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福建省南安第一中学2016-2017学年高一上学期第二阶段考试数学试题 含答案

南安一中 2016~2017 学年度上学期第二次阶段考 高一数学科试卷 命题者:苏浩洋 2016.11.18

本试卷考试内容为:数学必修①.共 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求) : 1. 若 U=R,集合 A={ x | ?3 ? 2 x ? 1 ? 3 },集合 B 为函数 y ? lg( x 2 ? 1) 的定义域,则图中阴影 部分对应的集合为( A. (?1,1) ) C. ?1,2? D. ?1,2? )

B. [ ?1,1]

? x 2 ? 1, x ? 1 2. 设函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? f ?10?? 的值为( ?lg x, x ? 1
A. lg101 B.1 C.2

D.0 ) D. a ? ?

3. 已知函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在区间(-1,1)上存在零点,则( A. a ? 1或a ?

1 5
2

B. a ?

1 5

C. a ? ? 或a ? 1 )

1 5

1 5

4. 若函数 g ?x ? 2? ? 2 x ? 3x ,则 g(3)的值是( A.35 B.9
0.1

C. ? 1
1.3

D. ? 13 )

5. 已知 a=2log20.3,b=2 ,c=0.2 ,则 a,b,c 的大小关系是( A.c>b>a B.c>a>b ) B. f ( x) ? x( D. f ( x) ?
1 1 ? ) 2 ?1 2
x

C.a>b>c

D.b>c>a

6. 下列函数为偶函数的是( A. y ? x , x ? [0,1]
2

C. f ( x) ? ?

? x ? 1,( x ? 0) ? x ? 1.( x ? 0)

2x ?1 2x ?1

7. 函数 y ?

? x 2 ? 2 x 的单调增区间是(
C. )



A. ( ? ? ,1]B.

8. 计算: log2 9 ? log3 8 =(

第 -1- 页

A.12

B.10

C.8

D.6 )

9. 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 [ , 2] ,则 f (log 2 x) 的定义域为( A. [ 2 ,4] B. [ ?1,1] C. ? ,2? 2

1 2

?1 ? ? ?

D. [?1,2]

10. 某公司发布的 2015 年度财务报告显示,该公司在去年第一季度、第二季度的营业额每季 度均比上季度下跌 10%,第三季度、第四季度的营业额每季度均比上季度上涨 10%,则该 公司在去年整年的营业额变化情况是( A.下跌 1.99% B.上涨 1.99% ) ) D.不确定

C.不涨也不跌

11. 以下命题正确的是(

①幂函数的图象都经过(0,0) ②幂函数的图象不可能出现在第四象限 ③当 n=0 时,函数 y=x 的图象是两条射线 ④若 y=x (n<0)是奇函数,则 y=x 在定义域内为减函数. A.①② B.②④ C.②③ D.①③
n n n

12.定义在 R 上的函数 f ( x ) ,已知 y ? f ( x ? 2) 是奇函数,当 x ? 2 时, f ( x ) 单调递增,若

?且( ?? 0 且4 x1 ?x x ? 4? x1 ? 2 ? ?) x( x2 x? ?? x2 ?, 0, 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) 值( 2 12? 1 -2 2 -2)
A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.可正可负 第 II 卷(非选择题,共 90 分)

) D.可能为 0

二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案写在答题卡上 ) : .......... 13. 函数 f ( x) ?

3? x ? log 3 ( x ? 2) 的定义域是 x ?1
2

x 14. 已知 f ( x) 为 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 3 ,那么 f (log 1 4) 的值为

?1? ?1? 15. 关于 x 的不等式 ? ? ? ? ? ? 2? ? 2?

x

x ?1

? 1 的解集是

16. 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和 (或差) ”.设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, F ( x) ?
f ( x) ? f ( ? x) f ( x) ? f ( ? x) , G ( x) ? , 2 2
x

试判断 F ( x) 与 G( x) 的奇偶性. 现欲将函数 f ( x) ? ln(e ? 1) 表示成一个奇函数 g ( x) 和一

第 -2- 页

个偶函数 h( x) 之和,则 g ( x) = 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.): 17. (本小题满分 10 分) (1)已知 5 ? 3 , 5 ? 4 ,求 a,b.并用 a,b 表示 log25 12 ;
a b

1

(2)若 x 2 ? x

?

1 2

? 5 ,求

x 的值. x ?1
2

18. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? ?x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1? , B ? ?x | 0 ? x ? 1?, (1)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分)
x R? , 都有 f ( ) ? f ( x )? f ( y ), 且 x ? 1 时 , f ( x) ? 0 , 又 设 f ( x) 的定义域为 R ? , 对任意 x, y ? R y
?

1 f ( ) ? 1 .① 求 证 : f ( x) 为 R ? 上 减 函 数 ;② 求 f (1) 、 f (2) ; ③ 解 不 等 式 2

f ( x) ? f (5 ? x) ? ?2 .
20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 4 | x | ?3 ,
2

(1)试证明函数 f ( x) 是偶函数; (2)画出 f ( x) 的图象; (要求先用铅笔画出草图, 再用黑色签字笔描摹,否则不给分) (3)请根据图象指出函数 f ( x) 的单调递增区间与单调递减区间; (不必证明) (4)当实数 k 取不同的值时,讨论关于 x 的方程 x ? 4 | x | ?3 ? k 的实根的个数; (不必
2

求出方程的解) (3 分) 21. (本小题满分 12 分)

第 -3- 页

某公司生产一种产品,每年需投入固定成本 25 万元,此外每生产 1 件这样的产品,还需 增加投入 0.5 万元,经市场调查知这种产品年需求量为 500 件,产品销售数量为 t 件时, 销售所得的收入为 ? 5t ?

? ?

1 2? t ? 万元. 200 ?

(1)该公司这种产品的年生产量为 x 件,生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产 量 x 的函数为 f(x) ,求 f(x) ; (2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大? 22. (本小题满分 12 分) 设 m 是实数, f ( x ) ? m ?

2 ( x ? R) , 2 ?1
x

(1)若函数 f ( x) 为奇函数,求 m 的值; (2)试用定义证明:对于任意 m , f ( x) 在 R 上为单调递增函数; (3)若函数 f ( x) 为奇函数,且不等式 f (k ? 3x ) ? f (3x ? 9x ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立, 求实数 k 的取值范围.

南安一中 2016~2017 学年度上学期第二次阶段考 第 -4- 页

高一数学科试卷(答案) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求) : 1~6 B C C C D B 7~12 B D A A C A

二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案写在答题卡上 ) : .......... 13. (?2, ?1) ? (?1,3] 14.9 15. ?x | x ? ?1? 16.

x 2

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.): 17. (本小题满分 10 分) 解: (1) a ? log5 3 , b ? log5 4 , log 25 12 ?
1

a?b 2

(2)因为 x 2 ? x 所以 x ? x
?1

?

1 2

? 5 ,所以 x ? x ?1 ? 2 ? 25,

? 23 ,由题意知 x≠0,所以

x 1 1 ? ? x ? 1 x ? 1 23 x
2

18. (本小题满分 12 分)

?a ? 1 ? 0 ? 解: (1)若 B ? A ,则 ?2a ? 1 ? 1 ,解得 0≤a≤1; ?a ? 1 ? 2 a ? 1 ?
(2)①当 A= ? 时,有 a ? 1 ? 2a ? 1 ? a ? ?2 ; ②当 A ? ? 时,有 a ? 1 ? 2a ? 1 ? a ? ?2 又∵ A ? B ? ? ,则有 2a ? 1 ? 0 或 a ? 1 ? 1 ,解得: a ? ?

1 或a ? 2 2

1 或a ? 2 2 1 综上可知: a ? ? 或 a ? 2 . 2
∴?2 ? a ? ? 19. (本小题满分 12 分) 解:①证明:任取 0 ? x1 ? x2 ,则

x2 ? 1 ,由条件知: f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? x1
?

? x2 ? f? ?x ? ??0 ? 1?

∴ f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,∴ f ( x) 为 R 上减函数 ②取 x ? y ? 1 ,则 f (1) =0;

第 -5- 页

取 x ? 2, y ? 1,则 f (2) ? ?1 ; ③取 x ? 4, y ? 2 ,则 f (4) ? ?2 ; ∴不等式 f ( x) ? f (5? x )? ?2 可化为 f ( x) ? f (4) ? f (5 ? x) ? f ( 函数

4 ) 又 f ( x) 为 R ? 上减 5? x

? ?x ? 0 ? ∴ ?5 ? x ? 0 解得: x ? (0,1] ? [4,5) ? 4 ?x ? 5? x ?
20. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) 的定义域为 R ,且

f (? x) ? (? x)2 ? 4 | ? x | ?3
? x2 ? 4 | x | ?3 ? f ( x)
故 f ( x) 为偶函数; (2)如图 (3)递增区间有: ?? 2,0?, ?2,??? 递减区间有: (??,?2), (0,2) (4)根据图象可知, ①当 k ? ?1 时,方程无实数根; ②当 k ? ?1 或 k ? 3 时,方程有两个实数根; ③当 k ? 3 时,方程有三个实数根; ④当 ?1 ? k ? 3 时,方程有四个实数根;

21. (本小题满分 12 分) 解: (1)当 0<x≤500 时, f ( x) ? 5 x ?

1 2 x x ? ? 25 . 200 2 1 x ? 500 2 ? ? 25 , 当 x>500 时, f ( x) ? 5 ? 500 ? 200 2

第 -6- 页

? 1 2 9 ? x ? x ? 25,0 ? x ? 500 ? ? 200 2 ; 故 f ( x) ? ? ?? 1 x ? 1225 , x ? 500 ? ? 2
(2)当 0<x≤500 时, f ( x) ? ?

1 ( x ? 450 ) 2 ? 987 .5 200

故当 x=450 时, f ( x)max ? 987.5 ; 当 x>500 时, f ( x) ? ?

1 ? 500 ? 1225 ? 975 , 2

故当该公司的年产量为 450 件时,当年获得的利润最大. 22. (本小题满分 12 分) 解:(1)∵ f (? x) ? m ? ∴ 2m ?

2 2 ? 2x ? m ? ,且 f (? x) ? f ( x) ? 0 2? x ? 1 1 ? 2x

2(1 ? 2 x ) ? 0 (注:通过 f (0) ? 0 求也同样给分)∴ m ? 1 1 ? 2x

(2)证明:设 x1, x2 ? R, x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (m ?

2 2 ) ? (m ? x2 ) 2 ?1 2 ?1
x1

?

2 2 2(2 x1 ? 2 x2 ) x x ? ∵ x1, x2 ? R, x1 ? x2 ∴ (2 1 ? 2 2 ) ? 0 ? x2 x1 x1 x2 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1)
所以 f ( x) 在 R 上为增函数.

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

(3)因为 f ( x) 为奇函数且在 R 上为增函数, 由 f (k ? 3x ) ? f (3x ? 9x ? 2) ? 0 得: f (k ? 3x ) ? ? f (3x ? 9x ? 2) ? f (?3x ? 9x ? 2) ∴ k ? 3 ? ?3 ? 9 ? 2 即 32 x ? (1 ? k )3x ? 2 ? 0 对任意 x ? R 恒成立.
x x x

x 2 令 t ? 3 (t ? 0) 问题等价于 t ? (1 ? k )t ? 2 ? 0 对任意 t ? 0 恒成立.

2 令 f (t ) ? t ? (1 ? k )t ? 2 ,其对称轴 x ?

k ?1 2



k ?1 ? 0 即 k ? ?1 时, f (0) ? 2 ? 0 ,符合题意. 2 k ?1 2 ? 0 时, 即 k ? ?1 时, 对任意 t ? 0 , f (t ) ? 0 恒成立, 等价于 ? ? (1 ? k ) ? 8 ? 0 2



解得: ? 1 ? k ? ?1 ? 2 2
x x x 综上所述,当 k ? ?1 ? 2 2 时,不等式 f (k ? 3 ) ? f (3 ? 9 ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成

立. 第 -7- 页


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