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数学奥林匹克高中训练题35及答案

数学奥林匹克高中训练题(35) 第一试 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题35)|b|≤1是关于 x 的不等式 acosx+bcos3x>1没有解的(A). (A)必要但不充分条件 (B)充分但不必要条件 (C)充分必要条件 (D)不充分也不必要条件 2.(训练题35)三棱锥 S—ABC 中,SA⊥平面 ABC,AB⊥AC,SA=AB, SB=BC,E 为 SC 中点,ED⊥SC 交 AC 于 D.则二面角 E—DB—C 的 度数为(C). (A)30° (B)45° (C)60° (D)75° 3.(训练题35)图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率 分别为 e1、e2、e3、e4. 其大小关系为(C). (A)e1<e2<e3<e4 (B)e2<e1<e3<e4 (C)e1<e2<e4<e3 (D)e2<e1<e4<e3 4. (训练题35)设 a、 b、 c∈R . 则 f ? x ? ? + S E A y D C B ④ ③ ① ② x O x2 ? a ? ?c ? x? 2 ?b 的最小值是(D). (A) a ? c2 ? b (B) c2 ? a ? b (C) 2 c? a ? b 2 (D) c ? 2 ? a? b ? 2 5.(训练题35)设 x ? 0.820.5 , y ? sin1, z ? log3 7 . 则 x、y、z 的大小关系是(B). (A)x<y<z (B)y<z<x (C)z<x<y (D)z<y<x 2 2 3 3 6.(训练题35)(a,b)表示两正整数 a、b 的最大公约数. 设(a,b)=1,则(a +b ,a +b )为(C). (A)1 (B)2 (C)只能1或2 (D)可能大于2 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题35)如果 x -x+2是 ax +bx +1的因式,则 a= 2 9 8 ? 3 256 . 2. (训练题35)四个城市各派 3名政协委员参加 k 个小组考察活动 (每名委员可参加几个小组) , 规定: ①同一城市的委员不在同一组;②不同城市的任意两名委员恰好共同参加一个组活动 . 则 k 的最小 值为 9组 . 2 3 . ( 训练题 35)坐标平面上横、纵坐标均为整数的点称为整点 . 那么抛物线 y=x +1 与直线 2x - y+81=0所围成闭区域内(包括边界)的整点个数是 988 . 4 . ( 训 练 题 35) 设 ( x1997 ? x1999 ? 3)1998 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ? an xn . 则 a0 ? a1 a2 a ? ? a3 ? 4 2 2 2 ? a5 ? 2 ? a3k ? a3k ?1 a3k ? 2 ? ? 2 2 ? an ? 21998 . 5.(训练题35)正有理数 a>1,写成既约分数 a ? 数为 512 . q , ( p , q) ? 1. 则满足 pq=30!的正有理数 a 的个 p ctgC ctgA ? ctgB 6.(训练题35)△ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a、b、c. 若 a +b -7c =0,则 三、(训练题35)(本题满分20分)设实数 x , y 满足 x2 ? y 2 ? 5. 求 f ( x, y) ? 3 | x ? y | ? | 4 y ? 9 | ? | 7 y ? 3x ? 18 | 的最大值、最小值.. 2 2 2 ? 3 . 四、(训练题 35)(本题满分 20 分)已知坐标平面内点 A(1,1)与直线 l: x=3,动点 P 到点 A 的距离 为 m,到 l 的距离为 n. 若 m+n=4, (1)求 P 点轨迹方程并画出图形; (2)过 A 作倾角为 α 的直线 s,交轨迹 C 于 Q、R 两点,设 f(α )=|QR|.求 f(α )表达式及 α 为何值时,f(α )取最大、最小值.. 五、(训练题35)(本题满分20分)n 为正整数,r>0为实数. 证明:方程 x + rx -r =0没有模为 r 的复数根. n+1 n n+1 第二试 一、(训练题35)(本题满分50分)(1)求正整数 x、y,使 6 1 1 ? ? .(2)有多少个正整数 n(n 1997 x y <1997) ,能使 n 1 1 ? ? ?(x、y 为正整数) . 1997 x y E B O A D 形 二、(训练题35)(本题满分50分) 图中⊙O 半径为 R,⊙O1的半径为 r (R>r) ,两圆外切于 A,OD 切⊙O1于 D,O1E 切⊙O 于 E,B、C 分别 为 OE、O1D 的中点.(1)证明:B、A、C 三点不共线.(2)若 R=6, r=3,B 为 OE 的中点,连 BA 并延长交 O1D 于 C,求 O1C 之长.. O1 C 三、 (训练题 35)(本题满分 50 分) (1) 公路上 A、 B 两镇相距 5 公里, A、 B 往外各有两条叉路成 状. 计划在每条叉路上各建一加油站. 要求每个站到 A、B 镇及到其他站(沿公路经过 A、B 镇) 距离互不相同,且距离均为整数公里,最长不超过 15 公里,此计划能否实现?( 2)若 A、B 向 外各有 3 条叉路,欲建六个加油站,依然要求站与镇,站与站之间距离互不相同且为整数公里, 最长者不超过 28 公里,能否实现?为什么?.

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