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【全国百强校】黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题


哈尔滨市第六中学 2015 届高三第四次模拟考试 数学试卷(理工类)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
x 1. 已知全集 U ? R ,设集合 A ? {x | y ? lg( x ? 1)} ,集合 B ? y y ? 2 , x ? 1 , 则 A

?

?

(CU B) =(



A. ?1, 2?

B. ?1, 2 ?

C.

?1, 2?

D. ?1, 2?


2.已知复数 z ? 1 ? i ? i 2 ?

? i10 ,则复数 z 在复平面内对应的点为(

A. (1,1)
3. 若

B. (1, ?1)

C. (0,1)
3

D. (1, 0)
1

?
2

? ? ? ? ,且 P ? 3cos? , Q ? ? cos ? ? , R ? ? cos ? ? 3 ,则 P, Q, R 大小关系为(



A. R ? Q ? P
4.下列说法正确的是

B. Q ? R ? P

C. P ? Q ? R

D. R ? P ? Q
( )

A. 命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的否命题为真命题 B. “直线 x ? ay ? 0 与直线 x ? ay ? 0 互相垂直”的充分条件是“ a ? 1 ” C. 命题“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”
D. 命题:若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 的逆否命题为:若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1
1 5. 设 X 为随机变量,若 X ~ N (6, ) ,当 P( X ? a ? 2) ? P( X ? 5) 时, 2

开始

S ? 0, n ? 1

a 的值为(
A. 3



B. 5

C. 7

D. 9


S ?S?n n ? 2n


6. 执行如图所示的程序框图,若输出 S ? 15 ,则框图中①处可以填入(

A. n ? 4 ? C. n ? 16?

B. n ? 8? D. n ? 16?
① 是 输出 S
结束

7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于(

)

A. 12

B. 4

C.

56 3

D.

8 3 3


8.将函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象向右平移

A. y ? sin 4 x

B. y ? sin x

? 个单位,再纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,所得新图象的函数解析式是 ( 6 ? ? C. y ? sin(4 x ? ) D. y ? sin( x ? ) 6 6
1 1 ? 的最小值是( a b


9. 设 a ? 0, b ? 0, A(1, ?2), B(a, ?1), C(?b,0) ,若 A, B, C 三点共线,则

A. 3 ? 2 2

B. 4 2

C. 6

D.

9 2
)

10. 已知数列 ?an ? 为等比数列,且 a2013 ? a2015 ?

?

2

0

4 ? x 2 dx ,则 a2014 (a2012 ? 2a2014 ? a2016 ) 的值为(
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1

A. ?

B. 2?

C. ? 2

D. 4? 2

11.如图, F1 、 F2 是双曲线

x2 y2 A、 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 y 2 a b
A
)

B .若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

B

A.

4

B.

7

C.

2 3 3

D.

3

F1

F2 x

(2 x ) ? 2 f ( x) 成立; 12. 定义在 (1,?? ) 上的函数 f ( x) 满足下列两个条件: (1)对任意的 x ? (1,??) 恒有 f 11 (2)当 x ? ?1,2? 时, f ( x) ? 2 ? x .记函数 题图 g ( x) ? f ( x) ? k ( x ? 1) ,若函数 g ( x) 恰有两个零点,则实数 k 的取值范围是(


A. ?1,2?

B. ? ,2? ?3 ?

?4 ?

C . ? ,2 ?

?4 ?3

? ?

D. ? ,2 ? ?3 ?
第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分)

?4 ?

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答,第 22 题~24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4 ,体积为 16 ,则这个球的表面积为 14.已知 a, b 均为单位向量,且它们的夹角为 60°,当 | a ? ?b | (? ? R) 取最小值时, ? ?

?x ? y ?1 ? 0 ? 15.在平面直角坐标系中,实数 x, y 满足 ? x ? 1 ? 0 ,若 z ? ?2 x ? y ,则 z 的取值范围是 ?x ? y ?1 ? 0 ?

?? ? 2tx 2 ? 2t sin ? x ? ? ? x 4? ? (t ? 0) 的最大值为 a ,最小值为 b ,且 a ? b ? 2 ,则实数 t 的值为 16.若关于 x 的函数 f ? x ? ? 2 2 x ? cos x
三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 数列 {a n } 满足: a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N ?) (1)记 d n ? a n?1 ? a n ,求证数列 {d n } 是等比数列 (2)求数列 {a n } 的通项公式;

18.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为 2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3,某人用左手从甲袋中取球,用右手从乙袋中取球, (1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率; (2)若一次在同一袋中取出两球,如果两球颜色相同则称这次取球获得成功。某人第一次左手先取两球,第二次右手再取两球,记两次取球的获 得成功的次数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望.

B1
19. 如图,斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是直角三 射影恰好是 BC 的中点,且 BC ? CA ? 2 . (1)求证:平面 ACC1 A1 ? 平面 B1C1CB ;

A1 C1
角形, ?ACB ? 90 , 点 B1 在底面内的
?

B

A

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C



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2

(2)若二面角 B ? AB1 ? C1 的余弦值为 ?

5 , 7

求斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 AA1 的长度.

20. 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点为 A (0, 2 ) ,且离心率等于 于 P , Q 不同两点,点 N 在线段 PQ 上. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设 PM ? ?? PN , MQ ? ? NQ ,试求 ? 的取值范围. P

3 ,过点 M (0,2)的直线 l 与椭圆相交 2

y
M A

N

o
l
Q

x

21. 设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 。
2

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2 1 (Ⅱ)当 b ? 时,求函数 f ( x ) 的极值点 2 1 1 1 (Ⅲ)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( ? 1) ? 2 ? 3 都成立。 n n n
(Ⅰ)当 b ?

考生在题(22) (23) (24)中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分.做题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A,B 两点, 过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆 的割线,分别交⊙O1,⊙O2 于点 D,E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD∥EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长; D A O1 B O2 P C 22 题图 E

23.选修 4-4:极坐标与参数方程

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3

t ? x ? 1? , ? 2 ? (t 为参数) 已知曲线 C 的极坐标方程 是 ? =1,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? 。 ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ? (1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; ? x? ? 2 x, (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 得到曲线 C ? ,设曲线 C ? 上任一点为 M ( x, y ) ,求 x ? 2 3 y 的最小值。 ? y ? y ?

24.选修 4—5:不等式选讲 已知 a, b, x1 , x2 为正实数,且满足 a ? b ? 1 (1)求 a ?
2

b2 的最小值 4

(2)求证: (ax1 ? bx2 )(bx1 ? ax2 ) ? x1 x2

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4

哈尔滨市第六中学 2015 届高三第四次模拟考试理科数学答案:
理科数学答案:
1 C 2 C 3 A 4 B 5 D 6 C 7 B 8 D 9 A 10 C 11 B 12 D

13、 24?

14、

?

1 2

15、

??2,1?

16、1

17、 (1) dn ? 1? 2n?1 (2) an ? 2n?1 ? 1 18.解: (1)设事件 A 为“两手所取的球不同色” , 则 P( A) ? 1 ? (2)依题意, X 的可能取值为 0,1,2. 左手所取的两球颜色相同的概率为
2 2 C2 ? C32 ? C4 5 ? 2 C9 18

2 ? 3 ? 3? 3 ? 4 ? 3 2 ? 9?9 3

C32 ? C32 ? C32 1 右手所取的两球颜色相同的概率为 ? C92 4
5 ?? 1 ? 13 3 13 ? P( X ? 0) ? ?1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? 18 ?? 4 ? 18 4 24
P( X ? 1) ?
P ( X ? 2) ?

5 1 5 1 7 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 18 4 18 4 18
5 1 5 ? ? 18 4 72
X P 0 1 2

所以X的分布列为:

13 24

7 18

5 72

E( X ) ? 0 ?

13 7 5 19 ? 1? ? 2 ? ? 24 18 72 36

19. 解:(本小题满分 12 分) (1)取 BC 中点 M ,连接 B1M ,则 B1M ? 面 ABC ,

?面BB1C1C ? 面ABC BC ? 面BB1C1C ? 面ABC , AC ? BC ? AC ? 面BB1C1C AC ? 面ACC1 A1 ?面ACC1 A1 ? 面BCC1B1
(2)以 CA 为 ox 轴, CB 为 oy 轴,过点 C 与面 ABC 垂直方向为 oz 轴,建立空间直角坐标系??5 分

AC ? BC ? 2 ,设 B1M ? t 则 A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,1, t ), C(0, ?1, t )
即 AB1 =(? 2,1, t ), AB ? (?2,2,0), B1C1 ? (0, ?2,0) 设面 AB1B 法向量 n1 ? ( x, y, z) ? n1 ? (1,1, ) ;面 AB1C1 法向量 n2 ? ( x, y, z ) ? n2 ? ( ,0,1)

1 t

t 2

5 cos n1 , n2 ? ? ?t ? 3 7

? BB1 ? 2
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

20 、解: (Ⅰ)设椭圆的标准方程为

2 因为它的一个顶点为 A (0, 2 ) ,所以 b ? 2 ,由离心率等于

x2 y2 a 2 ? b2 3 3 2 ? ?1 a ? 8 ,得 ,解得 ,所以椭圆的标准方程为 ? 8 2 2 2 a2

(Ⅱ)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , N ( x0 , y0 ) ,若直线 l 与 y 轴重合,则

| PM | | MQ | 2 ? 2 2? 2 ,得 y0 ? 1 ,得 ? ? 2 ; ? ? ? | PN | | NQ | 2 ? y0 2 ? y0
16k ①, 1 ? 4k 2

2 2 若直线 l 与 y 轴不重合,则设直线 l 的方程为 y ? kx? 2 ,与椭圆方程联立消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 16kx ? 8 ? 0 ,得 x1 ? x2 ? ?

x1 x2 ?

8 ②, 1 ? 4k 2

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5



1 1 0 ? x2 | PM | | MQ | 0 ? x1 得 , 整理得 2x1 x2 ? x0 ( x1 ? x2 ) , 将①②代入得 x0 ? ? , 又点 N ( x0 , y0 ) 在直线 l 上, 所以 y0 ? k ? (? ) ? 2 ? 1 , ? ? k k | PN | | NQ | x1 ? x0 x0 ? x2

于是有 1 ? y1 ? 2 ,因此 ? ?

2 ? y1 1 ? y1 ? 1 1 ? ? ? 1 ,由 1 ? y1 ? 2 得 y1 ? 1 y1 ? 1 y1 ? 1

1 ? 2 ? 1,所以 ? ? 2 ,综上所述,有 ? ≥ 2 y1 ? 1
21、解(Ⅰ)当 b ? 当b ?

1 时 ,函数 f ( x) 在定义域(-1,+∞)上单调递增。 2
1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时,解 f '( x) =0 得两个不同解 x1 ? , x2 ? 2 2 2

(Ⅱ)

1 当 b<0 时, x1 ? ○

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1, x2 ? ? ?1 2 2

∴ x1 ? (?1, ??), x2 ? (?1, ??) , 此时 f ( x ) 在 (?1, ??) 上有唯一的极小值点 x2 ? 2 当0 ? b ? ○

?1 ? 1 ? 2b 2

1 时, x1 , x2 ? (?1, ??) 2

f '( x) 在 (?1, x1 ),( x2 , ??) 都大于 0, f '( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0,
此时 f ( x ) 有一个极大值点 x1 ? 综上可知,

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 x2 ? 2 2

0?b?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? 2 2 2

b<0,时, f ( x ) 在(-1,+∞)上有唯一的极小值点 x2 ? (Ⅲ)当 b=-1 时, f ( x) ? x ? ln( x ?1).
2

?1 ? 1 ? 2b 2

令 h( x) ? x3 ? f ( x) ? x3 ? x 2 ? ln( x ? 1), 则h '( x) ?

3x3 ? ( x ? 1) 2 在[0, ??) 上恒正 x ?1

∴ h( x) 在 [0, ??) 上单调递增,当 x∈(0,+∞)时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 即当 x∈(0,+∞)时,有 x ? x ? ln( x ? 1) ? 0,ln( x ? 1) ? x ? x ,
3 2 2 3

对任意正整数 n,取 x ?

1 1 1 1 得 ln( ? 1) ? 2 ? 3 n n n n

22(1)证明:连接 AB,∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D,又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E。∴AD∥EC (2)设 BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2,∴xy=12,① ∵AD∥EC,∴
? x ? 3 ? x ? ?12 DP AP 9? x 6 或? (舍去)∴DE=9+x+y=16, ? ? ? ②, 由①②可得, ? PE PC y 2 ? y ? ?1 ?y ? 4
2

∵AD 是⊙O2 的切线,∴AD =DB ? DE=9×16,∴AD=12。

23 解: (1) l : 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0

C : x2 ? y2 ? 1
?C? : x2 ? y2 ? 1 4

? ? x? ? 2 x ? x ? (2)? ? ?? ? y? ? y ? ?y ?

x? 2 代入 C 得 y?

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设椭圆的参数方程 ?

? x ? 2 cos? (? 为参数) ? y ? sin ?

则 x ? 2 3 y ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 4 sin(? ? 24(1)当 a ?

?
6

) 则 x ? 2 3 y 的最小值为-4。

b2 1 4 1 2 ,b ? 时, a ? 的最小值为 5 5 5 4

(2) (ax1 ? bx2 )(bx1 ? ax2 ) ? ( ax1 ax2 ? bx1 bx2 )2

? (a x1 x2 ? b x1 x2 )2 ? (a ? b)2 x1 x2 ? x1 x2

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