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2016-2017学年高中数学 第三章 三角恒等变形 3.2.1-3.2.2 两角差的余弦函数、两角和与差的正弦、余弦函数_图文

2 两角和与差的三角函数

2.1 两角差的余弦函数 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数

学习目标

思维脉络

1.理解用向量方法推导两角差的

余弦公式.

2.能利用两角差的余弦公式推导 两角和与差的正弦、余弦函数,并

熟记这些公式.

3.能利用两角和与差的正、余弦公

式求值、化简、证明.

4.能利用两角和与差的正、余弦公

式研究三角函数的性质.

一、两角差的余弦公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,简记为Cα-β.

做一做 1 cos(-15°)的值为( )

A.

6+ 2

2

B.

6+ 4

2

C.

62

2

D.

64

2

解析:cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos 30°·cos 45°+sin 30°·sin

45°= 6+ 2.
4
答案:B

做一做 2 求值:cos 79°cos 19°+sin 79°sin

19°=

.

解析:原式=cos(79°-19°)=cos 60°=1.
2
答案:12

二、两角和与差的正弦、余弦公式
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,简记为Cα+β; sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,简记为Sα+β; sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,简记为Sα-β.

做一做 3 若 cos α=-4,α 是第三象限的角,则 sin + π =( )

5

4

A.-

72 10

B.7102

C.-

2 10

D.102

解析:由 cos α=-4,且 α 是第三象限角,得 sin α=-3,

5

5

于是 sin + π =sin αcosπ+cos αsinπ=-7 2.

4

4

4 10

答案:A

做一做 4 sin 69°·cos 99°-cos 69°·sin 99°=

.

解析:原式=sin(69°-99°)=sin(-30°)=-1.
2
答案:-12

思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,
错误的画“×”.
(1)存在这样的α和β的值,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β. ( )
(2)不存在无穷多个α和β的值,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β. ( )
(3)对于任意的α和β,有cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.
() (4)不存在这样的α和β的值,使得sin(α-β)≠sin αcos β-cos
αsin β. ( ) (5)存在这样的α和β的值,使sin(α+β)=sin αcos β-cos αsin
β. ( )

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

探究一给角化简求值问题

【例 1】 化简或求值:

(1)sin 43°cos 13°-sin 13°sin 47°;

(2)cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α);

(3)cos

π +
4

-cos

π 4

-

;

(4)sin47

°-sin17 cos17

°cos30 °

°
.

思路分析:(1)式子中出现了三个角,但注意到 43°与 47°可以用诱

导公式转换,从而可以选择公式求值.(2)式子中出现的角是“整体”的

形式,要把“α-35°”看作角“α”,把“25°+α”看作角“β”,再逆用两角差

的余弦公式.(3)直接利用两角和与差的余弦公式展开即可化简.(4)

将 sin 47°改写为 sin(17°+30°)再用公式展开化简.

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

解:(1)方法一:sin 43°cos 13°-sin 13°sin 47°

=sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43° =sin(43°-13°)=sin 30°=12. 方法二:sin 43°cos 13°-sin 13°sin 47°

=cos 47°cos 13°-sin 13°sin 47°

=cos(47°+13°)=cos 60°=12.

(2)原式=cos(α-35°-25°-α)=cos(-60°)=cos 60°=12.

(3)原式=

cos

π 4

cos-sin

π 4

sin

?

cos π cos +
4

sin π sin =-2sinπsin φ=-2× 2sin φ=- 2sin φ.

4

4

2

(4)原式=sin

(30°+17°)-sin17 cos17 °

°cos30

°

=sin30

°cos17

°+cos30 °sin17 cos17 °

°-sin17

°cos30

°

=sin3c0o°s1c7os°17

°

=

1.
2

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

变式训练 1 (1)(2015 吉林通化高二期

末)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)cos(110°-x)的值为( )

A. 2

B.

2 2

C.12

D.

3 2

(2)化简:sin (-150°)+cos (-120°)= .
cos

解析:(1)原式

=sin(65°-x)sin[90°-(x-20°)]+cos(65°-x)·cos(110°-x)=sin(65°-

x)·sin(110°-x)+cos(65°-x)cos(110°-x)=cos(110°-x-65°+x)=cos

45°= 2,故选 B.
2

(2)原式=sin

cos150

°-cos



sin150

°+cos cos



cos120

°+sin

sin120

°

-
=

23sin



-12cos -12cos cos



+

23sin



=-ccooss=-1.

答案:(1)B (2)-1

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

探究二给值求值问题

【例 2】

(1)已知 cos α=17,α∈

0,

π 2

,求 cos

-

π 3

和 sin

+ π
4

的值.

(2)已知 α,β 为锐角,且 sin α=473,cos(α+β)=-1114,求 cos β 的值.

思路分析:(1)由 cos α=17,α∈

0,

π 2

利用平方关系求得 sin α 的值,然后

利用两角差的余弦公式和两角和的正弦公式,即可求得 cos

-

π 3



sin

+ π
4

的值.

(2)若将 cos(α+β)展开,再利用平方关系求 cos β,运算量大,而利用角

的变换 β=(α+β)-α,两边取余弦即可.

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

解:(1)因为 α∈

0,

π 2

,且 cos α=17,

所以 sin α= 1-cos2 = 1- 1 2 = 4 3,

7

7

故 cos - π =cos αcosπ+sin αsinπ = 1 × 1 + 4 3 × 3 = 13.sin +

3

3

3 72 7

2 14

π 4

=sin

αcosπ4+cos

αsinπ4

=

43 7

×

2+1×
27

2=4
2

6+ 14

2.

(2)∵α 为锐角,且 sin α=4 3,∴cos α= 1-sin2 = 1- 4 3 2 = 1.

7

7

7

又 α,β 为锐角,cos(α+β)=-1114,∴π2<α+β<π,sin(α+β)= 1-cos2( + ) =

1- - 11 2 = 5 3.

14

14

∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α

=

-

11 14

×

1 7

+

53 14

×

43 7

=

12.

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

变式训练 2 (1)已知 sin α=1123,cos β=45,且 α 是第二象限角,β 是第四 象限角,那么 sin(α-β)等于( )

A.3635 B.6635 C.-1665

D.-5665

(2)已知π<β<α<3π,cos(α-β)=12,sin(α+β)=-3,则 sin 2α=

.

2

4

13

5

解析:(1)∵α 是第二象限角,且 sin α=1123,

∴cos α=- 1- 114649=-153.
β 是第四象限角,cos β=4,
5

∴sin β=- 1- 16=-3,
25 5

sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=12 × 4 ? - 5 × - 3 = 48-15 = 33.

13 5

13

5

65

65

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

(2)∵π2<β<α<34π,

∴0<α-β<π,π<α+β<3π.

4

2

∴sin(α-β)=153,cos(α+β)=-45.

∴sin

2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)·cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=

-

3 5

×

12 +
13

-

4 5

× 153=-5665.

答案:(1)A (2)-5665

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

探究三给值求角问题

【例 3】 已知锐角 α,β 满足 sin α=255,cos β= 1100,求 α+β. 思路分析:因为 α,β 均为锐角,所以 α+β∈(0,π),而余弦函数在(0,π)上

是减少的,因此先求 α+β 的余弦值,进而求出 α+β 的值.

解:∵α,β 为锐角,且 sin α=255,cos β= 1100,

∴cos α= 1-sin2 =

1-

4 5

=

55,

sin β= 1-cos2 = 1- 1 = 3 10.
10 10

∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β

=

5 5

×

10 10

?

25 5

×

31010=-

22.

∵0<α<π,0<β<π,∴0<α+β<π.∴α+β=3π.

2

2

4

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

变式训练 3 已知 α,β 均为锐角,sin α= 5,cos β= 10,求 α-β 的值.

5

10

解:∵α,β 均为锐角,sin α= 55,cos β= 1100,

∴sin β=31010,cos α=255.

∵sin α<sin β,∴α<β,

∴-π<α-β<0,
2

∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β

=∴5α5-×β=1-1π040.

?

25 5

×

31010=-

22.

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

探究四辅助角公式的应用

【例 4】 (2015 北京高考题改编)已知函数 f(x)= 22sin x+ 22cos x+3. (1)求 f(x)的最小正周期;

(2)求 f(x)在区间[-π,0]上的最小值.

思路分析:利用辅助角公式将 f(x)转化为正弦型函数再研究周期和

最值.

解:(1)因为 f(x)= 22sin x+ 22cos x+3=sin

+ π
4

+3,所以 f(x)的最小正

周期为 2π;

(2)因为-π≤x≤0,所以-34π≤x+π4 ≤ π4.

当 x+π4=-π2,即 x=-34π时,f(x)取得最小值.

所以 f(x)在区间[-π,0]上的最小值为 f

-

3π 4

=-1+3=2.

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

变式训练 4 (1)(2016 河南信阳高三模拟)已知 sin π + = 1,则 cos

6

4

α+ 3sin α 的值为( )

A.-

1 4

B.12

C.2 D.-1

(2)函数 f(x)=sin x-cos

+ π
6

的值域为(

)

A.[-2,2] B.[- 3, 3]

C.[-1,1] D. - 3 , 3

22

解析:(1)由 cos α+

3sin α=2

1 cos +
2

3 sin
2

=2cos

π 3

-

=2sin

π 2

-

π 3

-

=2sin

π +
6

=2×14 = 12.

(2)因为 f(x)=sin x- 3cos x+1sin x= 3 3 sin- 1 cos = 3sin - π ,

2

2

2

2

6

所以函数 f(x)的值域为[- 3, 3].

答案:(1)B (2)B

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

忽略三角形内角范围而致误

典例在△ABC 中,sin A=3,cos B= 5 ,求 cos C.

5

13

错解:∵sin A=35,且 0<A<π,∴cos A=±45.

∵cos B=153,且 0<B<π,∴sin B=1123.

又 cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B,∴cos

C=16或 cos C=56.

65

65

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

正解:∵cos B= 5 < 2,∴B∈ π , π ,且 sin B=12.

13 2

42

13

∵sin A=35 <

22,∴A∈

0,

π 4



3π 4



.

若 A∈

3π 4



,B∈

π 4

,

π 2

,

则 A+B∈ π, 3π ,与 A+B+C=π 矛盾,

2

∴A?

3π 4



,故 A∈

0,

π 4

,且 cos A=45.

∴cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)

=-cos

Acos

B+sin

Asin

B=-45

×

5 13

+

3 5

×

12 13

=

16 65

.

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析

123456

1.cos 45°cos 15°+sin 15°sin 45°的值为( )

A.

2 2

B.

3 2

C.-12

D.-

2 2

解析:原式=cos(45°-15°)=cos 30°= 23.

答案:B

123456
2.在△ABC中,若sin A·sin B<cos A·cos B,则△ABC一定为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 解析:由已知得cos A·cos B-sin A·sin B>0,
即cos(A+B)>0,∴A+B为锐角,则C为钝角.
答案:D

123456

3.y=sin

3 + π
3

cos

-

π 6

-cos

3 + π
3

·cos

+ π
3

的图像的一条对

称轴方程是( )

AC..xx==-1π2π

B.x=π6 D.x=-

π

12

24

解析:对函数进行化简可得 y=sin

3 + π
3

·cos

-

π 6

-cos

3 +

π cos + π - π

3

26

=sin

3 + π
3

cos

-

π 6

+cos

3 + π
3

·sin

-

π 6

=sin

3 + π +
3

- π =sin 4 + π ,

6

6

则 当由k=40x时+π6,=x=kππ+.故π2,k选∈ZA,.得 x=4π + 1π2,k∈Z.
12

答案:A

123456

4.cos55

°+sin45 °sin10 sin80 °

°的值为

.

解析:原式=cos

(45°+10°)+sin45 cos10 °

°sin10

°

=cos45

°cos10

°-sin45 °sin10 cos10 °

°+sin45

°sin10

°

=cos4c5o°s1c0o°s10 ° = 22.

答案:

2 2

123456
5.求值或化简下列各式: (1)cos 15°cos 105°-cos 15°sin 15°; (2)sin(α-30°)+sin(α+30°); (3)sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α. 解:(1)原式=-cos 15°cos 75°-sin 75°sin 15° =-(cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°) =-cos(75°-15°)=-cos 60°=-1.
2
(2)原式=sin αcos 30°-cos αsin 30°+sin αcos 30°+cos αsin 30°=2sin αcos 30°= 3sin α. (3)原式=sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sin α =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-2cos(α+β)sin α =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =sin[(α+β)-α]=sin β.


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