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岢岚县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

岢岚县第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 若命题“p∧q”为假,且“≦q”为假,则( A.“p∨q”为假 B.p 假 C.p 真 D.不能判断 q 的真假 2. 设复数 z 满足 z(1+i)=2(i 为虚数单位),则 z=( A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i ) )

座号_____

姓名__________

分数__________

3. 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离 相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )

D1 A1

C1 B1 P

D A
A.直线

C B
B.圆 C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识,意在考查空间想象能力. 4. 如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点, 则此点取自阴影部分的概率是( )

A.1﹣

B. ﹣

C. )

D.

5. 如图,长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,半圆的直径为 AB.在长方形 ABCD 内随机取一点,则该点取 自阴影部分的概率是(

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A.

B.1﹣

C.

D.1﹣ )(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,△ EFG 是边长为 2 的等边三角 )

6. 已知函数 f(x)=Asin(ωx﹣

形,为了得到 g(x)=Asinωx 的图象,只需将 f(x)的图象(

A.向左平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位

7. 已知实数 x,y 满足有不等式组 A.2 B. C. D.

,且 z=2x+y 的最大值是最小值的 2 倍,则实数 a 的值是(



8. 已知 α∈(0,π),且 sinα+cosα= ,则 tanα=( A. B. C.
2



D. ) B.?x∈R,使得 x2>1 D.?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1 )

9. 命题“?x∈R,使得 x2<1”的否定是( A.?x∈R,都有 x <1 C.?x∈R,使得 x2≥1 10.“x≠0”是“x>0”是的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 11.下列正方体或四面体中, P 、 Q 、 R 、 S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图形是 ( )

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12.已知集合 A={x|1≤x≤3},B={x|0<x<a},若 A?B,则实数 a 的范围是( A.[3,+∞) B.(3,+∞) C.[﹣∞,3]



D.[﹣∞,3)

二、填空题
13 . 已 知 函 数 f ( x) ? a sin x cos x ? sin x ?
2

1 ? 的 一 条 对 称 轴 方 程 为 x ? , 则 函 数 f ( x) 的 最 大 值 为 2 6

___________. 【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思 想与方程思想. 14.【南通中学 2018 届高三 10 月月考】定义在 上的函数 满足 , 为 的导函数,且

对 15.

恒成立,则 =

的取值范围是__________________. . . . .

16.抛物线 y2=﹣8x 上到焦点距离等于 6 的点的坐标是 17.在(x2﹣ )9 的二项展开式中,常数项的值为 18.已知函数 f(x)=

,若 f(f(0))=4a,则实数 a=

三、解答题
19.已知函数 f(x)=alnx+ (I)求 a、b 的值; (Ⅱ)当 x>1 时,不等式 f(x)> 恒成立,求实数 k 的取值范围. ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=2.

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20.已知△ ABC 的顶点 A(3,2),∠C 的平分线 CD 所在直线方程为 y﹣1=0,AC 边上的高 BH 所在直线方 程为 4x+2y﹣9=0. (1)求顶点 C 的坐标; (2)求△ ABC 的面积.

21.已知 m≥0,函数 f(x)=2|x﹣1|﹣|2x+m|的最大值为 3. (Ⅰ)求实数 m 的值;
2 2 2 (Ⅱ)若实数 a,b,c 满足 a﹣2b+c=m,求 a +b +c 的最小值.

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22.已知等差数列{an}中,其前 n 项和 Sn=n2+c(其中 c 为常数), (1)求{an}的通项公式; (2)设 b1=1,{an+bn}是公比为 a2 等比数列,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

23.已知 和 均为给定的大于 1 的自然数,设集合

, , ,..., . , 其中 、

,集合

..。 (1)当 (2) 设 、 .证明:若 , , ,则 .

, ..。

, ,

, ,..., ; ..。

时,用列举法表示集合



, , ...,

24.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn=2an﹣n2+3n+2(n∈N*) (Ⅰ)求证:数列{an+2n}是等比数列; (Ⅱ)设 bn=ansin (Ⅲ)设 Cn=﹣ π,求数列{bn}的前 n 项和; ,数列{Cn}的前 n 项和为 Pn,求证:Pn< .

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岢岚县第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:∵命题“p∧q”为假,且“≦q”为假, ∴q 为真,p 为假; 则 p∨q 为真, 故选 B. 【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断,属于基础题. 2. 【答案】A 【解析】解:∵z(1+i)=2,∴z= 故选:A. 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题. 3. 【答案】D. = =1﹣i.

第Ⅱ卷(共 110 分) 4. 【答案】A 【解析】解:设扇形的半径为 r,则扇形 OAB 的面积为 ,

连接 OC,把下面的阴影部分平均分成了 2 部分,然后利用位移割补的方法,分别平移到图中划线部分,则阴 影部分的面积为: ﹣ ,

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∴此点取自阴影部分的概率是 故选 A.



5. 【答案】B 【解析】解:由题意,长方形的面积为 2×1=2,半圆面积为 公式可得该点取自阴影部分的概率是 故选:B. 【点评】本题考查了几何概型公式的运用,关键是明确几何测度,利用面积比求之. 6. 【答案】 A 【解析】解:∵△EFG 是边长为 2 的正三角形, ∴三角形的高为 ,即 A= , =4, 函数的周期 T=2FG=4,即 T= 解得 ω= = , sin( x﹣ x﹣ )= ),g(x)= sin[ sin x, ; ,所以阴影部分的面积为 2﹣ ,由几何概型

即 f(x)=Asinωx= 由于 f(x)= sin(

(x﹣ )],

故为了得到 g(x)=Asinωx 的图象,只需将 f(x)的图象向左平移 个长度单位. 故选:A. 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键,属于中 档题. 7. 【答案】B

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【解析】解:由约束条件

作出可行域如图,

联立 联立

,得 A(a,a), ,得 B(1,1),

化目标函数 z=2x+y 为 y=﹣2x+z, 由图可知 zmax=2×1+1=3,zmin=2a+a=3a, 由 6a=3,得 a= . 故选:B. 【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 8. 【答案】D
2 【解析】解:将 sinα+cosα= ①两边平方得:(sinα+cosα) =1+2sinαcosα=

,即 2sinαcosα=﹣

<0,

∵0<α<π,∴

<α<π,

∴sinα﹣cosα>0,
2 ∴(sinα﹣cosα) =1﹣2sinαcosα=

,即 sinα﹣cosα= ②,

联立①②解得:sinα= ,cosα=﹣ , 则 tanα=﹣ . 故选:D. 9. 【答案】D 【解析】解:命题是特称命题,则命题的否定是?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1, 故选:D.
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【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 10.【答案】B 【解析】解:当 x=﹣1 时,满足 x≠0,但 x>0 不成立. 当 x>0 时,一定有 x≠0 成立, ∴“x≠0”是“x>0”是的必要不充分条件. 故选:B. 11.【答案】D 【解析】

考 点:平面的基本公理与推论. 12.【答案】B 【解析】解:∵集合 A={x|1≤x≤3},B={x|0<x<a}, 若 A?B,则 a>3, 故选:B. 【点评】本题考查了集合的包含关系,考查不等式问题,是一道基础题.

二、填空题
13.【答案】1 【 解 析 】

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14.【答案】

【解析】



睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上 看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起 到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这 是非常必要的。根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧。许多问 题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效。 15.【答案】 2 . 【解析】解: 故答案为:2. 【点评】本题考查了对数的运算性质,属于基础题. =2+lg100﹣2=2+2﹣2=2,

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16.【答案】 (﹣4,

) . =2.

2 【解析】解:∵抛物线方程为 y =﹣8x,可得 2p=8,

∴抛物线的焦点为 F(﹣2,0),准线为 x=2. 设抛物线上点 P(m,n)到焦点 F 的距离等于 6, 根据抛物线的定义,得点 P 到 F 的距离等于 P 到准线的距离, 即|PF|=﹣m+2=6,解得 m=﹣4,
2 ∴n =8m=32,可得 n=±4

, ). ).

因此,点 P 的坐标为(﹣4, 故答案为:(﹣4,

【点评】本题给出抛物线的方程,求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标.着重考查了抛物线的定义与 标准方程等知识,属于基础题. 17.【答案】 84 .
2 9 【解析】解:(x ﹣ ) 的二项展开式的通项公式为 Tr+1=

?(﹣1)r?x18﹣3r,

令 18﹣3r=0,求得 r=6,可得常数项的值为 T7= 故答案为:84.

=

=84,

【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题. 18.【答案】 2 .

【解析】解:∵f(0)=2, ∴f(f(0))=f(2)=4+2a=4a, 所以 a=2 故答案为:2.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(I)∵函数 f(x)=alnx+ f′(x)= ﹣ 的导数为

,且直线 y=2 的斜率为 0,又过点(1,2),

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∴f(1)=2b=2,f′(1)=a﹣b=0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解得 a=b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (II)当 x>1 时,不等式 f(x)> 即(k﹣1)lnx+ ,即为(x﹣1)lnx+ >(x﹣k)lnx,

>0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,g′(x)= +1+ = ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

令 g(x)=(k﹣1)lnx+
2 令 m(x)=x +(k﹣1)x+1,

①当

≤1 即 k≥﹣1 时,m(x)在(1,+∞)单调递增且 m(1)≥0,

所以当 x>1 时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)单调递增, 则 g(x)>g(1)=0 即 f(x)> ②当 恒成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ )上单调递减,

>1 即 k<﹣1 时,m(x)在上(1,

且 m(1)<0,故当 x∈(1, 所以函数 g(x)在(1, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当 x∈(1,

)时,m(x)<0 即 g′(x)<0, )单调递减,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

)时,g(x)<0 与题设矛盾,

综上可得 k 的取值范围为[﹣1,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 20.【答案】 【解析】解:(1)由高 BH 所在直线方程为 4x+2y﹣9=0,∴ ∵直线 AC⊥BH,∴kACkBH=﹣1. ∴ , , =﹣2.

直线 AC 的方程为 联立

∴点 C 的坐标 C(1,1).

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(2) ∴直线 BC 的方程为 联立

, , ,即 . . , .

点 B 到直线 AC:x﹣2y+1=0 的距离为 又 ∴

【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离 公式、三角形的面积计算公式,属于基础题. 21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)f(x)=2|x﹣1|﹣|2x+m|=|2x﹣2|﹣|2x+m|≤|(2x﹣2)﹣(2x+m)|=|m+2| ∵m≥0,∴f(x)≤|m+2|=m+2,当 x=1 时取等号, ∴f(x)max=m+2,又 f(x)的最大值为 3,∴m+2=3,即 m=1.
2 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)根据柯西不等式得:(a +b +c )[1 +(﹣2) +1 ]≥(a﹣2b+c) ,

∵a﹣2b+c=m=1,∴ 当 ,即


2 2 2 时取等号,∴a +b +c 的最小值为 .

【点评】本题考查绝对值不等式、柯西不等式,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 22.【答案】 【解析】解:(1)a1=S1=1+c,a2=S2﹣S1=3,a3=S3﹣S2=5﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 因为等差数列{an}, 所以 2a2=a1+a3 得 c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (4 分) ∴a1=1,d=2,an=2n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)a2=3,a1+b1=2∴ ﹣(8 分) ∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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∴ 分)

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12

【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法,考查学生的运算求解能力,属中档题.

23.【答案】

【解析】 24.【答案】
2 * ∴当 n≥2 时, 【解析】 (I) 证明: 由 Sn=2an﹣n +3n+2 (n∈N ) ,



an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4, 变形为 an+2n=2[an﹣1+2(n﹣1)],当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣1+3+2,解得 a1=﹣4,∴a1+2=﹣2,∴数列{an+2n} 是等比数列,首项为﹣2,公比为 2;
n 1 n (II)解:由(I)可得 an=﹣2×2 ﹣ ﹣2n=﹣2 ﹣2n.

∴bn=ansin

π=﹣(2n+2n)

,∵

=

=(﹣1)n,

n+1 n ∴bn=(﹣1) (2 +2n).

设数列{bn}的前 n 项和为 Tn.
* 2 3 4 2k 1 2k 当 n=2k(k∈N )时,T2k=(2﹣2 +2 ﹣2 +…+2 ﹣ ﹣2 )+2(1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k)

=

﹣2k=

﹣n. ﹣2k﹣(﹣2 ﹣4k)=
2k

当 n=2k﹣1 时,T2k﹣1= (III)证明:Cn=﹣ =

+n+1+2n+1=

+n+1.

,当 n≥2 时,cn



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∴数列{Cn}的前 n 项和为 Pn<

=

= ,

当 n=1 时,c1= 综上可得:?n∈N ,
*

成立. .

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递 推式的应用,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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