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邹城市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

邹城市二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题 姓名__________ 分数__________

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点 B 和左焦点 F ,且被圆 a2 b2 4 5 ,则椭圆离心率 e 的取值范围是( ) x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为 L ,若 L ? 5 ? 2 5? ? ? 3 5? ? 4 5? 5? (A) ? 0, ? ( B ) ? 0, (C) ? 0, (D) ? 0, ? ? ? ? 5 ? ? ? 5 ? 5 ? 5 ? ? ? ? ? ?
1. 已知直线 l : y ? kx ? 2 过椭圆 2. 袋中装有红、 黄、 蓝三种颜色的球各 2 个, 无放回的从中任取 3 个球, 则恰有两个球同色的概率为 ( A. B. C. ) D. )

3. 特称命题“? x∈R,使 x2+1<0”的否定可以写成( A.若 x? R,则 x2+1≥0
2 2

B.? x? R,x2+1≥0 )

C.? x∈R,x2+1<0 D.? x∈R,x2+1≥0 4. 已知圆 C:x +y ﹣2x=1,直线 l:y=k(x﹣1)+1,则 l 与 C 的位置关系是( A.一定相离 B.一定相切 C.相交且一定不过圆心 D.相交且可能过圆心 5. 设函数 y=x3 与 y=( )x 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 6. 全称命题:?x∈R,x2>0 的否定是( A.?x∈R,x ≤0
2



) C.?x∈R,x2<0 ) D.?x∈R,x2≤0

B.?x∈R,x >0

2

7. 函数 f(x)=eln|x|+ 的大致图象为(

A.

B.

C.

D.

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8. 已知 a>0,实数 x,y 满足: A.2 B.1 C. D.

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=(



9. 圆锥的高扩大到原来的 倍,底面半径缩短到原来的 A.缩小到原来的一半 C.不变 10.方程 x= A.双曲线 C.双曲线的一部分 所表示的曲线是( B.椭圆 D.椭圆的一部分

1 ,则圆锥的体积( 2
1 6



B.扩大到原来的倍 D.缩小到原来的 )

11.三个数 a=0.52,b=log20.5,c=20.5 之间的大小关系是( A.b<a<c B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a

) )

12.已知△ ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,﹣4),C (0,4),则顶点 A 的轨迹方程是( A. C. (x≠0) (x≠0) B. D. (x≠0) (x≠0)

二、填空题
13.已知关于的不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 (1, 2) ,则关于的不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集
2 2

为___________. 14.运行如图所示的程序框图后,输出的结果是

15.若直线 y﹣kx﹣1=0(k∈R)与椭圆

恒有公共点,则 m 的取值范围是



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16.甲、乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球,现从两个箱子中随机各取一个球,则至少有一 个红球的概率为
3

. .

17.在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为 ①函数 y=2x +3x﹣1 的图象关于点(0,1)成中心对称; ②对?x,y∈R.若 x+y≠0,则 x≠1 或 y≠﹣1; ③若实数 x,y 满足 x2+y2=1,则 的最大值为 ;

④若△ ABC 为锐角三角形,则 sinA<cosB. ⑤在△ ABC 中,BC=5,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心,且 18.已知(1+x+x2)(x
n +

?

=5,则△ ABC 的形状是直角三角形. .

) (n∈N )的展开式中没有常数项,且 2≤n≤8,则 n=

三、解答题
19.已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数). (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值.

20.已知数列{an}的首项为 1,前 n 项和 Sn 满足 (Ⅰ)求 Sn 与数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=

=

+1(n≥2).

* (n∈N ),求使不等式 b1+b2+…+bn>

成立的最小正整数 n.

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21.某商场销售某种品牌的空调器,每周周初购进一定数量的空调器,商场每销售一台空调器可获利 500 元, 若供大于求,则每台多余的空调器需交保管费 100 元;若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时每台空调 器仅获利润 200 元. (Ⅰ)若该商场周初购进 20 台空调器,求当周的利润(单位:元)关于当周需求量 n(单位:台,n∈N)的 函数解析式 f(n); (Ⅱ)该商场记录了去年夏天(共 10 周)空调器需求量 n(单位:台),整理得表: 18 19 20 21 22 周需求量 n 频数 1 2 3 3 1 X 表示当周的利润 以 10 周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 若商场周初购进 20 台空调器, (单 位:元),求 X 的分布列及数学期望.

22.(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程.

? ?x=1+3cos α 在直角坐标系中,曲线 C1:? (α 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 ?y=2+3sin α ?
标系,C2 的极坐标方程为 ρ= . π sin(θ+ ) 4 2

(1)求 C1,C2 的普通方程; 3π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),设 C3 与 C1 交于点 M,N,P 是 C2 上一点,求△PMN 的面 4 积.

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23.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

2 ,且 a =2b.

(1)求椭圆的方程;
2 2 (2)直线 l:x﹣y+m=0 与椭圆交于 A,B 两点,是否存在实数 m,使线段 AB 的中点在圆 x +y =5 上,若存

在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

24.若{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)均在函数 y= (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求:使得

的图象上.

对所有 n∈N 都成立的最大正整数 m.

*

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邹城市二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 B

【解析】依题意, b ? 2, kc ? 2.
4 5 16 , 解得 d 2 ? 5 5 。 1 1 16 1 又因为 d ? ,所以 ? , 解得 k 2 ? 。 2 2 1? k 5 4 1? k

设圆心到直线 l 的距离为 d ,则 L ? 2 4 ? d 2 ?

2 5 4 c2 c2 1 . 故选 B. 0 ? e2 ? , 解得 0 ? e ? ? ? 2 2 2 2 ,所以 5 5 a b ? c 1? k 2. 【答案】B
2 于是 e ?

3 【解析】解:从红、黄、蓝三种颜色的球各 2 个,无放回的从中任取 3 个球,共有 C6 =20 种, 1 1 其中恰有两个球同色 C3 C4 =12 种,

故恰有两个球同色的概率为 P= 故选:B.

= ,

【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题,关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数,属于基 础题. 3. 【答案】D
2 【解析】解:∵命题“?x∈R,使 x +1<0”是特称命题 2 ∴否定命题为:?x∈R,都有 x +1≥0.

故选 D. 4. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆 C 方程化为标准方程,找出圆心 C 坐标与半径 r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的 距离 d,与 r 比较大小即可得到结果. 2 2 【解答】解:圆 C 方程化为标准方程得:(x﹣1) +y =2, ∴圆心 C(1,0),半径 r= , ∵ ≥ >1, ∴圆心到直线 l 的距离 d= < =r,且圆心(1,0)不在直线 l 上,

∴直线 l 与圆相交且一定不过圆心. 故选 C

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5. 【答案】A 【解析】解:令 f(x)=x ﹣
2 ∵f′(x)=3x ﹣ 3 ∴f(x)=x ﹣ 3

, ln2>0,

ln =3x2+ 在 R 上单调递增;

又 f(1)=1﹣ = >0, f(0)=0﹣1=﹣1<0,
3 ∴f(x)=x ﹣

的零点在(0,1),

3 x ∵函数 y=x 与 y=( ) 的图象的交点为(x0,y0),

∴x0 所在的区间是(0,1). 故答案为:A. 6. 【答案】D
2 【解析】解:命题:?x∈R,x >0 的否定是: 2 ?x∈R,x ≤0.

故选 D. 【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<”了.这里就有注意 量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”.特称命题的否定是全称命题,“存在”对应“任 意”. 7. 【答案】C 【解析】解:∵f(x)=e ∴f(﹣x)=e
ln|x| ln|x|

+



f(﹣x)与 f(x)即不恒等,也不恒反, 故函数 f(x)为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,也不关于 y 轴对称, 可排除 A,D, 当 x→0 时,y→+∞,故排除 B 故选:C. 8. 【答案】 C
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+

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【解析】解:作出不等式对应的平面区域,(阴影部分) 由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 C 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最小,此时 z 最小. 即 2x+y=1, 由 即 C(1,﹣1), ∵点 C 也在直线 y=a(x﹣3)上, ∴﹣1=﹣2a, 解得 a= . ,解得 ,

故选:C.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 9. 【答案】A 【解析】

1 2 ? r h ,将圆锥的高扩大到原来 3 1 1 1 1 2 V 2 的倍,底面半径缩短到原来的 ,则体积为 V2 ? ? (2r ) ? h ? ? r h ,所以 1 ? 2 ,故选 A. 2 3 2 6 V2
试题分析:由题意得,设原圆锥的高为,底面半径为,则圆锥的体积为 V1 ? 考点:圆锥的体积公式.1 10.【答案】C 【解析】解:x= 故选 C. 【点评】本题主要考查了曲线与方程.解题的过程中注意 x 的范围,注意数形结合的思想.
2 2 两边平方,可变为 3y ﹣x =1(x≥0),

表示的曲线为双曲线的一部分;

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11.【答案】A 【解析】解:∵a=0.52=0.25, b=log20.5<log21=0, c=20.5>20=1, ∴b<a<c. 故选:A. 【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数、对数函数的单调性的 合理运用. 12.【答案】B 【解析】解:∵△ABC 的周长为 20,顶点 B (0,﹣4),C (0,4), ∴BC=8,AB+AC=20﹣8=12, ∵12>8 ∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值, ∴点 A 的轨迹是椭圆, ∵a=6,c=4
2 ∴b =20,

∴椭圆的方程是 故选 B. 【点评】本题考查椭圆的定义,注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小,看能不能构成椭圆,本题是一个易 错题,容易忽略掉不合题意的点.

二、填空题
13.【答案】 (?? , ) ? (1,?? ) 【 解 析 】

1 2

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考 点:一元二次不等式的解法. 14.【答案】 0 【解析】解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出 S=sin 由于 sin 所以 S=sin 周期为 8, +sin +…+sin =0. +sin +…+sin 的值,

故答案为:0. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用,属于基本 知识的考查. 15.【答案】 [1,5)∪(5,+∞) . 【解析】解:整理直线方程得 y﹣1=kx, ∴直线恒过(0,1)点,因此只需要让点(0.1)在椭圆内或者椭圆上即可, 由于该点在 y 轴上,而该椭圆关于原点对称, 故只需要令 x=0 有 5y2=5m 2 得到 y =m 要让点(0.1)在椭圆内或者椭圆上,则 y≥1 即是 y2≥1 得到 m≥1 ∵椭圆方程中,m≠5 m 的范围是[1,5)∪(5,+∞) 故答案为[1,5)∪(5,+∞) 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.本题采用了数形结合的方法,解决问题较为直观.

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16.【答案】 【

8 9
解 析 】

【易错点睛】古典概型的两种破题方法:(1)树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较 复杂问题中基本事件数的探求.另外在确定基本事件时, ( x, y ) 可以看成是有序的,如 ?1, 2 ? 与 ? 2,1? 不同;有 时也可以看成是无序的,如 (1,2)(2,1) 相同.(2)含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比 较困难或者比较繁琐时,考虑其反面,即对立事件,应用 P( A) ? 1 ? P( A) 求解较好. 17.【答案】 :①②③
3 【解析】解:对于①函数 y=2x ﹣3x+1=的图象关于点(0,1)成中心对称,假设点(x0,y0)在函数图象上,

则其关于①点(0,1)的对称点为(﹣x0,2﹣y0)也满足函数的解析式,则①正确; 对于②对?x,y∈R,若 x+y≠0,对应的是直线 y=﹣x 以外的点,则 x≠1,或 y≠﹣1,②正确;
2 2 对于③若实数 x,y 满足 x +y =1,则

=

2 2 ,可以看作是圆 x +y =1 上的点与点(﹣2,0)连线

的斜率,其最大值为

,③正确;

对于④若△ ABC 为锐角三角形,则 A,B,π﹣A﹣B 都是锐角, 即 π﹣A﹣B< 则 cosB<cos( ,即 A+B> ﹣A), ,B> ﹣A,

即 cosB<sinA,故④不正确. 对于⑤在△ ABC 中,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心, 取 BC 的中点为 D,连接 AD、OD、GD,如图:则 OD⊥BC,GD= AD, ∵ 由 则 , = |,

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即 则 又 BC=5 则有 由余弦定理可得 cosC<0, 即有 C 为钝角. 则三角形 ABC 为钝角三角形;⑤不正确. 故答案为:①②③ 18.【答案】 5 .

【解析】二项式定理. 【专题】计算题. 【分析】要想使已知展开式中没有常数项,需(x 用(x ) (n∈N )的通项公式讨论即可. ) (n∈N )的展开式的通项为 Tr+1,则 Tr+1=
n + n + n + 1 2 ) (n∈N )的展开式中无常数项、x﹣ 项、x﹣ 项,利

【解答】解:设(x

xn﹣rx﹣3r=

xn﹣4r,2≤n≤8,

当 n=2 时,若 r=0,(1+x+x )(x 当 n=3 时,若 r=1,(1+x+x )(x 当 n=4 时,若 r=1,(1+x+x )(x
2 2

2

) (n∈N )的展开式中有常数项,故 n≠2; ) (n∈N )的展开式中有常数项,故 n≠3; ) (n∈N )的展开式中有常数项,故 n≠4; ) (n∈N )的展开式中均没有常数项,故 n=5 适合
n + n + n +

n

+

2 当 n=5 时,r=0、1、2、3、4、5 时,(1+x+x )(x

题意; 当 n=6 时,若 r=1,(1+x+x )(x 当 n=7 时,若 r=2,(1+x+x )(x 当 n=8 时,若 r=2,(1+x+x )(x 综上所述,n=5 时,满足题意.
2 2 2

) (n∈N )的展开式中有常数项,故 n≠6; ) (n∈N )的展开式中有常数项,故 n≠7; ) (n∈N )的展开式中有常数项,故 n≠2;
n + n +

n

+

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故答案为:5. 【点评】本题考查二项式定理,考查二项展开式的通项公式,突出考查分类讨论思想的应用,属于难题.

三、解答题
19.【答案】
x 【解析】解:(1)∵f(x)=e ﹣ax﹣1(a>0), x ∴f'(x)=e ﹣a, x 由 f'(x)=e ﹣a=0 得 x=lna,

由 f'(x)>0 得,x>lna,此时函数单调递增, 由 f'(x)<0 得,x<lna,此时函数单调递减, 即 f(x)在 x=lna 处取得极小值且为最小值, 最小值为 f(lna)=e ﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1. (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立, 等价为 f(x)min≥0, 由(1)知,f(x)min=a﹣alna﹣1, 设 g(a)=a﹣alna﹣1, 则 g'(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna, 由 g'(a)=0 得 a=1, 由 g'(x)>0 得,0<x<1,此时函数单调递增, 由 g'(x)<0 得,x>1,此时函数单调递减, ∴g(a)在 a=1 处取得最大值,即 g(1)=0, 因此 g(a)≥0 的解为 a=1, ∴a=1. 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)因为 所以 则 =1+(n﹣1)1=n,… = +1(n≥2),
lna

是首项为 1,公差为 1 的等差数列,…

2 从而 Sn=n .…

当 n=1 时,a1=S1=1,
2 2 当 n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n ﹣(n﹣1) =2n﹣1.

因为 a1=1 也符合上式, 所以 an=2n﹣1.…

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn= 所以 b1+b2+…+bn= = 由 = ,…

=

=

,…

,解得 n>12.…

所以使不等式成立的最小正整数为 13.… 【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想 21.【答案】 【解析】解:(I)当 n≥20 时,f(n)=500×20+200×(n﹣20)=200n+6000, 当 n≤19 时,f(n)=500×n﹣100×(20﹣n)=600n﹣2000, ∴ .

( II)由(1)得 f(18)=8800,f(19)=9400,f(20)=10000,f(21)=10200,f(22)=10400, ∴P(X=8800)=0.1,P(X=9400)=0.2,P(X=10000)=0.3,P(X=10200)=0.3,P(X=10400)=0.1, X 的分布列为 X 8800 9400 10000 10200 P 0.1 0.2 0.3 0.3 ∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860. 22.【答案】 10400 0.1

? ?x=1+3cos α 【解析】解:(1)由 C1:? (α 为参数) ?y=2+3sin α ?
得(x-1)2+(y-2)2=9(cos2α +sin2α )=9. 即 C1 的普通方程为(x-1)2+(y-2)2=9, 由 C2:ρ= 2 π sin(θ+ ) 4 得

ρ (sin θ +cos θ )=2, 即 x+y-2=0, 即 C2 的普通方程为 x+y-2=0. (2)由 C1:(x-1)2+(y-2)2=9 得 x2+y2-2x-4y-4=0, 其极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ -4ρsin θ -4=0,

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3π 将 θ= 代入上式得 4 ρ 2- 2ρ -4=0, ρ 1+ρ2= 2,ρ 1ρ 2=-4, ∴|MN|=|ρ1-ρ2|= (ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ 2=3 2. 3 C3:θ= π(ρ∈R)的直角坐标方程为 x+y=0, 4 2 ∴C2 与 C3 是两平行直线,其距离 d= = 2. 2 1 1 ∴△PMN 的面积为 S= |MN|×d= ×3 2× 2=3. 2 2 即△PMN 的面积为 3. 23.【答案】 【解析】解:(1)由题意得 e= 解得 a= ,b=c=1 =1; =
2 2 2 2 ,a =2b,a ﹣b =c ,

2 故椭圆的方程为 x +

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 线段 AB 的中点为 M(x0,y0). 联立直线 y=x+m 与椭圆的方程得,
2 2 即 3x +2mx+m ﹣2=0, 2 2 2 △=(2m) ﹣4×3×(m ﹣2)>0,即 m <3,

x1+x2=﹣ 所以 x0= 即 M(﹣ 可得(﹣

, =﹣ ,
)2+( 2

,y0=x0+m=



2 2 ).又因为 M 点在圆 x +y =5 上, 2 ) =5,

解得 m=±3 与 m <3 矛盾. 故实数 m 不存在. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用离心率公式,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点 坐标公式,考查存在性问题的解法,属于中档题. 24.【答案】

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2 【解析】解:(1)由题意知:Sn= n ﹣ n,

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2, 当 n=1 时,a1=1,适合上式, 则 an=3n﹣2; bn= (2) 根据题意得: ﹣ =1﹣ , = = ﹣ Tn=b1+b2+…+bn=1﹣ + ﹣ +…+ ,

* ∴{Tn}在 n∈N 上是增函数,∴(Tn)min=T1= ,

要使 Tn>

对所有 n∈N 都成立,只需

*

< ,即 m<15,

则最大的正整数 m 为 14.

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