10 P(=x) 0.3 0.35 0.2 0.15 则随机变量的均值是________. [答案] 8.2 [解析] 本小题考查随机变量的均值公式. E()=70.3+80.35+90.2+100.15=8.2. 10.已知某离散型随机变量 X 的数学期望 E(X)=76,X 的分 布列如下:
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X0123 P a 13 16 b 则 a=________. [答案] 13 [解析] E(X)=76=0a+113+216+3bb=16,又 P(X=0) +P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1a+13+16+16=1a= 13. 11.从 1、2、3、4、5 这 5 个数字中任取不同的两个,则这 两个数之积的数学期望是________. [答案] 8.5 [解析] 从 1、2、3、4、5 中任取不同的两个数,其乘积 X 的值为 2、3、4、5、6、8、10、12、15、20,取每个值的概 率都是 110,E(X)=110(2+3+4+5+6+8+10+12+15+ 20)=8.5. 12.设 p 为非负实数,随机变量 X 的概率分布为: X012 P 12-p p 12 则 E(X)的最大值为________. [答案] 32
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[解析] 由表可得 012-p1,01,从而得 P[0,12],期望值 E(X)=0(12-p)+1p+212=p+1,当且仅当 p=12 时,E(X) 最大值=32. 三、解答题 13.盒中装有 5 节同牌号的五号电池,其中混有两节废电池, 现在无放回地每次取一节电池检验,试回答下列问题: (1)若直到取到好电池为止,求抽取次数的分布列及均值; (2)若将题设中的无放回改为有放回,求检验 5 次取到好电 池个数 X 的数学期望. [解析] (1)可取的值为 1、2、3, 则 P(=1)=35,P(=2)=2534=310, P(=3)=25141=110, 抽取次数的分布列为: 123 P 35 310 110 E()=135+2310+3110=1.5. (2)每次检验取到好电池的概率均为 35, 故 X~B(n,p),即 X~B(5,35), 则 E(X)=535=3. 14.(2019 江西理,18)某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个
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人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等 可能)为你打开一个通道.若是 1 号通道,则需要 1 小时走 出迷宫;若是 2 号、3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时 返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未 到过的通道,直至走出迷宫为止.令表示走出迷宫所需的时 间. (1)求的分布列;(2)求的数学期望(均值). [解析] 本题考查学生的全面分析能力,考查学生对事件概 率的求解能力以及对文字描述的理解能力.解本题的两个关 键点是:一是的所有取值,二是概率. 解:(1)的所有可能取值为:1,3,4,6 P(=1)=13,P(=3)=16,P(=4)=16,P(=6)=13,所以 的分布列为: 1346 P 13 16 16 13 (2)E()=113+316+416+613=72(小时) 15.购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保
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险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度 内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 1-0.999104. (1)求一投保人在一年度内出险的概率 p; (2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不小于 0,求每位投保人应交纳 的最低保费(单位:元). [解析] 解答第(1)题运用对立事件的概率公式,建立方程 求解. 解答第(2)题运用二项分布的期望公式,建立不等式求解. 各投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是 p,记投保 的 10 000 人中出险的人数为,则~B(104,p). (1)记 A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔 偿金,则 A 发生当且仅当=0,P(A)=1-P(A)=1-P(=0) =1-(1-p)104, 又 P(A)=1-0.999104, 故 p=0.001. (2)该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本 的和. 支出:10 000+50 000, 盈利:=10 000a-(10 000+50 000), 盈利的期望为: E()=10 000a-10 000E()-50 000,
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由~B(104,10-3)知,E()=10 00010-3, E()=104a-104E()-5104 =104a-10410410-3-5104. E(0104a-10410-5104a-10-5a15(元). 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元. 16.(2009 全国Ⅰ理 19)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约 定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局 中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛 结果相互独立,已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设 X 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 X 的分布列及均值. [解析] 设 Ai 表示事件:第 i 局甲获胜,i=3,4,5, Bj 表示事件:第 j 局乙获胜,j=3,4. (1)记 B 表示事件:甲获得这次比赛的胜利 因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当 且仅当在后面的比赛中,甲先胜 2 局,从而 B=A3A4+B3A4A5 +A3B4A5. 由于各局比赛结果相互独立,故 P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5) =P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)= 0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.6=0.648.
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(2)X 的可能取值为 2,3. 由于各局比赛结果相互独立,所以 P(X=2)=P(A3A4+B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4) +P(B3)P(B4)=0.60.6+0.40.4=0.52, P(X=3)=1-P(X=2)=1-0.52=0.48. 故 X 的分布列为 X23 P 0.52 0.48 E(X)=2P(X=2)+3P(X=3)=20.52+30.48=2.48.
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