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2015届高考数学文二轮专题复习高考压轴大题突破练(三)


高考压轴大题突破练(三) ——函数与导数(1)
(推荐时间:70 分钟) a 1.已知函数 f(x)=ln x,g(x)= (a>0),设 F(x)=f(x)+g(x). x (1)求函数 F(x)的单调区间; 1 (2)若以函数 y=F(x)(x∈(0,3])图象上任意一点 P(x0,y0)为切点的切线的斜率 k≤ 恒成立,求 2 实数 a 的最小值. a 解 (1)F(x)=f(x)+g(x)=ln x+ (x>0), x 1 a x-a F′(x)= - 2= 2 . x x x ∵a>0,由 F′(x)>0?x∈(a,+∞), ∴F(x)在(a,+∞)上是增函数. 由 F′(x)<0?x∈(0,a),∴F(x)在(0,a)上是减函数. 综上,F(x)的单调递减区间为(0,a), 单调递增区间为(a,+∞). x-a (2)由 F′(x)= 2 (0<x≤3),得 x x-a 1 1 k=F′(x)= 2 ≤ (0<x0≤3)恒成立?a≥- x2 +x (0<x0≤3)恒成立. x 2 2 0 0 1 1 ∵当 x0=1 时,- x2 +x 取得最大值 , 2 0 0 2 1 1 ∴a≥ ,即实数 a 的最小值为 . 2 2 2.已知 f(x)=x3+ax2-a2x+2. (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若 a≠0,求函数 f(x)的单调区间; (3)若不等式 2xln x≤f′(x)+a2+1 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 (1)∵a=1,∴f(x)=x3+x2-x+2,∴f′(x)=3x2+2x-1,∴k=f′(1)=4,又 f(1)=3, ∴切点坐标为(1,3),∴所求切线方程为 y-3=4(x-1),即 4x-y-1=0. (2)f′(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)(3x-a), a 由 f′(x)=0,得 x=-a 或 x= . 3

a ①当 a>0 时,由 f′(x)<0,得-a<x< . 3 a 由 f′(x)>0,得 x<-a 或 x> , 3 a a 此时 f(x)的单调递减区间为(-a, ),单调递增区间为(-∞,-a)和( ,+∞). 3 3 a ②当 a<0 时,由 f′(x)<0,得 <x<-a. 3 a 由 f′(x)>0,得 x< 或 x>-a, 3 a 此时 f(x)的单调递减区间为( ,-a), 3 a 单调递增区间为(-∞, )和(-a,+∞). 3 a 综上,当 a>0 时,f(x)的单调递减区间为(-a, ), 3 a 单调递增区间为(-∞,-a)和( ,+∞). 3 a 当 a<0 时,f(x)的单调递减区间为( ,-a), 3 a 单调递增区间为(-∞, )和(-a,+∞). 3 (3)依题意 x∈(0,+∞),不等式 2xln x≤f′(x)+a2+1 恒成立,等价于 2xln x≤3x2+2ax+1 3 1 在(0,+∞)上恒成立,可得 a≥ln x- x- 在(0,+∞)上恒成立, 2 2x 3x 1 设 h(x)=ln x- - , 2 2x ?x-1??3x+1? 1 3 1 则 h′(x)= - + 2=- . x 2 2x 2x2 1 令 h′(x)=0,得 x=1,x=- (舍), 3 当 0<x<1 时,h′(x)>0;当 x>1 时,h′(x)<0. 当 x 变化时,h′(x)与 h(x)变化情况如下表 x h′(x) h(x) (0,1) + 单调递增 1 0 -2 (1,+∞) - 单调递减

∴当 x=1 时,h(x)取得最大值,h(x)max=-2, ∴a≥-2,即 a 的取值范围是[-2,+∞). 3.某知名保健品企业新研发了一种健康饮品,已知每天生产该种饮品最多不超过 4 万瓶, 最少 1 000 瓶,经检测在生产过程中该饮品的正品率 P 与每日生产产品瓶数 x(x∈N*,单位:

4 200-x2 千瓶)间的关系为 P= ,每生产一瓶饮品盈利 4 元,每出现一瓶次品亏损 2 元.(注: 4 500 正品率=饮品的正品瓶数÷ 饮品总瓶数×100%) (1)将日利润 y(元)表示成日产量 x 的函数; (2)求该种饮品日利润的最大值. 解 (1)由题意,得每生产 1 000 瓶饮品盈利 4 000 元,每出现 1 000 瓶次品亏损 2 000 元, 4 200-x2 4 200-x2 4 故 y=4 000· · x-2 000(1- )· x=3 600x- x3. 4 500 4 500 3 4 所以日利润 y=- x3+3 600x(x∈N*,1≤x≤40). 3 4 (2)令 f(x)=- x3+3 600x,x∈[1,40], 3 则 f′(x)=3 600-4x2,令 f′(x)=0,解得 x=30. 当 1≤x<30 时,f′(x)>0;当 30<x≤40 时,f′(x)<0. 4 所以函数 f(x)=- x3+3 600x(1≤x≤40)在[1,30)上单调递增,在(30,40]上单调递减. 3 4 所以当 x=30 时,函数 y=- x3+3 600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值, 3 4 最大值为- ×303+3 600×30=72 000. 3 所以该种饮品的日产量为 30 千瓶,即 3 万瓶时,日利润最大,最大值为 72 000 元. ln x+a 1 4.已知函数 f(x)= (a∈R),g(x)= . x x (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)若函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数 a 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 1-?ln x+a? - f′(x)= .令 f′(x)=0,得 x=e1 a, x2 当 x∈(0,e1 a)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;


当 x∈(e1 a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.


所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,e1 a),


单调递减区间为(e1 a,+∞),


极大值为 f(x)极大值=f(e1 a)=ea 1,无极小值.
- -

ln x+a-1 (2)令 F(x)=f(x)-g(x)= , x -ln x+2-a 则 F′(x)= . x2 令 F′(x)=0,得 x=e2 a;令 F′(x)>0,得 x<e2 a;
- -

令 F′(x)<0,得 x>e2 a,


故函数 F(x)在区间(0,e2 a)上是增函数,


在区间(e2 a,+∞)上是减函数.


①当 e2 a<e2,即 a>0 时,


函数 F(x)在区间(0,e2 a)上是增函数,


在区间(e2 a,e2]上是减函数,


所以 F(x)max=F(e2 a)=ea 2.
- -

a+1 - 又 F(e1 a)=0,F(e2)= 2 >0, e 由图象,易知当 0<x<e1
- -a

时,F(x)<0;

当 e1 a<x≤e2 时,F(x)>0, 此时函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0,e2]上有 1 个公共点. ②当 e2 a≥e2,即 a≤0 时,F(x)在区间(0,e2]上是增函数,F(x)max=F(e2)=


a+ 1 . e2

若 F(x)max=F(e2)=

a+1 ≥0,即-1≤a≤0 时, e2

函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0,e2]上只有 1 个公共点; 若 F(x)max=F(e2)= a+1 <0,即 a<-1 时, e2

函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0,e2]上没有公共点. 综上,满足条件的实数 a 的取值范围是[-1,+∞). 5.设 f(x)=ln x+ x-1,证明: 3 (1)当 x>1 时,f(x)< (x-1); 2 9?x-1? (2)当 1<x<3 时,f(x)< . x+5 3 证明 (1)方法一 记 g(x)=ln x+ x-1- (x-1), 2 1 1 3 则当 x>1 时,g′(x)= + - <0. x 2 x 2 3 又 g(1)=0,所以有 g(x)<0,即 f(x)< (x-1). 2 x 1 方法二 当 x>1 时,2 x<x+1,故 x< + .① 2 2 1 令 k(x)=ln x-x+1,则 k(1)=0,k′(x)= -1<0, x 故 k(x)<0,即 ln x<x-1.② 3 由①②得,当 x>1 时,f(x)< (x-1). 2

9?x-1? (2)方法一 记 h(x)=f(x)- , x+5 1 1 54 由(1)得 h′(x)= + - x 2 x ?x+5?2 2+ x x+5 54 54 = - < - 2x ?x+5?2 4x ?x+5?2 ?x+5?3-216x = . 4x?x+5?2 令 G(x)=(x+5)3-216x,则当 1<x<3 时, G′(x)=3(x+5)2-216<0, 因此 G(x)在(1,3)内是减函数. 又由 G(1)=0,得 G(x)<0,所以 h′(x)<0. 因此 h(x)在(1,3)内是减函数. 又 h(1)=0,所以 h(x)<0. 9?x-1? 于是当 1<x<3 时,f(x)< . x+5 方法二 记 h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1), 则当 1<x<3 时, 由(1)得 h′(x)=f(x)+(x+5)f′(x)-9 3 ?1+ 1 ?-9 < (x-1)+(x+5)· 2 ?x 2 x? 1 = [3x(x-1)+(x+5)(2+ x)-18x] 2x x 1? 1 ? < ? 3x?x-1?+?x+5?? ?2+2+2?-18x? 2x? 1 = (7x2-32x+25)<0. 4x 因此 h(x)在(1,3)内单调递减. 9?x-1? 又 h(1)=0,所以 h(x)<0,即 f(x)< . x+5


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