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2015年高一数学强化训练(4)20150820答案

2015 年高一数学强化训练(4)20150820
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. ( 2013 年 上 海 高 考 数 学 试 题 ( 文 科 ) ) 设 常 数 a ? R , 集 合

A ?? | x?
A . ? ??,2?
【答案】B

? x?? 1

? x ?

a, ? 0B ? ?x | x ? a ?1? .若 A ? B ? R ,则 a 的取值范围为( ?
C. ? 2, ??? D. ? 2, ???



B. ? ??, 2?

2. (2013 年高考四川卷(文) )某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数 据的茎叶图如图所示.以组距为 5 将数据分组成 [0,5) , [5,10) ,, [30,35) , [35, 40] 时,所作的 频率分布直方图是

频率 组距

0.04 0.03 0.02 0.01

0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

频率 组距

频率 组距

频率 组距

0.04 0.03 0.02 0.01 5 10 15 20 25 30 35 40 人数

0.04 0.03 0.02 0.01 10 20 30 40 人数

0

5 10 15 20 25 30 35 40 人数

0

0

0

10

20

30

40 人数

(A) 【答案】A

(A)

(B)

(B)

(C)

(C)

(D)

(D)

3. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )已知 sin2α = ,则 cos (α + )=

2

A.
【答案】A

B.

C.

D.

??? ? ???? 4. (2013 年高考湖北卷(文) )已知点 A( ?1, 1) 、 B(1, 2) 、 C (?2, ? 1) 、 D (3, 4) ,则向量 AB 在 CD 方

向 ) A.







影 (



3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

【答案】A

5. (2013 年高考辽宁卷(文) )已知函数 f ? x ? ? ln A. ? 1
【答案】D

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ? 2?
D. 2

?

B. 0

C. 1

6. (2013 年高考福建卷 (文) ) 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序,如果输入某个正整数 n 后, 输出的 S ? (10,20) ,那么 n 的值为( A.3 B.4 ) C. 5 D.6

【答案】B

7. (2013 年高考课标Ⅰ卷 (文) ) 从 1, 2,3, 4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

【答案】B

8. (2013 年高考广东卷 (文) ) 设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ? b ? ? c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 (

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

) A.1
【 答案】B

B.2

C. 3

D.4

9. ( 2013 年高考课标 Ⅱ 卷(文) ) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时 ,以 zOx 平面为投影面 ,则得到正视
图可以为

( A.
【答案】A



B.

C.

D.

10. (2013 年高考福建卷(文) )将函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(?

?
2

?? ?

?
2

) 的图象向右平移 ? (? ? 0)
3 ) ,则 ? 的值可以 2


个单位长度后得到函数 g ( x) 的图象,若 f ( x), g ( x) 的图象都经过点 P (0, 是 ) A.

5? 3

B.

5? 6

C.

? 2

D.

?
6

【答案】B

11. (2013 年高考江西卷(文) )如图.已知 l1⊥l2,圆心在 l1 上、半径为 1m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相 切于点 A,圆 O 沿 l1 以 1m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y=cosx, 则 y 与时间 t(0≤x≤1,单位:s)的函数 y=f(t)的图像大致为

【答案】B

12. (2013 年高考辽宁卷(文) )已知函数

f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 , g ? x ? ? ?x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 ? 8. 设 H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ??, H2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ??, ? max ? p, q?? 表示 p, q 中的较大
值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最小值为 B ,则

A? B ? (
2

) B. a ? 2a ? 16
2

A. a ? 2a ? 16
【答案】C

C. ?16

D. 16

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. (2013 年高考辽宁卷(文) )为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取 5 个 班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本 数据互相不相同,则样本数据中的最大值为____________. 【答案】10 14. (201 3 年高考四川卷(文) )在平面直角坐标系内,到点 A(1, 2) , B(1,5) , C (3, 6) , D(7, ?1) 的距 离之和最小的点的坐标是__________ 【答案】(2,4) 15.(2013 年高考课标Ⅱ卷 (文) ) 已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 为半径的球的表面积为________.
【答案】 24?

,底面边长为

,则以 O 为球心,OA

16. ( 2013 年 高 考 课 标 Ⅰ 卷 ( 文 ) ) 设 当 x ? ? 时 , 函 数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取 得 最 大 值 , 则

cos ? ? ______.
【答案】 ?

2 5 ; 5

三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17. (本小题满分 12 分) (2013 年高考湖南(文) )已知函数 f(x)=

2? ) 的值; 3 1 (2) 求使 f ( x) ? 成立的 x 的取值集合 4
(1) 求 f (
【答案】解:

(1) f ( x) ? cos x ? (cos x ? cos

?

? 1 3 1 1 ? sin x ? sin ) ? (sin 2 x ? ? cos 2 x ? ) ? 3 3 2 2 2 4

?

1 ? 1 2? 1 3? 1 1 2? 1 sin( 2 x ? ) ? ? f ( ) ? sin ? ? ? .所以f ( ) ?? ? . 2 6 4 3 2 2 4 4 3 4

(2)由(1)知,

1 ? 1 1 ? ? sin( 2 x ? ) ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 0 ? (2 x ? ) ? (2k? ? ? ,2k? ) 2 6 4 4 6 6 7? ? 7? ? ? x ? (k? ? , k? ? ), k ? Z .所以不等式的解集是: (k? ? , k? ? ), k ? Z . 12 12 12 12 f ( x) ?

18. (本小题满分共 12 分)(2013 年高考课标Ⅰ卷(文) ) 为了比较两种治疗失眠症的药 ( 分别称为 A 药 , B 药 ) 的疗效 , 随机地选取 20 位患者服用 A 药 , 20 位患者服用 B 药 , 这 40 位患者服用一段时间后 , 记录他们日平均增加的睡眠时间 ( 单 位: h ),试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

【答案】(本小题满分共 12 分)

(1) 设 A 药观测数据的平均数为

,B 药观测数据的平均数为 ,又观测结果可得

x

?

1 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3 20

.5)=2.3,

1 (0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.8 ? 0.9 ? 1.1 ? 1.2 ? 1.2 ? 1.3 ? 1.4 ? 1.6 ? 1.7 ? 1.8 ? 1.9 ? 2.1 y 20 ?2.4 ? 2.5 ? 2.6 ? 2.7 ? 3.2 ? 1.6 ?
由以上计算结果可得 > ,因此可看出 A 药的疗效更好

x

y

(2)由观测结果可绘制如下茎叶图: A药 6 8 5 5 2 2 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 5 2 1 0 0. 1. 2. 3. B药 5 5 6 8 9 1 2 2 3 4 6 7 8 9 1 4 5 6 7 2

从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎 2.3 上,而 B 药疗效的试验结果有

7 的叶集中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. 10
19. (本小题满分 12 分) (2013 年高考北京卷(文) )下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数 趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染, 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率; (Ⅱ)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
【答案】解:(I)在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中,1 日.2 日.3 日.7 日.12 日.13 日共 6 天的

空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是

6 . 13

(II)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染”等价于“此人到达该市的 日期是 4 日,或 5 日,或 7 日,或 8 日”.所以此人在该市停留期间只有 1 天空气质量重度污染的 概率为

4 . 13

(III)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

20. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) ( 2013 年 高 考 课 标 Ⅰ 卷 ( 文 ) ) 如 图 , 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60? . (Ⅰ)证明: AB ? A1C ; (Ⅱ)若 AB ? CB ? 2 , A1C ?

6 ,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积.

C

C1 B1 A1

B A

【答案】 【答案】(I)取 AB 的中点 O,连接 OC O 、OA 、A 1O 1B ,因为 CA=CB,所以 OC ? AB ,由于

AB=A A1,∠BA A1=60 ,故 ?AA, B 为等边三角形,所以 OA 1 ⊥AB.
0

因为 OC? OA 1 =O,所以 AB ? 平面 OA 1 C.又 A 1 CC 平面 OA 1 C,故 AB ? AC. (II)由题设知

?ABC与?AA1B都是边长为2的等边三角形, AA1 B都是边长为2的等边三角形,所以
2 OC ? OA1 ? 3, 又AC ? 6,则AC ? OA12,故OA1 ? OC. 1 1

因为OC ? AB ? O, 所以OA1 ? 平面ABC,OA1为棱柱ABC -A1B1C1的高, 又?ABC的面积S? ABC ? 3,故三棱柱ABC-A1 B1C1的体积V =S? ABC ? OA1 ? 3.
21. (本小题满分 12 分) (2013 年高考四川卷(文) ) 已知圆 C 的方程为 x ? ( y ? 4) ? 4 ,点 O 是坐标原点.直线 l : y ? kx 与圆 C 交于 M , N 两点.
2 2

(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点,且

2 1 1 .请将 n 表示为 m 的函数. ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

【答案】解:(Ⅰ)将 y ? k x 代入 x

2

? ( y ? 4)2 ? 4 得 则 (1 ? k 2 ) x 2 ? 8k x ? 12 ? 0 ,(*)

由 ? ? (?8k ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 12 ? 0 得 k 2 ? 3 . 所以 k 的取值范围是 (??, ? 3) ? ( 3, ??) (Ⅱ)因为 M、N 在直线 l 上,可设点 M、N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ) , ( x 2 , kx 2 ) ,则
2 2 OM ? (1 ? k 2 ) x1 , ON ? (1 ? k 2 ) x2 ,又 OQ ? m2 ? n 2 ? (1 ? k 2 ) m2 , 2 2 2



2 OQ
2

?

1 OM
2

?

1 ON
2

得,

2 1 1 ? ? , 2 2 2 2 2 (1 ? k ) m (1 ? k ) x1 (1 ? k 2 ) x 2

所以

( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 2 1 1 ? ? ? 2 2 m 2 x1 2 x 2 2 x1 x 2

由(*)知 x1 ? x 2 ? 所以 m 2 ?

8k 1? k
2

, x1 x 2 ?

12 , 1? k2

36 , 5k 2 ? 3 36 n ,代入 m 2 ? 2 可得 5n 2 ? 3m 2 ? 36 , 5k ? 3 m

因为点 Q 在直线 l 上,所以 k ? 由 m2 ?

36 及 k 2 ? 3 得 0 ? m 2 ? 3 ,即 m ? (? 3, 0) ? (0, 3) . 2 5k ? 3

依题意,点 Q 在圆 C 内,则 n ? 0 ,所以 n ?

36 ? 3m 2 15m 2 ? 180 , ? 5 5

于是, n 与 m 的函数关系为 n ?

15m 2 ? 180 ( m ? (? 3, 0) ? (0, 3) ) 5

?1 x, 0 ? x ? a ? ?a 22. (本小题满分 12 分) (2013 年高考江西卷 (文) ) 设函数 f ( x) ? ? ? 1 (1 ? x), a ? x ? 1 ? ?1 ? a
为 常数且 a∈(0,1). (1) 当 a=

a

1 1 时,求 f(f( )); 2 3

(2) 若 x0 满足 f(f(x0))= x0,但 f(x0)≠x0,则称 x0 为 f(x)的二阶周期点,证明函数 f ( x ) 有且仅 有两个二阶周期点,并求二阶周期点 x1,x2;
【答案】解:(1)当 a=

1 1 2 1 2 2 2 时, f ( )= , f ( f ( )) ? f ( ) ? 2(1 ? ) ? 3 3 3 3 3 3 2

?1 2 ? a 2 x, 0 ? x ? a ? ? 1 (a ? x), a 2 ? x ? a ? ? a(1 ? a ) ( 2) f ( f ( x)) ? ? ? 1 2 ( x ? a), a ? x ? a 2 ? a ? 1 ? (1 ? a ) ? ? 1 (1 ? x), a 2 ? a ? 1 ? x ? 1 ? ? a(1 ? a )
当 0 ? x ? a 时,由
2

1 x ? x 解得 x=0,由于 f(0)=0,故 x=0 不是 f(x)的二阶周期点; a2

当 a ? x ? a 时由
2

a 1 (a ? x) ? x 解得 x ? 2 ? (a 2 , a), ?a ? a ? 1 a(1 ? a)

a 1 a 1 a )? ? 2 ? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 a 故x? 是 f( x)的二阶周期点; 2 ?a ? a ? 1
因 f(
2

当 a ? x ? a ? a ? 1 时,由
2

1 1 ( x ? a) ? x 解得 x ? ? (a, a2 ? a ? 1) 2 2?a (1 ? a)

因 f(
2

1 1 1 1 1 )? ? (1 ? )? 故x? 不是 f(x)的二阶周期点; 2 ? a 1? a 2?a 2?a 2?a 1 1 (1 ? x) ? x 解得 x ? 2 ? (a2 ? a ? 1,1) ?a ? a ? 1 a(1 ? a)

当 a ? a ? 1 ? x ? 1 时,

1 1 1 a 1 )? ? (1 ? 2 )? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 1 ? a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 1 故x? 是 f(x)的二阶周期点. 2 ?a ? a ? 1 a 1 因此,函数 f ( x ) 有且仅有两个二阶周期点, x1 ? , x2 ? . 2 2 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1
因 f(
2


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