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方正县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

方正县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 过点(﹣1,3)且平行于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为( A.x﹣2y+7=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y﹣5=0 ) ) D.2x+y﹣5=0

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 底面为矩形的四棱锥 PABCD 的顶点都在球 O 的表面上,且 O 在底面 ABCD 内,PO⊥平面 ABCD,当四 棱锥 PABCD 的体积的最大值为 18 时,球 O 的表面积为( A.36π C.60π
2

B.48π D.72π ) B.a=﹣3 C.a=±3 ) D. ) D.a=5 或 a=±3

3. 已知 A={﹣4,2a﹣1,a },B={a﹣5,1﹣a,9},且 A∩B={9},则 a 的值是( A.a=3 4. 与函数 y=x 有相同的图象的函数是( A. B. C.

5. 执行如图所示的程序框图,若 a=1,b=2,则输出的结果是(

A.9

B.11

C.13

D.15
2 2

6. 已知向量 a ? (m, 2) , b ? (?1, n) ( n ? 0 ),且 a ? b ? 0 ,点 P(m, n) 在圆 x ? y ? 5 上,则

| 2a ? b |? (
A. 34

) B. C. 4 2 D. 3 2 ) D. ? ?1,

7. 定义运算: a ? b ? ? A. ? ?

? a, a ? b .例如 1? 2 ? 1,则函数 f ? x ? ? sin x ? cos x 的值域为( b , a ? b ?
B. ?1,1

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

?

?

C. ?

? 2 ? ,1? ? 2 ?

? ?

2? ? 2 ?

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8. 给出下列各函数值:①sin100°;②cos(﹣100°);③tan(﹣100°);④ 负的是( A.① A.充分不必要条件 ) B.② B.必要不充分条件 C.③ ) D.④

.其中符号为

9. 设集合 A={x|x<a},B={x|x<3},则“a<3”是“A?B”的( C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.函数 f ( x) = ln x + A. (0,??)

1 2 x + ax 存在与直线 3x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是( 2 B. (??,2) C. (2,??) D. (??,1]



【命题意图】 本题考查导数的几何意义、 基本不等式等基础知识, 意在考查转化与化归的思想和基本运算能力. 11.已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于

A. x ? ?

? ,则 f ( x) 的一条对称轴是( ? ?
12
B. x ?

) C. x ? ?

?
6

12

D. x ?

?
6


12.已知 x,y 满足 A.4 B.﹣4 C.0

时,z=x﹣y 的最大值为( D.2

二、填空题
13.已知线性回归方程 =9,则 b= .

14.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知数列{Sn}是首项和公比都是 3 的等比数列,则{an}的通项公式 an= .

15.已知正整数 m 的 3 次幂有如下分解规律:

13 ? 1 ; 23 ? 3 ? 5 ; 33 ? 7 ? 9 ? 11; 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ;… 3 若 m (m ? N? ) 的分解中最小的数为 91 ,则 m 的值为
中等. 16.如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由

.

【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识,问题的给出比较新颖,对逻辑推理及化归能力有较高要求,难度 块木块堆成.

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17.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入的 X 的值为 2,则输出的结果是



18.对于|q|<1(q 为公比)的无穷等比数列{an}(即项数是无穷项),我们定义 的前 n 项的和) 为它的各项的和, 记为 S, 即 S= Sn= , 则循环小数 0.

Sn(其中 Sn 是数列{an} 的分数形式是 .

三、解答题
19.求下列函数的定义域,并用区间表示其结果. (1)y= (2)y= + . ;

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20.已知曲线 C 的极坐标方程为 4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半 轴,建立平面直角坐标系; (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若 P(x,y)是曲线 C 上的一个动点,求 3x+4y 的最大值.

21.在极坐标系下,已知圆 O:ρ =cosθ +sinθ 和直线 l: (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ ∈(0,π )时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标.



22.已知数列{an}满足 a1=3,an+1=an+p?3n(n∈N*,p 为常数),a1,a2+6,a3 成等差数列. (1)求 p 的值及数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足 bn= ,证明 bn≤ .

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23.中国高铁的某个通讯器材中配置有 9 个相同的元件,各自独立工作,每个元件正常工作的概率为 p(0<p <1),若通讯器械中有超过一半的元件正常工作,则通讯器械正常工作,通讯器械正常工作的概率为通讯器 械的有效率 (Ⅰ)设通讯器械上正常工作的元件个数为 X,求 X 的数学期望,并求该通讯器械正常工作的概率 P′(列代 数式表示) (Ⅱ)现为改善通讯器械的性能,拟增加 2 个元件,试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率.

24.某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处 都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获 Y(单位:kg)与它的“相近”作物 株数 X 之间的关系如下表所示: X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰 好“相近”的概率; (II)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.

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方正县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:由题意可设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0 ∵过点(﹣1,3) 代入可得﹣1﹣6+c=0 则 c=7 ∴x﹣2y+7=0 故选 A. 【点评】本题主要考查了直线方程的求解,解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程 x﹣ 2y+c=0. 2. 【答案】 【解析】选 A.设球 O 的半径为 R,矩形 ABCD 的长,宽分别为 a,b, 则有 a2+b2=4R2≥2ab,∴ab≤2R2, 1 又 V 四棱锥 P-ABCD= S 矩形 ABCD·PO 3 1 2 3 = abR≤ R . 3 3 2 3 ∴ R =18,则 R=3, 3 ∴球 O 的表面积为 S=4πR2=36π,选 A. 3. 【答案】B
2 【解析】解:∵A={﹣4,2a﹣1,a },B={a﹣5,1﹣a,9},且 A∩B={9}, 2 ∴2a﹣1=9 或 a =9,

当 2a﹣1=9 时,a=5,A∩B={4,9},不符合题意;
2 当 a =9 时,a=±3,若 a=3,集合 B 违背互异性;

∴a=﹣3. 故选:B. 【点评】本题考查了交集及其运算,考查了集合中元素的特性,是基础题. 4. 【答案】D 【解析】解:A:y= B: C: D: 的定义域[0,+∞),与 y=x 的定义域 R 不同,故 A 错误 与 y=x 的对应法则不一样,故 B 错误 =x,(x≠0)与 y=x 的定义域 R 不同,故 C 错误 ,与 y=x 是同一个函数,则函数的图象相同,故 D 正确

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故选 D 【点评】本题主要考查了函数的三要素:函数的定义域,函数的值域及函数的对应法则的判断,属于基础试题 5. 【答案】C 【解析】解:当 a=1 时,不满足退出循环的条件,故 a=5, 当 a=5 时,不满足退出循环的条件,故 a=9, 当 a=9 时,不满足退出循环的条件,故 a=13, 当 a=13 时,满足退出循环的条件, 故输出的结果为 13, 故选:C 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答. 6. 【答案】A 【解析】

考点:1、向量的模及平面向量数量积的运算;2、点和圆的位置关系. 7. 【答案】D 【解析】

考 点:1、分段函数的解析式;2、三角函数的最值及新定义问题. 8. 【答案】B 【解析】解::①sin100°>0,②cos(﹣100°)=cos100°<0,③tan(﹣100°)=﹣tan100>0, ④∵sin >0,cosπ =﹣1,tan <0,

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>0,

其中符号为负的是②, 故选:B. 【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断,判断角所在的象限是解决本题的关键,比较基础.

9. 【答案】A 【解析】解:若 A?B,则 a≤3, 则“a<3”是“A?B”的充分不必要条件, 故选:A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据集合关系是解决本题的关键. 10.【答案】D 【解析】因为 f ?( x) ? 因为 x +

1 1 ? x ? a ,直线的 3x ? y ? 0 的斜率为 3 ,由题意知方程 ? x ? a ? 3 ( x > 0 )有解, x x

1 ? 2 ,所以 a ? 1 ,故选 D. x

11.【答案】D 【解析】 试题分析:由已知 f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

) , T ? ? ,所以 ? ?

2?

k? ? ? , k ? Z ,可知 D 正确.故选 D. 6 2 2 6 考点:三角函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的对称性. 2x ?

?

? k? ?

?

? 2 ,则 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ,令 ? 6

?

, k ? Z ,得 x ?

12.【答案】A 【解析】解:由约束条件 作出可行域如图,

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联立

,得 A(6,2),

化目标函数 z=x﹣y 为 y=x﹣z, 由图可知,当直线 y=x﹣z 过点 A 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最大值为 4. 故选:A. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

二、填空题
13.【答案】 4 . 【解析】解:将 故答案为:4 【点评】本题考查线性回归方程,考查计算能力,属于基础题. 14.【答案】 . 代入线性回归方程可得 9=1+2b,∴b=4

n 【解析】解:∵数列{Sn}是首项和公比都是 3 的等比数列,∴Sn =3 .

故 a1=s1=3,n≥2 时,an=Sn ﹣sn﹣1=3 ﹣3 故 an=

n

n﹣1

=2?3n﹣1, .

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和公式,数列的前 n 项的和 Sn 与第 n 项 an 的关系,属于中档题. 15.【答案】10 【解析】 m 的分解规律恰好为数列 1,3,5,7,9,…中若干连续项之和, 2 为连续两项和, 3 为接下来三 项和,故 m 的首个数为 m ? m ? 1 .
3 2 3
3

3

3 ∵ m (m ? N? ) 的分解中最小的数为 91,∴ m ? m ? 1 ? 91 ,解得 m ? 10 .
2

16.【答案】 4

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【解析】解:由三视图可以看出此几何体由两排两列,前排有一个方块,后排左面一列有两个木块右面一列有 一个, 故后排有三个,故此几何体共有 4 个木块组成. 故答案为:4.

17.【答案】 ﹣3 .

【解析】解:分析如图执行框图, 可知:该程序的作用是计算分段函数 f(x)= 当 x=2 时,f(x)=1﹣2×2=﹣3 故答案为:﹣3 【点评】本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识,算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中 的一个热点,应高度重视. 的函数值.

18.【答案】



【解析】解:0. 故答案为: .

=

+

+…+=

=



【点评】本题考查数列的极限,考查学生的计算能力,比较基础.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵y= + ,

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解得 x≥﹣2 且 x≠﹣2 且 x≠3, ∴函数 y 的定义域是(﹣2,3)∪(3,+∞); (2)∵y= ∴ , ,

解得 x≤4 且 x≠1 且 x≠3, ∴函数 y 的定义域是(﹣∞,1)∪(1,3)∪(3,4]. 20.【答案】
2 2 2 2 2 2 【解析】解:(Ⅰ)由 4ρ cos θ+9ρ sin θ=36 得 4x +9y =36,

化为



(Ⅱ)设 P(3cosθ,2sinθ), 则 3x+4y= , . ∵θ∈R,∴当 sin(θ+φ)=1 时,3x+4y 的最大值为

【点评】 本题考查了椭圆的极坐标方程、 三角函数的单调性与值域, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

21.【答案】
2 【解析】解:(1)圆 O:ρ =cosθ +sinθ ,即 ρ =ρ cosθ +ρ sinθ , 2 2 2 2 故圆 O 的直角坐标方程为:x +y =x+y,即 x +y ﹣x﹣y=0.

直线 l: 为:y﹣x=1,即 x﹣y+1=0. (2)由 (0,1), 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 ,可得

,即 ρ sinθ ﹣ρ cosθ =1,则直线的直角坐标方程

,直线 l 与圆 O 公共点的直角坐标为



【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系,属于基础题. 22.【答案】
n * 【解析】(1)解:∵数列{an}满足 a1=3,an+1=an+p?3 (n∈N ,p 为常数),

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∴a2=3+3p,a3=3+12p, ∵a1,a2+6,a3 成等差数列.∴2a2+12=a1+a3,即 18+6p=6+12p 解得 p=2.
n ∵an+1=an+p?3 , 2 n 1 ∴a2﹣a1=2?3,a3﹣a2=2?3 ,…,an﹣an﹣1=2?3 ﹣ ,

将这些式子全加起来 得 an﹣a1=3n﹣3,
n ∴an=3 .

(2)证明:∵{bn}满足 bn= 设 f(x)= ,则 f′(x)=

,∴bn=

. ,x∈N ,
*

令 f′(x)=0,得 x= 当 x∈(0,

∈(1,2) ,+∞)时,f′(x)<0,

)时,f′(x)>0;当 x∈(

且 f(1)= ,f(2)= ,
* ∴f(x)max=f(2)= ,x∈N .

∴bn≤ . 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意构造法的合理运用. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由题意可知:X~B(9,p),故 EX=9p. 在通讯器械配置的 9 个元件中,恰有 5 个元件正常工作的概率为: 在通讯器械配置的 9 个元件中,恰有 6 个元件正常工作的概率为: 在通讯器械配置的 9 个元件中,恰有 7 个元件正常工作的概率为: 在通讯器械配置的 9 个元件中,恰有 8 个元件正常工作的概率为: 在通讯器械配置的 9 个元件中,恰有 9 个元件正常工作的概率为: 通讯器械正常工作的概率 P′= (Ⅱ)当电路板上有 11 个元件时,考虑前 9 个元件, 为使通讯器械正常工作,前 9 个元件中至少有 4 个元件正常工作. ①若前 9 个元素有 4 个正常工作,则它的概率为: 此时后两个元件都必须正常工作,它的概率为: . p2; ; . . . . .

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②若前 9 个元素有 5 个正常工作,则它的概率为: 此时后两个元件至少有一个正常工作,它的概率为: ③若前 9 个元素至少有 6 个正常工作,则它的概率为: 此时通讯器械正常工作,故它的概率为: P″= 可得 P″﹣P′= , = = p2+ p2+

. ; ; , ﹣

+



故当 p= 时,P″=P′,即增加 2 个元件,不改变通讯器械的有效率; 当 0<p 当p 时,P″<P′,即增加 2 个元件,通讯器械的有效率降低; 时,P″>P′,即增加 2 个元件,通讯器械的有效率提高.

【点评】本题考查二项分布,考查了相互独立事件及其概率,关键是对题意的理解,属概率统计部分难度较大 的题目. 24.【答案】 【解析】 【专题】概率与统计. 【分析】 (I)确定三角形地块的内部和边界上的作物株数,分别求出基本事件的个数,即可求它们恰好“相近” 的概率; (II)确定变量的取值,求出相应的概率,从而可得年收获量的分布列与数学期望. 【解答】解:(I)所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为 3,边界上的作物株 数为 12, 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 =36 种, 选取的两株作物恰好“相 近”的不同结果有 3+3+2=8,∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概 率为 = ;

(II)先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为 Y 的分布列 ∵P(Y=51)=P(X=1),P(48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4) ∴只需求出 P(X=k)(k=1,2,3,4)即可 记 nk 为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数(k=1,2,3,4),则 n1=2,n2=4,n3=6,n4=3 由 P(X=k)= 得 P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= = ,P(X=4)= =

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∴所求的分布列为 Y 51 P 数学期望为 E(Y)=51× +48×

48

45

42

+45× +42× =46

【点评】本题考查古典概率的计算,考查分布列与数学期望,考查学生的计算能力,属于中档题.

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