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大城县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

大城县二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则 a10+b10=(



A.28 B.76 C.123 D.199

2. 若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2∈R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定 正确的是( )

A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1 为奇函数 D.f(x)+1 为偶函数

3. 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为 1 且体积相同,则圆柱的高为( )

A.1 B. C.2 D.4

4. 在△ABC 中,a=1,b=4,C=60°,则边长 c=( )

A.13 B. C. D.21

5. △ ABC 的外接圆圆心为 O,半径为 2, + + = ,且| |=| |, 在 方向上的投影为(



A.﹣3 B.﹣

C. D.3

6. 有 30 袋长富牛奶,编号为 1 至 30,若从中抽取 6 袋进行检验,则用系统抽样确定所抽的编号为( )

A.3,6,9,12,15,18 B.4,8,12,16,20,24

C.2,7,12,17,22,27 D.6,10,14,18,22,26

7. 命题:“?x>0,都有 x2﹣x≥0”的否定是(



A.?x≤0,都有 x2﹣x>0

B.?x>0,都有 x2﹣x≤0

C.?x>0,使得 x2﹣x<0

D.?x≤0,使得 x2﹣x>0

8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.16? ? 16 3

B.16? ? 32 3

C.8? ? 16 3

D.8? ? 32 3

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精选高中模拟试卷

【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算,意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力.

9. 在 ?ABC 中, b ? 3 , c ? 3, B ? 30 ,则等于( )

A. 3

B.12 3

C. 3 或 2 3

D.2

10.已知函数



,若

,则 ( )

A1

B2

C3

D-1

11.直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆

的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

12.复数 i﹣1(i 是虚数单位)的虚部是( )

A.1

B.﹣1

C.i

D.﹣i

二、填空题

13.若 (mx ? y)6 展开式中 x3 y3 的系数为 ?160,则 m ? __________.

【命题意图】本题考查二项式定理的应用,意在考查逆向思维能力、方程思想.

14.经过 A(﹣3,1),且平行于 y 轴的直线方程为



15.设 p:实数 x 满足不等式 x2﹣4ax+3a2<0(a<0),q:实数 x 满足不等式 x2﹣x﹣6≤0,已知¬p 是¬q 的

必要非充分条件,则实数 a 的取值范围是 .

16.一个算法的程序框图如图,若该程序输出的结果为 ,则判断框中的条件 i<m 中的整数 m 的值





17.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 AC 所成的角是

°.

18.三角形 ABC 中, AB ? 2 3, BC ? 2, ?C ? 60 ,则三角形 ABC 的面积为

.

三、解答题

19.已知集合 A={x|x<﹣1,或 x>2},B={x|2p﹣1≤x≤p+3}.

(1)若 p= ,求 A∩B;

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(2)若 A∩B=B,求实数 p 的取值范围.
20.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7}. (1)求 A∪B; (2)求(?UA)∩B; (3)求?U(A∩B).
21.【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数 f ? x? ? x3 ? 3 ?k ?1? x2 ? 3kx ?1,
2 其中 k ? R.
(1)当 k ? 3时,求函数 f ? x? 在?0,5? 上的值域; (2)若函数 f ? x? 在?1, 2?上的最小值为 3,求实数 k 的取值范围.
22.已知椭圆 x2+4y2=4,直线 l:y=x+m (1)若 l 与椭圆有一个公共点,求 m 的值;
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(2)若 l 与椭圆相交于 P、Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求 m 的值.

23.已知函数 f(x)=2cos2ωx+2 sinωxcosωx﹣1,且 f(x)的周期为 2.

(Ⅰ)当

时,求 f(x)的最值;

(Ⅱ)若

,求

的值.

24.如图,椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率 e= ,且椭圆 C 的短轴长为 2.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P,M,N 椭圆 C 上的三个动点. (i)若直线 MN 过点 D(0,﹣ ),且 P 点是椭圆 C 的上顶点,求△ PMN 面积的最大值; (ii)试探究:是否存在△ PMN 是以 O 为中心的等边三角形,若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.

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大城县二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C

【解析】解:观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每项等于其前相邻两项 的和,所求值为数列中的第十项. 继续写出此数列为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,第十项为 123,即 a10+b10=123,. 故选 C.

2. 【答案】C 【解析】解:∵对任意 x1,x2∈R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1, ∴令 x1=x2=0,得 f(0)=﹣1 ∴令 x1=x,x2=﹣x,得 f(0)=f(x)+f(﹣x)+1, ∴f(x)+1=﹣f(﹣x)﹣1=﹣[f(﹣x)+1], ∴f(x)+1 为奇函数. 故选 C 【点评】本题考查函数的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.

3. 【答案】B

【解析】解:设圆柱的高为 h,则

V 圆柱=π×12×h=h,V 球=

=,

∴h= . 故选:B.

4. 【答案】B 【解析】解:∵a=1,b=4,C=60°,

∴由余弦定理可得:c=

=

故选:B.

=.

5. 【答案】C

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【解析】解:由题意, + + = ,得到 形 OCAB 是边长为 2 的菱形,

,又| |=| |=| |,△OAB 是等边三角形,所以四边

所以 在 方向上的投影为 ACcos30°=2× = ;

故选 C.

【点评】本题考查了向量的投影;解得本题的关键是由题意,画出图形,明确四边形 OBAC 的形状,利用向 量解答.

6. 【答案】C 【解析】解:从 30 件产品中随机抽取 6 件进行检验, 采用系统抽样的间隔为 30÷6=5, 只有选项 C 中编号间隔为 5, 故选:C.

7. 【答案】C 【解析】解:命题是全称命题,则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是: ?x>0,使得 x2﹣x<0, 故选:C. 【点评】本题主要考查含有量词的命题 的否定,比较基础.

8. 【答案】D

【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为 2 高为 4 的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为 2 的四棱锥,

因此该几何体的体积为V ? 1 ?? 22 ? 4 ? 1 ? 4? 4? 2 ? 8? ? 32 ,故选 D.

2

3

3

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9. 【答案】C 【解析】

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考 点:余弦定理. 10.【答案】A 【解析】g(1)=a﹣1, 若 f[g(1)]=1, 则 f(a﹣1)=1, 即 5|a﹣1|=1,则|a﹣1|=0, 解得 a=1 11.【答案】A 【解析】直线 x﹣2y+2=0 与坐标轴的交点为(﹣2,0),(0,1),

直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆

的一个焦点和一个顶点;





故选 A. 【点评】本题考查了椭圆的基本性质,只需根据已知条件求出 a,b,c 即可,属于基础题型.

12.【答案】A

【解析】解:由复数虚部的定义知,i﹣1 的虚部是 1, 故选 A. 【点评】该题考查复数的基本概念,属基础题.

二、填空题 13.【答案】 ?2 【解析】由题意,得 C63m3 ? ?160 ,即 m3 ? ?8 ,所以 m ? ?2 .
14.【答案】 x=﹣3 .

【解析】解:经过 A(﹣3,1),且平行于 y 轴的直线方程为:x=﹣3. 故答案为:x=﹣3.

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15.【答案】

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【解析】解:∵x2﹣4ax+3a2<0(a<0), ∴(x﹣a)(x﹣3a)<0, 则 3a<x<a,(a<0), 由 x2﹣x﹣6≤0 得﹣2≤x≤3, ∵¬p 是¬q 的必要非充分条件, ∴q 是 p 的必要非充分条件,



,即 ≤a<0,

故答案为:
16.【答案】 6 .
【解析】解:第一次循环:S=0+ = ,i=1+1=2; 第二次循环:S= + = ,i=2+1=3; 第三次循环:S= + = ,i=3+1=4; 第四次循环:S= + = ,i=4+1=5; 第五次循环:S= + = ,i=5+1=6;输出 S,不满足判断框中的条件; ∴判断框中的条件为 i<6? 故答案为:6. 【点评】本题考查程序框图,尤其考查循环结构.对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律.本题属于 基础题
17.【答案】 60° °.
【解析】解:连结 BC1、A1C1, ∵在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A 平行且等于 C1C, ∴四边形 AA1C1C 为平行四边形,可得 A1C1∥AC, 因此∠BA1C1(或其补角)是异面直线 A1B 与 AC 所成的角, 设正方体的棱长为 a,则△A1B1C 中 A1B=BC1=C1A1= a,

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∴△A1B1C 是等边三角形,可得∠BA1C1=60°, 即异面直线 A1B 与 AC 所成的角等于 60°. 故答案为:60°.

【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小,着重考查了正方体的性质、空间角的 定义及其求法等知识,属于中档题.

18.【答案】 2 3
【解析】

试题分析:因为 ?ABC 中, AB ? 2 3, BC ? 2, C ? 60? ,由正弦定理得 2 3 ? 2 , sin A ? 1 ,又

3 sin A

2

2

BC

?

AB ,即

A?C

,所以 C

? 30?,∴ B

? 90? ,

AB

?

BC , S?ABC

?

1? 2

AB ? BC

?

2

3.

考点:正弦定理,三角形的面积.

【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用,三角形的面积公式.在解三角形有关问题时,正弦定理、余弦定
理是两个主要依据,一般来说,当条件中同时出现 ab 及 b2 、 a2 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正

弦、余弦交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦,再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答.解三角形

时.三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式 1 ab sin C , 1 ah , 1 (a ? b ? c)r , abc 等等.

2

22

4R

三、解答题

19.【答案】

【解析】解:(1)当 p= 时,B={x|0≤x≤ },

∴A∩B={x|2<x≤ };
(2)当 A∩B=B 时,B?A; 令 2p﹣1>p+3,解得 p>4,此时 B=?,满足题意;

当 p≤4 时,应满足



解得 p 不存在;

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综上,实数 p 的取值范围 p>4.
20.【答案】
【解析】解:全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7}. (1)A∪B={1,2,3,4,5,7} (2)(?UA)={1,3,6,7} ∴(?UA)∩B={1,3,7} (3)∵A∩B={5} ?U(A∩B)={1,2,3,4,6,7}. 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.

21.【答案】(1)?1, 21?;(2) k ? 2 .

【解析】试题分析:(1)求导,再利用导数工具即可求得正解;(2)求导得 f '? x? ? 3? x ?1?? x ? k ? ,再

分 k ?1和 k ?1两种情况进行讨论;
试题解析:(1)解: k ? 3 时, f ? x? ? x3 ? 6x2 ? 9x ?1

则 f ??x? ? 3x2 ?12x ? 9 ? 3?x ?1??x ?3?

令 f ?? x? ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? 3 列表

x

0 ?0,1?

1 ?1,3?

3 ?3,5?

3

f ??x?

+

0

-

0+

f ?x?

1

单调递增

5 单调递减

1

单调递增

21

由上表知函数 f ? x? 的值域为?1, 21?

(2)方法一: f ??x? ? 3x2 ?3?k ?1? x ? 3k ? 3?x ?1??x ? k ?

①当 k ?1时, ?x??1,2?, f '?x? ? 0 ,函数 f ? x? 在区间?1, 2?单调递增

所以 f ? x? ? f ?1? ? 1? 3 ?k ?1? ? 3k ?1 ? 3

min

2

即 k ? 5 (舍) 3

②当 k ? 2 时, ?x??1,2?, f '?x? ? 0 ,函数 f ? x? 在区间?1, 2?单调递减

所以 f ?x? ? f ?2? ? 8? 6?k ?1? ? 3k ?2 ?1? 3 min
符合题意

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③当1? k ? 2 时,
当 x ??1, k ?时, f '?x? ? 0 f ? x? 区间在?1,k? 单调递减

当 x??k, 2?时, f '?x? ? 0 f ? x? 区间在 ?k, 2? 单调递增

所以 f ? x? ? f ?k ? ? k3 ? 3 ?k ?1? k 2 ? 3k 2 ?1 ? 3

min

2

化简得: k3 ? 3k 2 ? 4 ? 0

即 ?k ?1??k ? 2?2 ? 0

所以 k ? ?1或 k ? 2 (舍)
注:也可令 g ?k ? ? k3 ?3k2 ? 4

则 g??k? ? 3k2 ? 6k ? 3k ?k ? 2?

对 ?k ??1,2?, g??k? ? 0

g ?k ? ? k3 ?3k2 ? 4在 k ??1, 2? 单调递减

所以 0 ? g ?k ? ? 2 不符合题意

综上所述:实数 k 取值范围为 k ? 2
方法二: f ??x? ? 3x2 ?3?k ?1? x ? 3k ? 3?x ?1??x ? k ?

①当 k ? 2 时, ?x??1,2?, f '?x? ? 0 ,函数 f ? x? 在区间?1, 2?单调递减

所以 f ?x? ? f ?2? ? 8? 6?k ?1? ? 3k ?2 ?1? 3 min

符合题意

…………8 分

②当 k ?1时, ?x??1,2?, f '?x? ? 0 ,函数 f ? x? 在区间?1, 2?单调递增

所以 f ?x? ? f ?2? ? 3 不符合题意 min ③当1? k ? 2 时,
当 x ??1, k ?时, f '?x? ? 0 f ? x? 区间在?1,k? 单调递减

当 x??k, 2?时, f '?x? ? 0 f ? x? 区间在 ?k, 2? 单调递增

所以 f ?x? ? f ?k? ? f ?2? ? 3不符合题意 min
综上所述:实数 k 取值范围为 k ? 2

22.【答案】

【解析】解:(1)把直线 y=x+m 代入椭圆方程得:x2+4(x+m)2=4,即:5x2+8mx+4m2﹣4=0,

△=(8m)2﹣4×5×(4m2﹣4)=﹣16m2+80=0

解得:m=



(2)设该直线与椭圆相交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1,x2 是方程 5x2+8mx+4m2﹣4=0 的两根,

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由韦达定理可得:x1+x2=﹣ ,x1?x2=





|AB|=

=

=

=2;

∴m=± . 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题,难点在于弦长公式的灵活应用,属于中档题.

23.【答案】

【解析】(本题满分为 13 分)

解:(Ⅰ)∵

=

,…

∵T=2,∴

,…



,…











,…



,…



时,f(x)有最小值

,当 时,f(x)有最大值 2.…

(Ⅱ)由



所以



所以

,…



,…

所以

,…



.…

24.【答案】

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【解析】解:(Ⅰ)由题意得

解得 a=2,b=1,

所以椭圆方程为



(Ⅱ)(i)由已知,直线 MN 的斜率存在, 设直线 MN 方程为 y=kx﹣ ,M(x1,y1),N(x2,y2).



得(1+4k2)x2﹣4kx﹣3=0,

∴x1+x2=

,x1x2=







所以 S△PMN= |PD|?|x1﹣x2|=

=



令 t=

,则 t≥ ,k2=

所以 S△PMN=



令 h(t)= ,t∈[ ,+∞),则 h′(t)=1﹣ =

>0,所以 h(t)在[ ,+∞),单调递增,

则 t= ,即 k=0 时,h(t)的最小值,为 h( )= ,

所以△PMN 面积的最大值为 .

(ii)假设存在△PMN 是以 O 为中心的等边三角形. (1)当 P 在 y 轴上时,P 的坐标为(0,1),则 M,N 关于 y 轴对称,MN 的中点 Q 在 y 轴上.

又 O 为△PMN 的中心,所以

,可知 Q(0,﹣ ),M(﹣ , ),N( , ).

从而|MN|= ,|PM|= ,|MN|≠|PM|,与△PMN 为等边三角形矛盾.

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(2)当 P 在 x 轴上时,同理可知,|MN|≠|PM|,与△PMN 为等边三角形矛盾. (3)当 P 不在坐标轴时,设 P(x0,y0),MN 的中点为 Q,则 kOP= ,

又 O 为△PMN 的中心,则

,可知



设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=2xQ=﹣x0,y1+y2=2yQ=﹣y0,

又 x12+4y12=4,x22+4y22=4,两式相减得 kMN=



从而 kMN=



所以 kOP?kMN= ?(

)= ≠﹣1,

所以 OP 与 MN 不垂直,与等边△PMN 矛盾. 综上所述,不存在△PMN 是以 O 为中心的等边三角形. 【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能 力、推理论证能力、分析解决问题能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化 思想

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